| Pagina principala | Ghidul utilizatorului | Rubrica candidatului | Curriculumurile scolare |
| Matematica competitiva | Matematica distractiva| Formule, dictionare | Avizuri |
|Pagini din istorie | Examene, teste | Bibliografie | Link-uri | Site map |

Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice.

Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul

sinx = a,   cosx = a,   tgx = a,   ctgx = a,   a Î R.

(1)

Cum rezolvarea ecuatiilor trigonometrice se reduce la rezolvarea ecuatiilor de tipul (1) (utilizand diferite transformari), vom aminti afirmatiile de baza referitor solutiile ecuatiilor (1).

Afirmatia 1. Ecuatia

sinx = a,     a Î R,

(2)

pentru |a| > 1 solutii nu are, iar pentru |a| £ 1 multimea solutiilor ei se contine in formula

x = (-1)narcsina + pn,     n Î Z,

(3)

unde arcsina Î [-[(p)/ 2];[(p)/ 2]] este unghiul, sinusul caruia este egal cu a, iar Z desemneaza multimea numerelor intregi, sau, echivalent (tinand seama de paritatea lui n), in totaliatea

x = arcsina + 2pk,     k Î Z. x = p - arcsina + 2pk,

(4)

Nota 1. Daca in ecuatia (2) a Î {0;-1;1} solutiile ei (3) se scriu mai simplu, si anume

Exemplul 1. Sa se rezolve ecuatiile

Rezolvare. a) Cum conform (3) solutiile ecuatiei date sunt

b) Similar exemplului a) se obtine sau, tinand seama arcsinus ca functia este o functie impara,

c) Cum rezulta ca ecuatia data nu are solutii.

Afirmatia 2. Ecuatia

cosx = a

(5)

pentru |a| > 1 nu are solutii, iar pentru |a| £ 1 multimea solutiilor ei se contine in formula

x = ± arccosa + 2pn,   n Î Z,

(6)

unde arccosa Î [0;p] este unghiul, cosinusul caruia este egal cu a.

Nota 2. Daca in ecuatia (5) a Î {0;1;-1} solutiile ei (6) se scriu mai simplu, si anume

Exemplul 2. Sa se rezolve ecuatiile:

a) cosx = -¹/₂;     b) cosx = ²/₃;     c)

Rezolvare. a) Cum conform (6) solutiile ecuatiei date sunt sau tinand seama ca se obtine

b) Similar exemplului a) se obtine

c) Cum ecuatia data nu are solutii.

Afirmatia 3. Ecuatia

tgx = a,   a Î R

(7)

are solutiile

x = arctga + pn,   n Î Z,

(8)

unde arctga Î (-^p/₂;^p/₂) este unghiul, tangenta caruia este egala cu a.

Afirmatia 4. Ecuatia

ctgx = a,   a Î R

(9)

are solutiile

x = arcctga + pn,   n Î Z,

(10)

unde arcctga Î (0;p) este unghiul, cotangenta caruia este egala cu a.

Exemplul 3. Sa se rezolve ecuatiile

Rezolvare. a) Conform (8) solutiile ecuatiei date sunt x = arctg1 + pn,   n Î Z, sau tinand seama ca se obtine

b) Similar exemplului precedent se obtine x = arctg(-2) + pn,   n Î Z, sau tinand seama ca arctangenta este o functie impara, x = -arctg2 + pn,   n Î Z.

c) Se tine seama de (10) si se obtine

d) Similar exemplului c) se obtine x = arcctg3 + pn,   n Î Z.

Observatie. Ecuatiile

sin f(x) = a,     cos f(x) = a,     tg f(x) = a,     ctg f(x) = a

(11)

prin intermediul substitutiei f(x) = t se reduc la rezolvarea ecuatiilor (1).

Exemplul 4. Sa se rezolve ecuatiile

a) sin(2x - 1) = 1;     b) cos(x² + 4) = -1;     c)     d) ctgx³ = -2.

Rezolvare. a)

sin(2x - 1) = 1   Û   sint = 1, t = 2x - 1,   Û   2x - 1 = p/2 + 2pn,   n Î Z   Û

Û   2x = p/2 + 2pn + 1,   n Î Z   Û   x = p/4 + pn + 1/2,   n Î Z.

b)

cos(x2 + 4) = -1   Û   cost = -1, t = x2 + 4,   Û   x2 + 4 = p + 2pn,   n Î Z, p + 2pn ³ 4,

Û   x2 = p + 2pn - 4,   n = 1,2,3,...   Û     n = 1,2,3,...

c)   Û     Û   2x = ^p/₃ + pn,   n Î Z   Û    

d) ctgx³ = -2   Û   x³ = arcctg(-2) + pn,   n Î Z   Û  

Ecuatia

asin2x + bsinx + c = 0,   a, b, c Î R,   a ¹ 0

(12)

prin intermediul substitutiei t = sinx,   (|t| £ 1) se reduce la ecuatia patrata at² + bt + c = 0.

Exemplul 5. Sa se rezolve ecuatiile

Rezolvare. a) Se noteaza sinx = t si ecuatia devine

b) Se noteaza sinx = t si se obtine ecuatia patrata t² - t = 0 cu solutiile t₁ = 0 si t₂ = 1. Astfel ecuatia initiala este echivalenta cu totalitatea de ecuatii

	sin2x = 0,
	sin2x = 1,

c) Similar exemplelor precedente se obtine ecuatia patrata t² - t + 6 = 0, care nu are solutii. Rezulta ca si ecuatia trigonometrica nu are solutii.

Ecuatiile

acos2x + bcosx + c = 0,

(13)

atg2x + btgx + c = 0,

(14)

actg2x + bctgx + c = 0,

(15)

unde a, b, c Î R,   a ¹ 0 se rezolva similar ecuatiei (12).

In cazul ecuatiei (13) se tine seama ca t = cosx in modul urmeaza sa nu intreaca unu, iar pentru t = tgx   (t = ctgx) in ecuatia (14) (respectiv (15)) restrictii nu sunt.

Exemplul 6. Sa se rezolve ecuatiile

a) 6cos²x - 5cosx + 1 = 0;     b) tg²2x - 4tg2x + 3 = 0;     c)

Rezolvare. a) Se noteaza cosx = t si se obtine ecuatia patrata

	cosx = 1/3,
	cosx = 1/2,

b) Se noteaza tg2x = t si se obtine ecuatia patrata

	tg2x = 1,	Û
	tg2x = 3,			2x = arctg3 + pk,   k Î Z,

c) Se rezolva similar exemplului precedent si se obtine     x = 2arcctg2 + 2pk,   n, k Î Z.

Ecuatia

acos2x + bsinx + c = 0,

(16)

utilizand identitatea trigonometrica de baza sin²x + cos²x = 1, se reduce la rezolvarea unei ecuatii de tipul (12):

Utilizand formulele

Exemplul 7. Sa se rezolve ecuatiile:

a) 2sin²x + 5cosx - 5 = 0;       b)

Rezolvare. a) Cum sin²x = 1 - cos²x, ecuatia devine

b) Cum cos4x = 1 - 2sin²2x, ecuatia devine

	sin2x = 0,

Ecuatia

atgx + bctgx + c = 0

(20)

tinand seama ca tgx·ctgx = 1   () prin intermediul substitutiei t = tgx (atunci ctgx = ¹/_t) se reduce la o ecuatie trigonometrica de tipul (14).

Exemplul 8. Sa se rezolve ecuatia:

Rezolvare. Cum si ecuatia devine

	tgx = 1,	Û
	tgx = 5,			x = arctg5 + pn,   n Î Z.

Ecuatia

a0sinnx + a1sinn-1xcosx + ... + ak-1sinxcosn-1x + ancosnx = 0,

(21)

unde a₀·a_n ¹ 0, se numeste ecuatie omogena de gradul n in raport cu sinx si cosx.

Cum nu verifica ecuatia (21) (toti termenii, incepand cu al doilea sunt nuli, iar primul este diferit de zero) multiplicand ecuatia cu se obtine ecuatia echivalenta

Exemplul 9. Sa se rezolve ecuatiile

a) sin2x - cos2x = 0;	c) 5sin2x + 5sinxcosx = 3;
b) sin2x + sin2x - 3cos2x = 0;	d)

Rezolvare. a) Ecuatia a) reprezinta o ecuatie trigonometrica omogena de gradul intai. Se multiplica cu si se obtine ecuatia liniara in raport cu tg2x

b) Cum sin2x = 2sinxcosx ecuatia b) se scrie sin²x + 2sinxcosx - 3cos²x = 0 si reprezinta o ecuatie trigonometrica omogena de gradul al doilea. Se multiplica cu si se obtine ecuatia patrata

	x = -arctg3 + pn,   n Î Z,

c) Se scrie 3 = 3·1 = 3·(sin²x + cos²x) si ecuatia devine

d) Cum cos2x = cos²x - sin²x, sin2x = 2sinxcosx, ecuatia devine

Ecuatiile de forma

sina(x) ± sinb(x) = 0

(22)

cosa(x) ± cosb(x) = 0

(23)

cu ajutorul formulelor transformarii sumei in produs

(24)

(25)

(26)

se reduc la ecuatii trigonometrice simple.

Exemplul 10. Sa se rezolve ecuatiile

Rezolvare. a)

sin3x + sinx = 0   Û     Û   sin2x = 0, cosx = 0,   Û

Û

b) cosx + cos3x = 0   Û   2cos2xcos(-x) = 0. Cum functia cosinus este o functie para, se obtine totalitatea

	cos2x = 0,
	cosx = 0,

c) Cum (formulele de reducere) se obtine ecuatia

d) Se grupeaza convenabil: (sinx + sin3x) + (cos2x + cos4x) = 0, se aplica formulele (24) si (25) si se obtine ecuatia

	cosx = 0,
	sin2x + cos3x = 0.

Din prima ecuatie se obtine Ecuatia secunda a totalitatii se rezolva similar exemplului c) si se obtine (se contine in solutia deja obtinuta) si Asadar solutiile ecuatiei initiale sunt  

Exemplul 11. Sa se rezolve ecuatiile

Rezolvare. a) cosxcos2x - sinxsin2x = 1   Û   cos(x + 2x) = 1   Û   cos3x = 1   Û   3x = 2pk,   k Î Z   Û  

b) Cum se obtine

	sinx = 0,
	sin3x = 0,

Aceasta metoda utilizeaza formulele

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

in scopul micsorarii gradului ecuatiei ce urmeaza a fi rezolvate. Formulele (27) si (28) se utilizeaza si la rezolvarea ecuatiilor

sin2ax + sin2bx = sin2cx + sin2dx,

(32)

cos2ax + cos2bx = cos2cx + cos2dx,

(33)

daca numerele a, b, c si d verifica una din conditiile a + b = c + d sau a - b = c - d.

Exemplul 12. Sa se rezolve ecuatiile

Rezolvare. a) Se utilizeaza formula (27) si se obtine ecuatia echivalenta

Û   cos4x(2cos2x + 1) = 0   Û

cos4x = 0, cos2x = -1/2,

Û

b) Cum (a se vedea (29)) iar ecuatia devine

c) Cum ecuatia devine

	cos2x = 1,	Û		x = pn,   n Î Z,
	cos2x = 1/3,

Se propun urmatoarele metode de rezolvare a ecuatiilor de forma (34):

a) Reducerea la o ecuatie omogena de gradul al doilea in raport cu si

Se scrie

Exemplul 13. Sa se rezolve ecuatiile

a) sin2x + cos2x = 1;       b)

Rezolvare. a)

sin2x + cos2x = 1   Û   2sinxcosx + cos2x - sin2x = sin2x + cos2x   Û

Û   2sinxcosx - 2sin2x = 0   Û   2sinx(cosx - sinx) = 0   Û

Û   sinx = 0, cosx - sinx = 0, Û   sinx = 0, tgx = 1,   Û   x = pk,   k Î Z,

b)      
   
     
 

(35)

Cu ajutorul formulelor indicate, ecuatia (34) se reduce al o ecuatie patrata in raport cu Se tine seama ca aplicarea acestor formule aduce la pierderea solutiilor a = p + 2pk,   k Î Z, din ce cauza se verifica (prin substituirea directa in ecuatia initiala), daca ele sunt sau ba solutii ale ecuatiei (34).

Exemplul 14. Sa se rezolve ecuatiile

a) sin2x + cos2x = 1;       b)

Rezolvare. a) Cum si cum nu verifica ecuatia data, ecuatia este echivalenta cu ecuatia

  sau   1 + tg²x = 2tgx + 1 - tg²x,

tgx = 0, tgx = 1,

Û

x = pk,   k Î Z,

b) Se aplica formulele (35 ) si se obtine

	x ¹ p + 2pk,   k Î Z,

	x ¹ p + 2pk,   k Î Z,

	x ¹ p + 2pk,

Cum a·b·c ¹ 0 ecuatia (34) se scrie

(36)

si cum   si rezulta ca exista un unghi a, astfel incat

si

(37)

sau un unghi b, astfel incat

si

(38)

Atunci ecuatia (36) se scrie

Nota. Se observa ca ecuatia (34) are solutii daca si numai daca iar valoarea maxima a functiei f(x) = asinx + bcosx este si valoarea minima este -.

Exemplul 15. Sa se rezolve ecuatiile

a) sin2x + cos2x = 1;       b) 3sinx + 4cosx = 5;       c)

Rezolvare. a)

sin2x + cos2x = 1   Û     Û

Û     Û     Û

Û     Û     Û

Û   x = pn,   n Î Z,

b)

3sinx + 4cosx = 5   Û     Û   sinxcosa + cosxsina = 1, sina = 4/5;   cosa = 3/5,	Û
Û   sin(x + a) = 1, tga = 4/3,   Û

c) Cum valoarea maxima a membrului din stanga ecuatiei este si rezulta ca ecuatia nu are solutii.

Ecuatiile de asa tip se rezolva cu ajutorul substitutiei

Exemplul 16. Sa se rezolve ecuatiile:

a) 2(sinx + cosx) + sin2x + 1 = 0;

b) 1 - sin2x = cosx - sinx;

c)

Rezolvare. a) Se noteaza t = sinx + cosx, atunci t² = (sinx + cosx)² = 1 + sin2x, si ecuatia devine 2t + t² = 0, de unde t = 0 sau t = -2. Cum ecuatia sinx + cosx = -2 nu are solutii, ramane sinx + cosx = 0 - ecuatie omogena de gradul intai cu solutiile

b) Se noteaza cosx - sinx = t, atunci sin2x = 1 - t² si ecuatia devine t² = t cu solutiile t = 0,   t = 1. Asadar

	cosx - sinx = 0,	Û		1 - tgx = 0,	Û
	cosx - sinx = 1,

c) DVA al ecuatiei este In DVA ecuatia se scrie

Aceasta metoda este una din cele mai frecvente si presupune o cunoastere satisfacatoare a formulelor trigonometrice.

Exemplul 17. Sa se rezolve ecuatiile

Rezolvare. a) sin³x - cos³x = cos2x   Û   (sinx - cosx)(sin²x + sinxcosx + cos²x) = cos²x - sin²x   Û   (sinx - cosx)(1 + sinxcosx + (cosx + sinx)) = 0   Û

Û

sinx - cosx = 0, 1 + sinxcosx + (cosx + sinx) = 0,

Û

tgx = 1, t = sinx + cosx,

Û

Û

t2 + 2t + 1 = 0, t = sinx + cosx,

Û

sinx + cosx = -1,

Û

Û	x = p + 2pm,   m Î Z.

b) Se trec toti termenii in stanga ecuatiei si se grupeaza convenabil:

	cosx = 0,
	sinx + cosx = 0,
	sinx + cosx - 1 = 0.

Din prima ecuatie a totalitatii se obtine Cea secunda reprezinta o ecuatie trigonometrica omogena de gradul intai cu solutiile Ecuatia a treia se rezolva, de exemplu, prin metoda introducerii unghiului auxiliar si are solutiile x = 2pn,   n Î Z si Ultimul set de solutii se contine in multimea solutiilor primei ecuatii si prin urmare multimea solutiilor ecuatiei initiale este

c) DVA al ecuatiei este Ecuatia se scrie

sinx = 1/2,   cu solutiile

cu solutiile   x = 2pm,   m Î Z,

cu solutiile

In incheiere vom prezenta unele metode utile de rezolvare a ecuatiilor trigonometrice.

Exemplul 18. Sa se rezolve ecuatiile:

a) cosx + cos2x + cos3x + ... + cosnx = n,     n Î N,   n ³ 1;

b) sinx + sin2x + sin3x + ... + sinnx = n,     n Î N,  n ³ 2;

c) sin11x + cos11x = 1;

d) sin10x - cos7x = 1;

e)

f) 3sin2x + 4cos6xcos2x + 2sin10x = 7;

g)

h) 4sin2x - 4sin23xsinx + sin23x = 0;

i)

j) cosxcos2xcos4xcos8x = 1/16.

Rezolvare. a) Cum pentru orice m natural |cosmx| £ 1, membrul din stanga ecuatiei va fi egal cu n daca si numai daca fiecare termen va fi egal cu unu. Asadar rezulta sistemul

	cosx = 1,
	cos2x = 1,
	...
	cosnx = 1

b) Se rezolva similar exemplului a) si se obtine sistemul

	sinx = 1,
	sin2x = 1,
	...
	sinnx = 1,

c) Cum sin¹¹x £ sin²x, cos¹¹x £ cos²x implica sin¹¹x + cos¹¹x £ sin²x + cos²x, sau sin¹¹x + cos¹¹x £ 1, iar in ultima inegalitate semnul egalitatii se atinge daca si numai daca

		sinx = 0,
		cosx = 1,
		sinx = 1,
		cosx = 0.

d) Se utilizeaza acelasi procedeu ca si in exemplul precedent: sin¹⁰x £ sin²x,   -cos⁷x £ cos²x, de unde sin¹⁰x - cos⁷x £ 1 si, prin urmare, semnul egalitatii se atinge cand

	sin10x = sin2x,
	-cos7x = cos2x,

e) Cum |cos2x| £ 1, membrul din stanga ecuatiei va fi egal cu minus unu, daca si numai daca

Din rezulta x = p + 4pn si atunci cos2x = cos(2p + 8pn) = 1 ¹ -1, adica primul sistem al totalitatii este incompatibil. Din rezulta x = -p + 4pk si atunci cos2(-p + 4pk) = cos2p = 1, deci x = -p + 4pk,   k Î Z sunt solutiile sistemului (si ecuatiei enuntate).

f) Cum 3sin2x + 4cos6xcos2x £ 3sin2x + 4cos2x £ 5 (a se vedea nota la Metoda unghiului auxiliar), 2sin10x £ 2 se obtine 3sin2x + 4cos6xcos2x + 2sin10x £ 7, si semnul egalitatii se atinge doar pentru

|cos6x| = 1, sin10x = 1,

sau

sin6x = 0, sin10x = 1,

g) Ecuatia se scrie

Membrul din stanga nu intrece doi (   cos2x £ 1), prin urmare ecuatia are solutii daca si numai daca

cos2x = 1,

sau

x = pn,   n Î Z.

Sistemul obtinut (si deci si ecuatia initiala) are solutii daca vor exista asa n, k Î Z astfel incat

h) Membrul din stanga ecuatiei se considera trinom patrat in raport cu sinx. Discriminantul acestui trinom este

Se substituie in ecuatie si se obtine

1. Cum sin²pn = 0, ramane de unde n = 3m,   m Î Z, adica din primul set se obtine solutiile x = pm,   m Î Z.

2. Cum se obtine adica de unde rezulta sau adica

Asadar solutiile ecuatiei date sunt

x = pn,   n Î Z,    

i) Se noteaza cos² x = t si ecuatia devine

Se tine seama ca |4t - 3| = |3 - 4t| si 2 = |2| = |4t - 1 + 3 - 4t| si utilizand proprietatile modulului se obtine inecuatia

j) Cum x = pk,   k Î Z nu sunt solutii ale ecuatiei date (cospk = ± 1,   cos2pk = cos4pk = cos8pk = 1) se multiplica ambii membri ai ecuatiei cu 16sinx si se utilizeaza formula sinusului unghiului dublu

Sa se rezolve ecuatiile

1. 2sin²x - 1 = cosx;

2. 7tgx - 4ctgx = 12;

3. tg²x - 3tgx + 2 = 0;

4. 6cos²x + 5cosx + 1 = 0;

5. sin²x - cos²x = cosx;

6. 3cos²x + 4sinxcosx + 5sin²x = 2;

7. 3cos²x - sin²x - 2sinxcosx = 0;

8. 

9. cos3xcos6x = cos5xcos8x;

10. sin²x + sin²2x = sin²3x + sin²4x;

11. ¹/₂(sin⁴x + cos⁴x) = sin²xcos²x + sinxcosx - ¹/₂;

12. cos3x = cosx;

13. sin2x = sinx;

14. sin5x = cos13x;

15. cos²x + 3|cosx| - 4 = 0;

16. 8sin²xcos²x + 4sin2x - 1 = (sinx + cosx)²;

17. 

18. 8cos⁴x = 3 + 5cos⁴x;

19. 

20. 2sin4x - 3sin²2x = 1;

21. 

22. 6cos²x + cos3x = cosx;

23. sin2x + cos2x + sinx + cosx + 1 = 0;

24. tg2x = 4cos²x - ctgx;

25. 

| Pagina principala | Ghidul utilizatorului | Rubrica candidatului | Curriculumurile scolare |
| Matematica competitiva | Matematica distractiva| Formule, dictionare | Avizuri |
|Pagini din istorie | Examene, teste | Bibliografie | Link-uri | Site map |

---