| Заглавная страница | Руководство пользователя | Практикум абитуриента | Учебные программы |
| Математический кружок | Занимательная математика| Формулы, словари | Новости |
|Странички истории | Экзамены, тесты | Библиография | Ссылки | Карта |


Министерство Образования и Науки
Экзамен по математике на соискание звания бакалавра, 2000
Профиль: физика-математика, экономика, информатика-математика
Время: 180 минут.

1. Определить, какому числовому множеству принадлежит значение выражения (5 очков)

2. Пусть даны функции f : R ® R, f(x) = x2 - 3x + 2; g : R ® R, g(x) = 2x - 3. Найдите f(g(x)). (4 очка)

3. При каких значениях действительного параметра a уравнение имеет решения? (6 очков)

4. Вычислить длину кривой x2 + 5x + y2 = 0. (7 очков)

5. Решить неравенство D(x) ≥ 0 где

D(x) =
-1 x x
x -1 x
x x -1
(8 очков)

6. Определить показатель степени, в котором нужно возвести используя формулу бинома Ньютона, так чтобы (8 очков)

7. Вычислить интеграл

(9 очков)

8. Центр вписанной в равнобедренный треугольник окружности делит его высоту на отрезки длины 5 см и 3 см. Найдите длины сторон треугольника. (9 очков)

9. При каких значениях действительного параметра m, функция f : R ® R, f(x) = ex(m - 3x - x2) монотонно убывает на R? (10 очков)

10. Разложить на простые множители в C многочлен P(X) = X 4 + 13X 2 + 36. (9 очков)

11. Площадь диагонального сечения правильной прямоугольной пирамиды равна S. Боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол b. Найдите объем пирамиды. (12 очков)

12. При каких значениях действительного параметра a, система

имеет единственное решение? (13 очков)

Решения

1. Заметим, что и получим

Таким образом, значение данного выражения - натуральное число.

Замечание: N М Z М Q М R М C ... (см. и варианты 1999 года).

2. Используя определение сложной функции получим

f(g(x)) = (2x - 3)2 - 3(2x - 3) + 2 = 4x2 - 12x + 9 - 6x + 9 + 2 = 4x2 - 18x + 20.

3. Уравнение asinx + bcosx = c имеет решения если и только если (следует из метода вспомогательного угла). Следовательно, данное уравнение имеет решения лишь при откуда a О [-2,2].

4. Так как то данная кривая есть окружность радиуса с центром в точке M. Используя формулу для определения длины окружности, получим

l = 2pR = 2p = 5p(ед.длины).

5. Используя свойство определителей, получим

D(x) =
-1 x x
x -1 x
x x -1
=
2x - 1 2x - 1 2x - 1
x -1 x
x x -1
= (2x - 1)
1 1 1
x -1 x
x x -1
=
= 2(x - 1)
1 1 1
x + 1 0 x + 1
x + 1 x + 1 0
= (2x - 1)(x + 1)2
1 1 1
1 0 1
1 1 0
= (2x - 1)(x + 1)2.

Неравенство D(x) ≥ 0 примет вид (2x - 1)(x + 1)2 ≥ 0. Используя метод интервалов


получим x О {-1}И[1/2;+Ґ).

6. Используя формулу для k-го слагаемого в разложении бинома Ньютона (a + b)n:

получим
или, учитывая что
откуда следует n - 2 = 4 и n = 6.

7. Подинтегральная функция есть дробно-рациональная функция. Учитывая что корни трехчлена знаменателя есть действительные числа кратности один, разложим функцию на простые дроби

Используя метод неопределенных коэффициэнтов, найдем A = 2 и B = -3. Следовательно

Согласно формуле Ньютона-Лейбница

8. Пусть ABC - равнобедренный треугольник (AB = BC), BD - высота (BD^AC) O О BD - центр вписанной окружности в DABC, OB = 5 см, OD = 3 см и, следовательно, BD = 8 (см). Пусть E - точка касания стороны AB с окружностью. Тогда OE^AB и следовательно DBOE - прямоугольный. Так как OE = OD = 3, BO = 5, согласно теореме Пифагоры

Так как прямоугольные треугольники BOE и ABD подобны (РB - общий), то

откуда

Поскольку BD - высота опущенная на основание равнобедренного тркугольника ABC, то BD - медиана и AC = 2AD = 12(см).

Таким образом AB = BC = 10 см, AC = 12 см.

9. Функция f : X ® R, X М R монотонно убывает на X если f ў(x) ≤ 0 для любого x О X. Следовательно

f ў(x) = ex(m - 3x - x2) + ex(-3 - 2x) = -ex(x2+5x - m + 3) ≤ 0.

Поскольку ex > 0 для любого x О R, неравенство примет вид

x2 + 5x - m + 3 ≥ 0.
Последнее неравенство справедливо для любого x О R если и только если ее дискриминант неположителен (см. Формулы, Словари, Квадратный трехчлен).

Следовательно: 25 - 4(3 - m) ≤ 0, откуда

10. Рассмотрим биквадратное уравнение

x4 + 13x2 + 36 = 0,
корни которого (во множестве комплексных чисел) есть x1 = -2i, x2 = 2i, x3 = -3i, x4 = 3i. Следовательно
X 4 + 13X 2 + 6 = (X + 2i)(X - 2i)(X + 3i)(X - 3i).

11.

Пусть SABCD - правильная четырехугольная пирамида (ABCD квадрат), площадь DSAC = S, РSAC = b, O - центр квадрата ABCD. Пусть AO = a. Тогда AC = 2a; SO = AO · tgb = atgb (из прямоугольного треугольника SAO) и площадь треугольника SAC

откуда a2 = Sctgb и Следовательно AB2 = a2 + a2 = 2a2 = 2Sctgb (площадь основания пирамиды), (высота пирамиды) и
(куб.ед.)

12. Из первого уравнения системы следует y = x и x > 0 (выражение определено лишь для y > 0 - см. Формулы, Словари, Модуль). Тогда второе уравнение примет вид

2(x + a)2 = 2a + 4     или     x2 + 2ax + a2 - a - 2 = 0.
Последнее уравнение имеет единственное решение, если
D = 4a2 - 4(a2 - a - 2) = 0     Ю     a = -2     и     x = 2     (x > 0)
и единственное положительное решение, если
a2 - a - 2 < 0,
a2 - a - 2 = 0,
-a > 0
откуда a О [-1;2).

Таким образом, a О {-2}И[-1,2).



| Заглавная страница | Руководство пользователя | Практикум абитуриента | Учебные программы |
| Математический кружок | Занимательная математика| Формулы, словари | Новости |
|Странички истории | Экзамены, тесты | Библиография | Ссылки | Карта |