Institutul de Matematică şi Informatică

RO EN

IMI/Structura/

Laboratorul "Algebă şi Topologie"

Direcţii de cercetare

Algebra (teoria radicalilor, probleme de structura în sisteme algebrice apropiate inelelor, modulelor şi algebrelor);
Quasigrupuri şi analiza combinatorie (teoria generală a quasigrupurilor şi operaţiilor algebrice, probleme de combinatorică în quasigrupuri şi aplicaţii la codificarea şi cifrarea informaţiei);
Logica matematică (probleme algoritmice ale expresibilităţii funcţionale precum şi ale generalizărilor ei în logici neclasice);
Algebra topologică;
Geometria grupurilor discrete.

Proiecte în derulare

Proiectul instituţional „Cercetări fundamentale în structuri algebrice şi calcule logice, aplicaţii la codarea informaţiei”, conducător – M. Raţa, CSŞDT, 2006-2010;
Proiectul instituţional „ Aplicarea metodelor laticiale la cercetarea topologiilor în grupuri şi inele, torsiunilor în module şi varietăţilor hiperbolice” , conducător A. Caşu, CSŞDT, 2006-2010;
Proiectul internaţional „Algoritmi noi de autentificare a informaţiei electronice şi scheme criptografice de partajare a secretului” , conducător V. Şcerbacov, CSŞDT-РФФИ, 2006-2010;
Proiectul internaţional „Algebră topologică şi diferenţială”, conducător V. Arnautov, CSŞDT-РФФИ, 2006-2010;

Arhiva proiectelor

Cercetarea laticelor de radicali şi de topologii în grupuri, inele şi module; conducător: V. Arnautov, 2004-2005.
Cercetarea varietăţilor sistemelor matematice în algebră, logică, geometrie şi topologie; conducător: Iu.Reabuhin, 2001-2003.
Elaborarea şi aplicarea unor metode algebrice generale în teoria inelelor şi grupurilor, în logica matematică, topologie şi geometrie; conducător: V. Arnautov, 2000-2002.
MRDA-CRDF, BGP-I, MM2-3017 „Scheme de control digital pe bază de quasigrupuri” – proiect comun cu matematicieni din Universitatea Statului Pennsylvania, S.U.A., 2001-2003, conducători: V.Izbaş, G. L. Mullen;
MRDA-CRDF, BGP-II, MM1-3040, “Noi coduri şi cifruri pe bază de quasigrupuri” – proiect comun cu matematicieni din Universitatea Statului Pennsylvania, S.U.A., 2003-2005, conducători: V.Izbaş, G. L. Mullen.

Rezultate importante

Algebră

Cercetările în domeniul algebrei (teoriei inelelor, algebrelor şi modulelor) în Institutul de Matematică şi Informatică au fost iniţiate în anul 1961 de către fondatorul acestui institut, academicianul Vladimir Andrunachievici. În prezent cercetările algebrice în institut se efectuează sub conducerea acad. Iurie Reabuhin, iar printre cercetătorii de bază este doctorul habilitat în ştiinţe fizico-matematice, profesor universitar A.Caşu. Tematica cercetărilor curente: teoria structurală a algebrelor local finit dimensionale, probleme de tip Burnside în inele şi algebre, teoria radicalilor şi torsiunilor în categorii de module.

a fost dezvoltată teoria generală a radicalilor în inele asociative şi în module; a fost arătată existenţa radicalilor supernilpotenţi şi nespeciali (V.Andrunachievici, Iu.Reabuhin);
a fost dezvoltată teoria aditivă a idealelor şi a fost construită teoria structurală a algebrelor, asociative în zero (V.Andrunachievici, Iu.Reabuhin, R.Grigor);
a fost construit un continuum de varietăâi minime de inele (Iu.Reabuhin, R.Grigor);
a fost clarificată comportarea torsiunilor, localizărilor şi a laticelor de submodule în situaţii de adjuncţie şi în Morita contexte cu ajutorul functorilor principali (A.Caşu);
au fost găsite construcţii generale ale algebrelor local nilpotente şi local finit-dimensionale, au fost descrise varietăţile marcate de algebre asociative; a fost arătată justeţea ipotezei lui Sestacov despre nilpotenţa algebrelor (Gh.Cecanu).
Au fost efectuate cercetări în domeniul algebrei (inele, module, categorii), în special teoria radicalilor şi torsiunilor în categorii de module. (A.Caşu);
A fost analizată comportarea radicalilor şi torsiunilor sub acţiunea functorilor principali, a fost studiată laticea torsiunilor în cazuri speciale (în Morita contexte şi în situaţia de adjuncţie). A fost stabilită relaţia dintre clase de module stîngi şi mulţimi speciale de ideale stîngi, au fost descrise clase importante de module (clase naturale, închise, radicale, fără torsiune, etc.) (A.Caşu);

Quasigrupuri şi analiză combinatorie

Cercetări în domeniul teoriei quasigrupurilor şi în domenii adiacente precum teoria reţelelor algebrice, ecuaţii funcţionale şi analiza combinatorie se efectuează în cadrul Institutului de Matematică şi Informatică începând cu anul 1962. Fondator şi conducator al cercetărilor ştiinţifice în această direcţie a fost cunoscutul savant, profesorul universitar, Valentin Belousov (1925-1988). Direcţiile actuale de cercetare ţin de problemele de centralitate a quasigrupurilor, de caracterizare a proprietăţilor asocianţilor şi a comutatorilor congruenţelor quasigrupurilor, a izotopilor grupurilor, în particular, a quasigrupurilor liniare, a n-quasigrupurilor separabile autoortogonale şi a n-T-quasigrupurilor, a transversalelor de buclă şi a sistemelor unilaterale Stein, de cercetare a modalităţilor de aplicare a quasigrupurulor ăn teoria codurilor.

a fost îmbogăţită substanţial teoria generală a quasigrupurilor, în particular, aspectele ei ce ţin de caracterizarea autotopiilor (automorfismelor), nucleelor, centrului, congruenţelor şi submulţimilor normale ale quasigrupurilor (V.Belousov, G.Beliavscaia, V.Izbaş);
au fost puse bazele teoriei asociatorilor, comutatorilor şi a asocianţilor quasigrupurilor (G.Beliavscaia);
au fost caracterizate diferite clase de quasigrupuri şi bucle printre care buclele Moufang, buclele Bol, IP-quasigrupurile, CI-buclele, quasigrupurile distributive (distributive la stânga), TS-quasigrupurile, monoquasigrupurile ş.a. (V.Belousov, V.Izbaş, V.Şcerbacov);
au fost puse bazele teoriei quasigrupurilor n-are şi a algebrelor poziţionale de quasigrupuri; au fost caracterizate sistemele de quasigrupuri cu identităţi generalizate ale asociativităţii, medialităţii, tranzitivităţii, distributivităţii, Stein ş.a. (V.Belousov, G.Beliavscaia);
au fost soluţionate o serie de ecuaţii funcţionale pe multimea operaţiilor de quasigrup (V.Belousov);
a fost elaborată teoria generală a reţelelor algebrice şi a configuraţiilor acestora (V.Belousov, I. Leah );
au fost soluţionate un şir de probleme ce ţin: de aspectul combinatorial al quasigrupurilor ortogonale, conjugat ortogonale şi autoortogonale (V.Belousov, P.Sîrbu); de admisibilitatea, inclusiv parţială, şi ortogonalitatea parţială a quasigrupurilor (G.Beliavscaia);
au fost propuse unele modalităţi noi de utilizare a quasigrupurilor în teoria codurilor (G.Beliavscaia, V.Izbaş, V.Şcerbacov);
a fost elaborat aparatul algebric al transversalelor în grupuri şi bucle binare şi grupuri n-are, ceea ce a permis să fie generalizate unele rezultate cunoscute în teoria grupurilor în obiectele respective (E. Cuzneţov).

Logică matematică

Baza cercetărilor în domeniul logicii matematice în Institutul de Matematică şi Informatică a fost pusă în anul 1962 de către dr. Alexandr Kuznetov (1928-1984). Direcţia principală de investigaţie o constituie abordarea problemelor de expresibilitate pentru calculele logice. În prezent cercetările în domeniul logicii matematice în institut se efectuează sub conducerea membrului corespondent, profesorul M.Raţă.
a fost soluţionată problema completitudinii functionale pentru logica propozitională intuiţionistă (M.Raţă);
a fost obţinută soluţia pentru problema analogică în logica predicatelor de ordinul întâi (A.Kuznetov, M.Rata);
a fost stabilit criteriul de expresibilitate parametrică pentru logica k-valentă (k=2, 3, _) (A.Kuznetov);
au fost descoperite fenomene noi în logica modala S4, cum ar fi existenţa unei mulţimi numerabile de clase pre-complete de formule, existenţa bazelor de formule de orice lungime finită şi absenţa aproximării finite în raport cu completitudinea funcţională (M.Raţă);
a fost demonstrată imposibilitatea construirii unui algoritm care ar soluţiona problema de expresibilitate pentru logica modală S4. Recent a fost demonstrat că problema expresibilităţii pentru logica demonstraţională Godel-Lob este algoritmic indecidabilă (M.Raţă);
au fost descrise opt serii de sisteme închise în lanţ de funcţii pseudo-booleene 3-valente (M.Raţă).

Algebră topologică

Cercetările în domeniul algebrei topologice în laborator se efectuează sub conducerea academicianului, profesorul V. Arnautov.

A fost elaborată o metodă suficient de generală de a construi pe grupuri abeliene cu lanţuri finite maximale cu extremităţi fixate de topologii grupale. (V. Arnautov);
A fost studiată clasa inelelor ereditar liniar compacte. Au fost clasificate inelele semiprimitive ereditar liniar compacte, demonstrată multiplicitatea acestei clase (analogul teoremei lui Tihonov) si a fost demonstrată nilpotenţa transfinită a radicalului Jacobson al inelului. (M. Ursul)
S-a demonstrat ca orice inel topologic se scufundă într-un inel topologic liniar conex. Acest rezultat are o importanţă remarcabilă în teoria algebrelor topologice libere. (M. Ursul)
S-a demonstrat ca orice inel compact nil are nilindice finit: in inele compacte toti radicalii nil coincid. Acest rezultat (coincidenţa radicalilor nil) a fost extins la clasa inelelor liniar compacte. Inelele compacte nu indeplinesc nici o conditie clasica de finititudine.(M. Ursul)
S-a demonstrat ca orice grup topologic Abelian se realizează în calitate de cvasicomponentă iterată al unui alt grup topologic Abelian (problemă enuntată de A. D.Taimanov). (M. Ursul)
S-au construit exemple de corpuri topologice compacte de orice dimensiune finită Menger-Urysohn (problema existenţei unor astfel de corpuri a fost formulată de E. Vecitomov, V.Belinov, D.Shakhmatov, W.Comfort). (M. Ursul)
Pentru diferite clase de grupuri abeliene local compacte au fost descrise grupurile din aceste clase cu proprietatea că inelele de endomorfisme continue ale lor, considerate cu topologia compact-deschisă, verifică una dintre următoarele condiţii:
- constau din elemente topologic idempotente;
- nu conţin elemente nilpotente nenule;
- sunt topologic simple;
- componenta de conexitate a lor este respectiv mărginită, local compactă, sau compactă;
- sunt compacte;
- sunt comutative. (V. Popa).

Geometria grupurilor discrete

Direcţia de bază în cercetările promovate în geometrie în laborator o constituie studiul grupurilor discrete, al varietăţilor şi descompunerilor spaţiilor de curbură constantă.

au fost construite noi serii de poliedre compacte şi necompacte de volum finit ce descompun regular normal şi regular anormal spaţiile hiperbolice cu dimensiunile n = 3, 4, 5 (I. Guţul, V. Macarov);
au fost construite serii de varietăţi hiperbolice compacte şi necompacte de volum finit atât orientate, cât şi neorientate în dimensiunile 3, 4 şi 5. Au fost studiate subvarietăţile scufundate total geodezic de codimensiunea 1 şi au fost realizate noi exemple de varietăţi prin reconstrucţii metrice, ce corespund HNN extensiunilor grupului fundamental (F.Damian, I. Guţul, V. Macarov);
au fost elaboprate metode de obţinere a tuturor descompunerilor k-izoedrice pentru spaţii bidimensionale de curbură constantă. Cu ajutorul acestor metode au fost efectuate clasificările partiţiilor 2-izoedrice pentru planul euclidian şi sferă. Au fost cercetate unele aspecte ale acestor metode pentru spaţiu (E.Zamorzaeva).
Au fost construite varietăţi hiperbolice de dimensiune 4 cu diferite caracteristici Euler şi studiată geometria lor.

Lucrări de referinţă

Monografii şi cărţi

M. Raţă, Inexistenţa algoritmilor de recunoaştere a expresibilităţii sintactice în calcule logice, Piteşti, România, The Flower power. 2004.
В. Андрунакиевич, Ю. Рябухин. Радикалы алгебр и структурная теория, Москва, Наука, 1973.
V. Arnautov, S. Glavatky, A. Mikhalev, Introduction to the theory of topological rings and modules, Marcel Dekker, Inc., New York - Basel - Hong Kong, 1996.
V. Arnautov, The theory of radicals of topological rings, Mathematica Japonica, 1998, Vol. 47, No.3, p. 439 – 544.
В. Белоусов, Основы теории квазигрупп и луп, Москва, Наука, 1967.
В. Белоусов, Алгебраические сети и квазигруппы, Кишинёв, Штиинца, 1971.
В. Белоусов, Конфигурации в алгебраических сетях, Кишинёв, Штиинца, 1979.
G.B. Belyavskaya, r-Orthogonal latin squares. Chapter 6 in the collection “Latin squares: New Developments in the Theory and Applications”. Annals of Discrete Mathematics, V.46, 1991, North-Holland-Amsterdam-New-York –Oxford-Tokyo, p.169-202.
A. Caşu, Introducere în teoria modulelor, Centrul Editorial al USM, Chişinău, 2003.
A. Кашу, Радикалы и кручения в модулях, Кишинёв, Штиинца, 1983.
A. Кашу, Функторы и кручения в категориях модулей, Кишинёв, Академия Наук РМ, Институт математики, 1997.
M.Раца, Итеративные цепные классы псевдобулевых функций, Кишинёв, Штиинца, 1990.
M.Раца, Выразимость в вычислениях высказываний, Кишинёв, Штиинца, 1991.
М. Урсул, Компактные кольца и их обобщения, Кишинёв, Штиинца, 1991.

Articole

Ю. М. Рябухин, Структурная теория и теория радикалов – фундаментальные исследования. В книге : „ Academicianul Vladimir Andrunachievici”, AŞM, IMI, Chişinău, 2009, p. 149 – 177.
M. Raţă, Algebre iterative lanţiale de funcţii pseudo-booleene 3-valente. In: Proceedings of the 33rd Annual Congress of the American Romanian Academy of Arts and Sciences (ARA), 2009, Vol. 2, Polytechnic International Press, Montreal, Quebec, p. 321-323
V. Shcherbacov, On the structure of left and right F-, SM-, and E-quasigroups. În: Journal of Generalized Lie Theory and Applications, 2009, Vol. 3, No. 3, p. 197--259.
V. I. Arnautov, About group topologies of the primary Abelian groups of finite period, which coincide on a subgroup and on a factor group. In: Buletinul A.Ş.M., Matematica, 2009, No.2 (60), p.12-28.
A.I., Kashu, On preradicals associated to principal functors of module categories , I . In: Buletinul A.Ş.M., Matematica, 2009, № 2 ( 60 ), p. 62 – 72 .
G.B. Belyavskaya, Ассоцианты и коммутант квазигруппы. Фундаментальная. и прикладная математика, Москва, 1997, т.3, вып.3, с. 715-737.
G.B. Belyavskaya, Associators, commutators and linearity of a quasigroup. Discrete mathematics and Applications, 1996, v.5, №6, p.577-586.
G.B. Belyavskaya, V.I. Izbash, G.L. Mullen , Check character systems using quasigroups:I. Designs, Codes and Cryptography, 37, 2005, pp. 215-227.
G.B. Belyavskaya, Gary L. Mullen, Strongly orthogonal and uniformly orthogonal many-placed operations. Algebra and Discrete , Mathematics , Ukraine, N1, 2006, p. 1-17.
Izbash V., Syrbu P. On recursively differentiable binary quasigroups. Proceedings of 11-th Conf. on Applied and Industrial Mathematics. Romania, Oradea, CAIM 2003, v. 1, pp. 149-152.
Baltag V., Izbaş V. Olimpiade matematice. Ministerul educaţiei Al Republicii Moldova, Consiliul olimpic de matematică, Institutul de matematică şi Informatică al AŞM, Chişinău 2003
Izbash V., Syrbu P. Recursively differentiable quasigroups and complete recursive codes. Comment. Math. Univ. Carolinae 45, 2 (2004) 257-263.
Izbash V. On automorphisms of the Cartesian square of a groupoid. Quasigroups and Related Systems 5(1998), 99-106.
Izbash V., Labo N. Crossed-inverse-property groupoids, Buletinul ASM. Matematica. Number 2(54), 2007, Pages 101-106.
E. Kuznetsov. A loop transversal in a sharply 2-transitive permutation loop. Bulletin of the Acad. of Sci. of Moldova, Mathematics, #3(49), 2005, p. 101-114.
E. Kuznetsov. Gyrogroups and left gyrogroups as transversals of a special kind. Algebra and Discrete Math., #3, 2003, p. 54-81.
E. Kuznetsov. Transversals in groups. 4. Derivation construction. Quasigroups and related systems, 9(2002), p. 67-84.
E. Kuznetsov. Incidence systems over groups that can be supplemented up to projective planes. Quasigroups and related systems, 5(1998), p. 35-52.
E. Kuznetsov. About some algebraic systems related with projective planes. Quasigroups and related systems, 2(1995), №1, p. 6-33.
V. Shcherbacov, V. Izbash. On quasigroups with Moufang identity. Buletinul AS RM. Matematica. No 2, 1998, p. 109-116.
G. L. Mullen, V.A. Shcherbacov, Properties of codes with one check symbol from a quasigroup point of view, Izvestiya AN RM. Matematica. No 3, 2002, p. 71-86.
A.D. Keedwell, V.A. Shcherbacov, Construction and properties of (r,s,t)-inverse quasigroups. I, Discrete Math., V. 266, No. 1-3, 2003, p. 275-291.
V. A. Shcherbacov, On simple n-ary medial quasigroups, Proceedings of Conference "Computational Commutative and Non-Commutative Algebraic Geometry", NATO Science Series: Computer and Systems Sciences, Edited by S. Cojocaru, G. Pfister and V. Ufnarovski, IOS Press, V. 196, 2005, p. 305--324.
G.L. Mullen, V.A. Shcherbacov, On orthogonality of binary operations and squares, Buletinul AŞ RM. Matematica. No 2(48), 2005, p. 3-42.
V. A. Shcherbacov, On Bruck-Belousov problem, Buletinul AŞ RM. Matematica. No 3(49), 2005, p. 123-140.
V.A. Shcherbacov, On the structure of left and right F-, SM- and E-quasigroups, arXiv:0811.1725, 67 pages.
V. Arnautov, K. Filippov, On disjoint sums in the lattice of linear topologies, Фундаментальная и Прикладная математика, т. 9, No 1, с. 3-18, Москва, 2003.
V. Arnautov, On overnilpotent radicals of topological rings, Buletinul Academiei de Ştiinţei a Republicii Moldova, Matematica, v. 1(44), 2004, p. 3 -- 14.
V. Arnautov, Properties of one-sided ideals of topological rings, Buletinul Academiei de Ştiinţe a Republicii Moldova, Matematica, 2006, v. 1(50), p.3-14.
V. Arnautov, О накрытиях в решетке всех групповых топологий произвольной абелевой группе, Сиб. Мат. Журн., 2006, т.47, № 5, 961-973.
V.Arnautov, Quotient rings of pseudonormed rings, Buletinul Academiei de Ştiinţe a Republicii Moldova, Matematica, 2006, v. 2(51), p.3-16.
V. Arnautov, Properties of accessible subrings of topological rings when taking quotien rings, Buletinul Academiei de Ştiinţe a Republicii Moldova, Matematica, 2007, v. 2(54), p.4-18.
A. Kashu, On equivalence of some subcategories of modules in Morita contexts. Algebra and Discrete Mathematics. N 3, 2003, p. 46 – 53.
A. Kashu, On natural classes of R-modules, Buletinul Academiei de Ştiinţe a Republicii Moldova, Matematica, 2004, v. 2(45), p.95-101.
A. Caşu, Natural classes and torsion free classes in categories of modules, Buletinul Academiei de Ştiinţe a Republicii Moldova, Matematica, 2006, v. 3(52), p.45-50.
A. Caşu, On natural and conatural sets of left ideals of a ring, Buletinul Academiei de Ştiinţe a Republicii Moldova, Matematica, 2007, v. 2(54), p.25-32.
V. Popa, On endomorphism rings without nonzero nilpotent elements. I, Buletinul Academiei de Ştiinţe a Republicii Moldova, Matematica, 1998, 3(28), 35-48.
V. Popa, On endomorphism rings without nonzero nilpotent elements. II, Buletinul Academiei de Ştiinţe a Republicii Moldova, Matematica, 1999, 2(30), 91-104.
V. Popa, On the connected component of a homomorphism group, Mathematica, Editions de l’Academie Roumaine, Cluj-Napoca, 1999, Tome 41(64), nr. 1, 69-83.
V. Popa, On LCA groups with compact rings of continuous endomorphisms, Buletinul Academiei de Ştiinţe a Republicii Moldova, Matematica, 2000, 1(32), 17-32.
V. Popa, On topological torsion LCA groups with commutative ring of continuous endomorphisms, Buletinul Academiei de Ştiinţe a Republicii Moldova, Matematica, 2006, v. 3(52), p.29-42.
V. Popa, On LCA groups in which some closed subgroups have commutative rings of continuous endomorphisms, Buletinul Academiei de Ştiinţe a Republicii Moldova, Matematica, 2007, v. 1(53), p.83-94.
V. Popa, On torsionfree LCA groups with commutative rings of continuous endomorphisms, Buletinul Academiei de Ştiinţe a Republicii Moldova, Matematica, 2007, v. 2(54), p.81-100.
B.Afanasov, I.Gutul. Suprafeţe total geodezice cu simetrie bogată şi 3-varietăţi închise cu poliedru fundamental comun. Topology'90, Walter de Gruyter, Berlin-New York, 1991, p.37-53 (în limba engleză).
O.Delgado, D.Huson, E.Zamorzaeva, Clasificarea descompunerilor 2-izoedrice ale planului. Geometriae Dedicata, vol.42, no.1, 1992, p.43-117 (in limba engleza).
И. Гуцул, О некоторых четырехмерных гиперболических многообразиях, International Seminar on Discrete Geometry dedicated to the 75 birth day of professor A.M. Zamorzaev, Chişinău, 2002, p. 35-40.
I. Guţul, Some hyperbolic manifolds, Buletinul de Ştiinţe a Republicii Moldova, Matematica, 2004, №3, p. 63-71.
M. Ursul, Locally finite and locally projectively nilpotent ideals in topological rings, Matematiceskii Sbornik (N.S.) 125(167) (1984), p. 291-305
M. Ursul, Compact nilrings, Matematiceskie Zametki, 36(6) (1984), p.839-845
M. Ursul, On product of hereditarily lineary compact rings, Uspehi Matematiceskih Nauk, 36(3) (1980), p. 230-233
M. Ursul, I. Florea, F-quasigroups with the property of invertibility (IPF-quasigroups), Voprosy Teorii Kvasigrupp i Lup. Kishinev. RIO AN MSSR, 1970, p. 145-146