| Pagina principala | Ghidul utilizatorului | Rubrica candidatului | Curriculumurile scolare |
| Matematica competitiva | Matematica distractiva| Formule, dictionare | Avizuri |
|Pagini din istorie | Examene, teste | Bibliografie | Link-uri | Site map |

Ministerul Educatiei si Stiintei
Examenul de bacalaureat la matematica, 2000
Profilurile: fizica-matematica, economie, informatica-matematica
Timp alocat: 180 minute.

1. Stabiliti carei multimi de numere ii apartine valoarea expresiei (5 puncte)

2. Fie functiile f : R ® R, f(x) = x2 - 3x + 2; g : R ® R, g(x) = 2x - 3. Determinati f(g(x)). (4 puncte)

3. Determinati valorile parametrului real a pentru care ecuatia admite radacini. (6 puncte)

4. Determinati lungimea liniei definita de ecuatia x2 + 5x + y2 = 0. (7 puncte)

5. Rezolvati inecuatia D(x) ≥ 0, unde

D(x) =
-1 x x
x -1 x
x x -1
(8 puncte)

6. Determinati exponentul puterii la care trebuie ridicat folosind formula binomului, astfel incat (8 puncte)

7. Calculati integrala

(9 puncte)

8. Centrul cercului inscris intr-un triunghi isoscel imparte inaltimea lui in segmente de lungime, respectiv de, 5 cm si 3 cm. Aflati lungimile laturilor triunghiului. (9 puncte)

9. Sa se determine pentru ce valori ale parametrului real m functia f : R ® R, f(x) = ex(m - 3x - x2) este monoton descrescatoare pe R. (10 puncte)

10. Descompuneti in factori ireductibili polinomul P(X) = X 4 + 13X 2 + 36 peste multimea C. (9 puncte)

11. Aria sectiunii diagonale a unei piramide patrulatere regulate este S. O muchie laterala a ei formeaza cu planul bazei piramidei un unghi de masura b. Aflati volumul piramidei. (12 puncte)

12. Determinati toate valorile parametrului real a, pentru care sistemul:

admite o singura solutie. (13 puncte)

Solutii

1. Se observa ca si se obtine

Asadar, valoarea expresiei date este un numar natural.

Nota: N Ì Z Ì Q Ì R Ì C ... (a se vedea si sesiunea 1999).

2. Se utilizeaza definitia functiei compuse si se obtine

f(g(x)) = (2x - 3)2 - 3(2x - 3) + 2 = 4x2 - 12x + 9 - 6x + 9 + 2 = 4x2 - 18x + 20.

3. Ecuatia asinx + bcosx = c are solutii daca si numai daca (a se vedea Ecuatii trigonimetrice, metoda unghiului auxiliar). Prin urmare, ecuatia data are solutii doar pentru de unde a Î [-2,2].

4. Cum rezulta ca linia data este o circumferinta de raza cu centrul in punctul M. Se aplica formula pentru determinarea lungimii circumferintei si se obtine

l = 2pR = 2p = 5p(un.lungime).

5. Se utilizeaza proprietatile determinantilor si se obtine

D(x) =
-1 x x
x -1 x
x x -1
=
2x - 1 2x - 1 2x - 1
x -1 x
x x -1
= (2x - 1)
1 1 1
x -1 x
x x -1
=
= 2(x - 1)
1 1 1
x + 1 0 x + 1
x + 1 x + 1 0
= (2x - 1)(x + 1)2
1 1 1
1 0 1
1 1 0
= (2x - 1)(x + 1)2.

Inecuatia D(x) ≥ 0 devine (2x - 1)(x + 1)2 ≥ 0. Se rezolva utilizand metoda intervalelor


si se obtine x Î {-1}È[1/2;+¥).

6. Se utilizeaza formula pentru termenul de rang k din dezvoltarea binomului lui Newton (a + b)n:

si se obtine
sau, tinand seama ca
de unde rezulta n - 2 = 4 si n = 6.

7. Cum integrantul reprezinta o functie rationala, il descompunem in fractii simple (tinand seama ca radacinile trinomului din numitor sunt reale si de multiplicitatea unu):

Utilizand metoda coeficientilor nedeterminati se obtine A = 2 si B = -3. Asadar

Conform formulei Newton-Leibniz

8. Fie ABC - tringhiul isoscel (AB = BC), BD - inaltimea (BD^AC) O Î BD - centrul cercului inscris in DABC, OB = 5 cm, OD = 3 cm, si prin urmare BD = 8(cm). Fie E - punctul de tangenta a laturii AB cu cercul. Atunci OE^AB si prin urmare DBOE - dreptunghic. Cum OE = OD = 3, BO = 5, conform teoremei Pitagora

Cum triunghiurile dreptunghice BOE si ABD sunt asemenea (ÐB - comun), rezulta:

de unde

Cum BD - inaltimea coborata pe baza tringhiului isoscel ABC, rezulta BD - mediana si AC = 2AD = 12(cm).

Asadar AB = BC = 10cm, AC = 12cm.

9. Functia f : X ® R, X Ì R este monoton descrescatoare pe X daca f ¢(x) ≤ 0 pentru orice x Î X. Rezulta

f ¢(x) = ex(m - 3x - x2) + ex(-3 - 2x) = -ex(x2+5x - m + 3) ≤ 0.

Cum ex > 0 pentru orice x Î R, inecuatia devine

x2 + 5x - m + 3 ≥ 0.
Ultima inecuatie va avea solutii x Î R daca si numai daca discriminantul inecuatiei este nepozitiv (a se vedea Formule, Dictionare, Trinomul patrat).

Asadar: 25 - 4(3 - m) ≤ 0, de unde

10. Se considera ecuatia bipatrata

x4 + 13x2 + 36 = 0,
solutiile careia (in multimea numerelor complexe) sunt x1 = -2i, x2 = 2i, x3 = -3i, x4 = 3i. Prin urmare
X 4 + 13X 2 + 6 = (X + 2i)(X - 2i)(X + 3i)(X - 3i).

11.

Fie SABCD - piramida patrulaterala regulata (ABCD - patrat), aria DSAC = S, ÐSAC = b, O - centrul patratului ABCD. Fie AO = a. Atunci AC = 2a; SO = AO · tgb = atgb (din triunghiul dreptunghic SAO) si aria triunghiului SAC

de unde a2 = Sctgb si Prin urmare AB2 = a2 + a2 = 2a2 = 2Sctgb (aria bazei piramidei), (inaltimea piramidei) si

12. Din prima ecuatie a sistemului rezulta y = x si x > 0 (expresia este definita doar pentru y > 0 - a se vedea Formule, Dictionare, Modul). Atunci a doua ecuatie devine

2(x + a)2 = 2a + 4     sau     x2 + 2ax + a2 - a - 2 = 0.
Ultima ecuatie are solutie unica daca:
D = 4a2 - 4(a2 - a - 2) = 0     Þ     a = -2     si     x = 2     (x > 0)
si o singura solutie pozitiva, daca
a2 - a - 2 < 0,
a2 - a - 2 = 0,
-a > 0
de unde a Î [-1;2).

Asadar, a Î {-2}È[-1,2).



| Pagina principala | Ghidul utilizatorului | Rubrica candidatului | Curriculumurile scolare |
| Matematica competitiva | Matematica distractiva| Formule, dictionare | Avizuri |
|Pagini din istorie | Examene, teste | Bibliografie | Link-uri | Site map |