Examenul de bacalaureat la matematica, 2000 Profilurile: fizica-matematica, economie, informatica-matematica
Timp alocat: 180 minute.
1. Stabiliti carei multimi de numere ii apartine valoarea expresiei (5 puncte) 2. Fie functiile f : R ®
R, f(x) = x2 - 3x + 2; g :
R ® R, g(x) = 2x -
3. Determinati f(g(x)). 3. Determinati valorile parametrului real a pentru care ecuatia admite radacini. (6 puncte) 4. Determinati lungimea liniei definita de ecuatia x2 + 5x + y2 = 0. (7 puncte) 5. Rezolvati inecuatia D(x) ≥ 0, unde
6. Determinati exponentul puterii la care trebuie ridicat folosind formula binomului, astfel incat (8 puncte) 7. Calculati integrala 8. Centrul cercului inscris intr-un triunghi isoscel imparte inaltimea lui in segmente de lungime, respectiv de, 5 cm si 3 cm. Aflati lungimile laturilor triunghiului. (9 puncte) 9. Sa se determine pentru ce valori ale parametrului real m
functia f : R ® R,
10. Descompuneti in factori ireductibili polinomul P(X)
= X 4 + 13X 2 + 36 peste multimea C.
11. Aria sectiunii diagonale a unei piramide patrulatere regulate este S. O muchie laterala a ei formeaza cu planul bazei piramidei un unghi de masura b. Aflati volumul piramidei. (12 puncte) 12. Determinati toate valorile parametrului real a, pentru care sistemul: 1. Se observa ca si se obtine Nota: N Ì Z Ì Q Ì R Ì C ... (a se vedea si sesiunea 1999). 2. Se utilizeaza definitia functiei compuse si se obtine 3. Ecuatia asinx + bcosx = c are solutii daca si numai daca (a se vedea Ecuatii trigonimetrice, metoda unghiului auxiliar). Prin urmare, ecuatia data are solutii doar pentru de unde a Î [-2,2]. 4. Cum rezulta ca linia data este o circumferinta de raza cu centrul in punctul M. Se aplica formula pentru determinarea lungimii circumferintei si se obtine 5. Se utilizeaza proprietatile determinantilor si se obtine
Inecuatia D(x) ≥ 0 devine (2x - 1)(x +
1)2 ≥ 0. Se rezolva utilizand metoda intervalelor
6. Se utilizeaza formula pentru termenul de rang k din dezvoltarea binomului lui Newton (a + b)n: 7. Cum integrantul reprezinta o functie rationala, il descompunem in fractii simple (tinand seama ca radacinile trinomului din numitor sunt reale si de multiplicitatea unu): Conform formulei Newton-Leibniz 8. Fie ABC - tringhiul isoscel (AB = BC),
BD - inaltimea (BD^AC)
O Î BD - centrul cercului inscris in
DABC, OB = 5 cm, OD = 3 cm, si
prin urmare BD = 8(cm). Fie E - punctul de tangenta a laturii
AB cu cercul. Atunci OE^AB si
prin urmare DBOE - dreptunghic. Cum
OE = OD = 3,
Cum triunghiurile dreptunghice BOE si ABD sunt asemenea (ÐB - comun), rezulta: Cum BD - inaltimea coborata pe baza tringhiului isoscel ABC,
rezulta BD - mediana si Asadar AB = BC = 10cm, AC = 12cm. 9. Functia f : X ® R,
X Ì R este
monoton descrescatoare pe X daca
f ¢(x) ≤ 0 pentru orice Cum ex > 0 pentru orice x Î R, inecuatia devine Asadar: 25 - 4(3 - m) ≤ 0, de unde 10. Se considera ecuatia bipatrata 11.
Fie SABCD - piramida patrulaterala regulata (ABCD - patrat),
aria DSAC = S,
ÐSAC =
b, 12. Din prima ecuatie a sistemului rezulta y = x si
x > 0 (expresia este definita doar pentru
Asadar, a Î
{-2}È[-1,2).
|