| Pagina principala |
Ghidul utilizatorului |
Rubrica candidatului |
Curriculumurile scolare |
| Matematica competitiva |
Matematica distractiva|
Formule, dictionare |
Avizuri |
|Pagini din istorie |
Examene, teste |
Bibliografie |
Link-uri |
Site map |
Ecuatii logaritmice
Ecuatia ce contine necunoscuta sub semnul logaritmului sau (si) in
baza lui se numeste ecuatie logaritmica.
Cea mai simpla ecuatie logaritmica este ecuatia de tipul
Afirmatia 1. Daca a > 0, a ¹ 1,
ecuatia (1) pentru orice numar real b are o solutie unica, x =
ab.
Exemplul 1. Sa se rezolve ecuatiile:
a) log2 x = 3,
b) log3 x = -1,
c)
Rezolvare. Se utilizeaza afirmatia 1 si se obtine
a) x = 23 sau x = 8;
b) x = 3-1 sau x = 1/3;
c)
|
|
sau x = 1.
|
In continuare vom utiliza frecvent urmatoarele proprietati ale
logaritmului:
P1. Identitatea logaritmica de baza
unde a > 0, a ¹ 1 si b > 0.
P2. Logaritmul unui produs de factori pozitivi este egal
cu suma logaritmilor factorilor:
loga N1·N2 =
loga N1 +
loga N2
(a > 0, a ¹ 1,
N1 > 0, N2 > 0).
Nota. Daca N1·N2 > 0, atunci
proprietatea P2 se scrie
loga N1·N2 =
loga |N1| +
loga |N2|
(a > 0, a ¹ 1,
N1·N2 > 0).
P3. Logarimtul raportului a doua numere pozitive este
egal cu diferenta logaritmilor deampartitului si impartitorului:
|
(a > 0, a ¹ 1, N1 > 0,
N2 > 0).
|
Nota. Daca
(echivalent cu N1N2 > 0)
atunci proprietatea P3 se scrie
|
(a > 0, a ¹ 1,
N1N2 > 0).
|
P4. Logaritmul puterii unui numar pozitiv este egal cu
produsul dintre exponentul puterii si logaritmul acestui numar
loga N k =
k loga N
(a > 0, a ¹ 1, N > 0).
Nota. Daca k este par (k = 2s) are loc urmatoarea
formula
loga N 2s =
2s loga |N|
(a > 0, a ¹ 1,
N ¹ 0).
P5. Formula de trecere de la o baza la alta:
|
(a > 0, a ¹ 1,
b > 0, b ¹ 1, N > 0),
|
in caz particular N = b, se obtine
|
(a > 0, a ¹ 1,
b > 0, b ¹ 1).
|
|
(2) |
Din proprietatile de mai sus rezulta formulele
|
(a > 0, a ¹ 1, b > 0,
c ¹ 0),
|
|
(3) |
|
(a > 0, a ¹ 1, b > 0,
c ¹ 0),
|
|
(4) |
|
(a > 0, a ¹ 1, b > 0,
c ¹ 0),
|
|
(5) |
si daca in (5) c este par (c = 2n) are loc relatia
|
(b > 0, a ¹ 0,
|a| ¹ 1).
|
|
(6) |
Vom enumera si proprietatile de baza ale functiei logaritmice
f(x) = loga x:
- Domeniul de definitie al functiei logaritmice este multimea
numerelor reale pozitive.
- Domeniul de valori al functiei logaritmice este multimea
numerelor reale.
- Pentru a > 1 functia logaritmica este strict crescatoare
(0 < x1 < x2 Þ
loga x1 <
loga x2), iar pentru 0 < a < 1,
este strict descrescatoare (0 < x1 <
x2 Þ
loga x1 >
loga x2).
- loga 1 = 0 si loga a = 1
(a > 0, a ¹ 1).
- Daca a > 1 atunci functia logaritmica primeste valori negative
pentru x Î (0;1) si valori pozitive pentru
x Î (1;+¥),
iar daca 0 < a < 1, functia logaritmica ia valori pozitive pentru
x Î (0;1) si valori negative pentru
x Î (1;+¥).
- Daca a > 1 functia logaritmica este concava, iar pentru
a Î (0;1) functia logaritmica este convexa.
Urmatoarele afirmatii (a se vedea, [1]) sunt utile la
rezolvarea ecuatiilor logaritmice:
Afirmatia 2. Ecuatia loga f(x) =
loga g(x)
(a > 0, a ¹ 1) este echivalenta cu unul
din sistemele (evident, se alege acel sistem, inecuatia caruia se rezolva mai
simplu)
|
f(x) = g(x), |
|
|
f(x) = g(x), |
f(x) > 0, |
g(x) > 0. |
Afirmatia 3. Ecuatia logh(x) f(x) =
logh(x) g(x) este echivalenta cu unul din
sistemele
|
f(x) = g(x), |
|
|
f(x) = g(x), |
h(x) > 0, |
h(x) > 0, |
h(x) ¹ 1, |
h(x) ¹ 1, |
f(x) > 0, |
g(x) > 0. |
Tinem sa mentionam ca in procesul rezolvarii ecuatiilor
logaritmice adesea se aplica transformari ce modifica domeniul
de valori admisibile (DVA) al ecuatiei initiale. Prin urmare pot
aparea solutii "straine" sau pot fi pierdute unele solutii. De
exemplu ecuatiile
f(x) = g(x) si
loga f(x) = loga g(x)
sau
loga [f(x)·g(x)] = b
si
loga f(x) +
loga g(x) = b
in general nu sunt echivalente (DVA al ecuatiilor din dreapta
este mai ingust).
Prin urmare la rezolvarea ecuatiilor logaritmice este util de
folosit in DVA transformari echivalente. In caz contrar
verificarea solutiilor este parte componenta a rezolvarii. In
plus, se tine seama de transformarile ce pot aduce la pierderea
solutiilor.
In continuare vom considera cele mai frecvente metode de rezolvare
a ecuatiilor logaritmice.
I. Utilizarea definitiei logaritmului
Exemplul 2. Sa se rezolve ecuatiile:
a) log2(5 + 3log2(x - 3)) = 3,
|
c) log(x - 2)9 = 2, |
b) |
d) log2x + 1(2x2 - 8x + 15) = 2. |
Rezolvare. a) Logaritm a numarului pozitiv b in baza a
(a > 0, a ¹ 1) se numeste exponentul
puterii, la care trebuie ridicat a ca sa obtinem b. Asadar
logab = c Û
b = ac si, prin urmare,
5 + 3log2(x - 3) = 23
sau
3log2(x - 3) = 8 - 5,
log2(x - 3) = 1.
Iar utilizand definitia, se obtine
x - 3 = 21, x = 5.
Verificarea este parte componenta a rezolvarii acestei ecuatii:
log2(5 + 3log2(5 - 3)) =
log2(5 + 3log22) = log2(5 + 3) =
log28 = 3.
Se obtine 3 = 3 si prin urmare x = 5 este solutie a acestei
ecuatii.
b) Similar exemplului a) se obtine ecuatia
Se reduce la rezolvarea ecuatiei liniare x - 3 = 3(x + 3) de unde
rezulta x = -6. Se efectueaza verificarea si se obtine ca x = -6
este solutia ecuatiei initiale.
c) Similar exemplului a) se obtine ecuatia
(x - 2)2 = 9.
Se ridica la patrat si se obtine ecuatia patrata
x2 - 4x - 5 = 0 cu solutiile x1 = -1 si
x2 = 5. Dupa verificare ramane doar x = 5.
d) Se aplica definitia logaritmului si se obtine ecuatia
(2x2 - 8x + 15) = (2x + 1)2
sau, dupa transformari elementare,
x2 + 6x-7 = 0,
de unde x1 = -7 si x2 = 1. Dupa verificare
ramane x = 1.
II. Utilizarea proprietatilor logaritmului
Exemplul 3. Sa se rezolve ecuatiile
a) log3x + log3(x + 3) =
log3(x + 24), |
b) log4(x2 - 4x + 1) -
log4(x2 - 6x + 5) =
-1/2 |
c) log2x + log3x = 1, |
d) 2log3(x - 2) +
log3(x - 4)2 = 0, |
e) 16log4(1 - 2x) =
5x2 - 5. |
Rezolvare. a) DVA al ecuatiei x Î
(0;+¥) se determina rezolvand sistemul (conditia de
existenta a logaritmilor ce sunt prezenti in ecuatie)
|
x > 0, |
x+3 > 0, |
x+24 > 0. |
Se aplica proprietatea P2 si afirmatia
1 si se obtine
log3x + log3(x + 3) =
log3(x + 24) Û
|
|
|
log3x(x + 3) = log3(x + 24), |
x > 0, |
|
Û
|
Û
|
x(x + 3) = x + 24, |
x > 0, |
|
Û
|
x2 + 2x - 24 = 0, |
x > 0, |
|
Û
|
|
x1 = -6, |
x2 = 4, |
| x > 0, |
|
Û x = 4. |
b) Se utilizeaza proprietatea P3 si se obtine o
consecinta a ecuatiei initiale
apoi, conform definitiei logaritmice, se obtine ecuatia algebrica
sau
x2 - 4x + 1 =
1/2(x2 - 6x + 5),
de unde
x2 - 2x - 3 = 0
si x1 = -1 si x = 3. Dupa verificare ramane x = -1.
c) DVA: x Î (0;+¥).
Se utilizeaza proprietatea P5 si se obtine ecuatia
sau
log2x(1 + log32) = 1, de unde
sau
sau log2x = log63.
Asadar,
d) DVA al ecuatiei se obtine rezolvand sistemul
|
x-2 > 0, |
(x - 4)2 ¹ 0, |
si este x Î
(2;4)È(4;+¥). Se aplica
proprietatea P4 (se tine seama de nota la ea si se
obtine ecuatia echivalenta
2log3(x - 2) + 2log3|x - 4| = 0
sau log3(x - 2) + log3|x - 4| = 0.
Se utilizeaza proprietatea P2 si pe DVA se obtine
ecuatia echivalenta
log3(x - 2)|x - 4| = 0
(x - 2)|x - 4| = 1.
Cum in DVA x - 2 = |x - 2| ecuatia se scrie
|x - 2||x - 4| = 1 sau
|x2 - 6x + 8| = 1
ultima ecuatie fiind echivalenta (a se vedea proprietatile modulului) cu
totalitatea de ecuatii
|
x2 - 6x + 8 = 1, |
x2 - 6x + 8 = -1, |
de unde, rezolvand ecuatiile patrate, se obtine x1 = 3,
x2 = 3 +
si x3 =
3 -
Ï DVA. Asadar solutiile ecuatiei initiale sunt
x1 = 3 si
x2 = 3 +
.
e) Cum
se aplica proprietatea P1 si se obtine ca in DVA
(x Î (-¥;-1)) ecuatia
este echivalenta cu
(1 - 2x)2 = 5x2 - 5
sau
x2 + 4x - 6 = 0,
de unde rezulta x1 = -2 -
si
x2 = -2 +
.
Ultima valoare a lui x nu intra in DVA, ramane unica solutie
x = -2 - .
III. Metoda substitutiei
In unele cazuri ecuatia logaritmica poate fi redusa la o ecuatie algebrica
relativ la o necunoscuta noua. De exemplu, ecuatia
F(logax) = 0, unde F(x) este o
functie algebrica rationala, prin intermediul substitutiei
logax = t se reduce la o ecuatie algebrica in
raport cu t, R(t) = 0.
Exemplul 4. Sa se rezolve ecuatiile:
a) lg2x - 3lgx + 2 = 0, |
c) lg2100x + lg210x + lgx = 14, |
b) , |
d) 5lgx = 50 - xlg5. |
Rezolvare. a) DVA al ecuatiei este x Î
(0;+¥). Se noteaza lgx = t, atunci
lg2x = (lg x)2 = t2 si se
obtine ecuatia patrata
t2 - 3t + 2 = 0,
cu solutiile t1 = 1 si t2 = 2. Se revine la
necunoscuta initiala si se rezolva totalitatea de ecuatii logaritmice
|
lg x = 1, |
lg x = 2, |
de unde x1 = 10 si x2 = 100. Ambele solutii
sunt din DVA.
b) DVA al ecuatiei este multimea (1;+¥). Cum
prin substitutia t = log2(x - 1) se obtine ecuatia patrata
4t2 - 3t - 1 = 0
cu solutiile t1 = -1/4 si
t2 = 1. Se revine la necunoscuta initiala si se obtine:
|
log2(x - 1) = -1/4, |
log2(x - 1) = 1, |
|
Û
|
Û
|
c) DVA al ecuatiei este multimea (0;+¥). Cum
lg2100x = (lg100x)2 =
(lg100 + lgx)2 = (2 + lgx)2,
lg210x = (lg10x)2 =
(lg10 + lgx)2 = (1 + lgx)2,
cu ajutorul substitutiei t = lgx ecuatia se reduce la ecuatia
patrata
(2 + t)2 + (1 + t)2 + t = 14
sau
2t2 + 7t - 9 = 0
cu solutie t1 = -9/2 si
t2 = 1. Se revine la variabila initiala si se obtine
si
x2 = 10.
d) DVA al ecuatiei este x Î
(0;1)È(1;+¥). Cum
ecuatia devine 5lg x = 50 - 5lg x sau
2·5lg x = 50, de unde 5lg x = 25 sau
5lg x = 52 Û
lgx = 2 Û x = 100.
IV. Ecuatii ce contin expresii de tipul
Exemplul 5. Sa se rezolve ecuatiile:
Rezolvare. a) DVA al acuatiei se determina din sistemul
|
x+2 > 0, |
x + 2 ¹ 1, |
si se obtine x Î
(-2;-1)È(-1;+¥). In
DVA ambii membri ai ecuatiei sunt pozitivi, prin urmare, logaritmand
ambii membri ai ecuatiei, de exemplu in baza 2, se obtine ecuatia echivalenta
sau, utilizand proprietatile P4 si
P2,
log2(x + 2)·log2(x + 2) =
log24 + log2(x + 2).
Se noteaza log2(x + 2) = t si se obtine ecuatia patrata
t2 - t - 2 = 0
cu solutiile t1 = -1 si t2 = 2. Asadar,
|
log2(x + 2) = -1, |
log2(x + 2) = 2, |
de unde
|
x + 2 = 1/2, |
x + 2 = 4 |
sau
|
x1 = -3/2, |
x2 = 2. |
Ambele solutii sunt din DVA.
b) DVA al ecuatiei x Î
(0;1)È(1;+¥). Cum (a se vedea
proprietatea P5 si formula (2))
ecuatia devine
|
sau |
|
Se logaritmeaza ambii membri ai ecuatiei in baza 2 si se obtine
sau log2x = 1, de unde x = 2.
V. Unele metode speciale
Exemplul 6. Sa se rezolve ecuatiile
a) 2x = 9 - log3x;
|
b)
|
c) log2(x2 + 1) -
log2x = 2x - x2;
|
d) log5(x + 2) = 4 - x;
|
e)
|
f) |log2(3x - 1) - log23| =
|log2(5 - 2x) - 1|;
|
g) logx+1(x3 -
9x + 8)logx-1(x + 1) = 3;
|
h) log2(6x - x2 - 5) =
x2 - 6x + 11.
|
Rezolvare. a) Se observa ca x = 3 este solutie a acestei
ecuatii: 23 = 9-log33, 8 = 9-1, 8 = 8. Alte solutii ecuatia nu
are. In adevar, membrul din stanga ecuatiei reprezinta o functie
strict crescatoare, iar cel din dreapta - o functie strict
descrescatoare si, prin urmare, graficele acestor functii pot avea
cel mult un punct comun. Cum x = 3 este solutie, rezulta ca altele
nu sunt.
b) DVA al ecuatiei x Î
(1;+¥). Se noteaza
log3(x-1) = t si se obtine o ecuatie patrata in t
xt2 + 4(x - 1)t - 16 = 0.
Discriminantul acestei ecuatii este D =
[4(x - 1)]2 + 4x·16 =
16x2 + 32x + 16 =
16(x + 1)2, iar radacinile
|
si |
|
Astfel se obtine totalitatea
|
log3(x - 1) = -4,
|
log3(x - 1) = 4/x.
|
Din prima ecuatie a totalitatii rezulta
,
iar a doua se rezolva similar exemplului precedent: se observa ca x = 4
este solutie a ecuatiei si se arata ca altele nu sunt. In adevar,
membrul din stanga ecuatiei log3(x-1) = 4/x
reprezinta o functie strict crescatoare pe DVA, iar membrul din
dreapta in DVA este o functie strict descrescatoare, si prin
urmare, graficele lor pot avea cel mult un punct comun. Asadar
ultima ecuatie are solutia unica x = 4, iar ecuatia initiala
solutiile
si x = 4.
c) DVA al ecuatiei se determina din sistemul
|
x2 + 1 > 0,
|
x > 0, |
de unde rezulta x Î
(0;+¥). Se aplica proprietatea
P3 si se obtine ecuatia echivalenta
Cum
pentru x > 0 iar semnul egalitatii se obtine doar pentru x = 1,
rezulta ca membrul din stanga,
In acelas timp
membrul din dreapta ecuatiei are valoarea maxima 1 pentru x = 1
(varful parabolei y = 2x - x2 se afla
in punctul (1;1)). Astfel ecuatia are solutii numai in cazul cand
adica x = 1.
d) Se rezolva similar exemplului a) si se obtine x = 3.
e) Se utilizeaza teorema A1 din
ecuatii irationale
si se obtine
f) Se utilizeaza proprietatea P3, P2 si
proprietatile modulului (a se vedea, de exemplu [2]) si se obtine
g) Se determina DVA al ecuatiei
|
x + 1 > 0, |
Û |
x > -1, |
| | Û |
x + 1 ¹ 1, |
x ¹ 0, |
Û |
x > 1, |
x3 - 9x + 8 > 0, |
x3 - x - 8x + 8 > 0, |
x ¹ 2, |
x - 1 > 0, |
x > 1, |
(x - 1)(x2 + x - 8) > 0, |
x - 1 ¹ 1, |
x ¹ 2, |
Û |
x > 1, |
x ¹ 2, |
x2 + x - 8 > 0, |
|
Û |
x > 1, |
x ¹ 2, |
|
|
Û
|
Se aplica proprietatea P5 si se obtine (pe DVA)
sau
logx+1(x - 1)(x2 + x-8) =
logx+1(x - 1)3,
de unde rezulta
(x - 1)(x2 + x - 8) = (x - 1)3,
sau
|
x = 1, |
x2 + x - 8 = x2 - 2x + 1, |
de unde x1 = 1, x2 = 3.
Cum x = 1 nu verifica DVA si
ramane numai x = 3.
h) Cum functia f(x) = 6x - x2 - 5 isi atinge
maximul 4 pentru x = 3, rezulta
log2(6x - x2 - 5) £ 2.
Membrul din dreapta ecuatiei
x2 - 6x + 11 = x2 - 6x + 9 + 2 =
(x - 3)2 + 2 si, prin urmare 2 este valoarea
minima (se atinge pentru x = 3). Astfel ecuatia are solutii doar
cand concomitent log2(6x - x2 - 5) = 2 si
x2 - 6x + 11 = 2 adica x = 3.
Inecuatii logaritmice.
Inecuatia ce contine necunoscuta sub semnul logaritmului se
numeste logaritmica.
In procesul rezolvarii inecuatiilor logaritmice se aplica frecvent
urmatoarele afirmatii referitor echivalenta ecuatiilor si se tine
seama de proprietatea de monotonie a functiei logaritmice (a se
vedea de exemplu [1]).
Afirmatia 1. Daca a > 1, inecuatia
loga f(x) > loga g(x)
este echivalenta cu sistemul de inecuatii
|
f(x) > g(x), |
g(x) > 0. |
Afirmatia 2. Daca 0 < a < 1, inecuatia
loga f(x) > loga g(x)
este echivalenta cu sistemul de inecuatii
|
f(x) < g(x), |
f(x) > 0. |
Afirmatia 3. Inecuatia logh(x) f(x) >
logh(x) g(x)
este echivalenta cu totalitatea sistemelor de inecuatii:
|
|
h(x) > 1, |
f(x) > g(x) > 0, |
|
0 < h(x) < 1, |
0 < f(x) < g(x). |
Mentionam, ca in inecuatia loga f(x) >
loga g(x) in locul
semnului > poate sa figureze unul din semnele ³ ,
< , £ .
In asa caz afirmatiile 1-3 se modifica respectiv.
Exemplul 1. Sa se rezolve inecuatiile
a) log3(x2 - x) ³
log3(x + 8); |
d) |
b) |
e) log2x(x2 - 5x + 6) < 1. |
c) |
Rezolvare. a) Se aplica afirmatia 1 si se obtine
log3(x2 - x)
³ log3(x + 8)
Û |
x2 - x ³ x + 8, |
Û |
x2 - 2x - 8 ³ 0, |
Û |
x+8 > 0, |
x > -8, |
Û
|
|
x £ -2, | |
x ³ 4, |
Û x Î
(-8;-2]È[4;+¥). |
| x > -8, |
b) Baza logaritmului din inecuatie este un numar intre zero si
unu, se aplica afirmatia 2 si se obtine
c) Se scrie 0 = log21 si se aplica afirmatia 1
Se scrie
si se aplica afirmatia 2 si se rezolva sistemul obtinut
d) Se aplica afirmatia 3 si se obtine
Û
|
x Î (3;4), |
Û x Î (3;4).
|
x Î Æ, |
Rezolvarea primului sistem al totalitatii
Rezolvarea ultimului sistem al totalitatii
e) Se scrie 1 = log2x2x, se aplica afirmatia 3
si se tine seama ca semnul > este inlocuit cu <; .
log2x(x2 - 5x + 6) <
log2x2x Û
|
|
2x > 1, |
|
x2 - 5x + 6 < 2x, |
x2 - 5x + 6 > 0, |
|
0 < 2x < 1, |
x2 - 5x + 6 > 2x, |
2x > 0, |
Û
|
x Î (1;2)È(3;6), |
x Î
(0;1/2)È(1;2)È(3;6).
|
x Î (0;1/2) |
Rezolvarea primului sistem al totalitatii
| |
x > 1/2, |
Û
| |
x > 1/2, |
Û x Î
(1;2)È(3;6). |
| x2 - 7x + 6 < 0, |
| 1 < x < 6, |
|
x < 2, |
|
x < 2, |
x > 3, |
x > 3, |
Rezolvarea ultimului sistem al totalitatii
|
0 < x < 1/2, |
x2 - 7x + 6 > 0, |
|
Û
| |
0 < x < 1/2, |
|
x < 1, |
x > 6, |
|
Û x Î
(0;1/2). |
Inecuatia de tipul F(logax) > 0, se reduce prin intermediul
substitutiei t = logax la inecuatia algebrica
F(t) > 0. Se rezolva inecuatia F(t) > 0, iar apoi se
rezolva ecuatiile logaritmice simple ce se obtin. Bineanteles aceeasi se refera si
la inecuatiile similare ce se obtin din cea precedenta, inlocuind
in locul semnului > unul din semnele < , £,
³ .
Exemplul 2. Sa se rezolve inecuatiile
Rezolvare. a) Se noteaza
si se
rezolva inecuatia patrata t2 + t - 2
³ 0,
de unde rezulta t £ -2 sau
t ³ 1. Asadar se obtine totalitatea, ce se
rezolva astfel:
b) Se noteaza t = lgx si se obtine inecuatia rationala
ce se rezolva utilizand metoda intervalelor (a se vedea de exemplu
[1], [2])
Se revine la variabila initiala si se obtine
|
lgx < -1, |
|
|
0 < x < 1/10, | |
2 < lgx < 3, |
Û |
100 < x < 1000, |
Û x Î
(0;1/10)È(100;1000)È(105;+¥). |
lgx > 5, |
|
x > 105, |
In cazul inecuatiilor logaritmice ce nu au forma celor din
afirmatiile 1-3, se determina DVA si prin transformari ce
pastreaza echivalenta se reduc la inecuatii ce se rezolva cu
ajutorul echivalentelor 1-3.
Exemplul 3. Sa se rezolve inecuatiile
Rezolvare. a) DVA al inecuatiei este multimea
(5;+¥). Se aplica proprietatea
P2 si se obtine inecuatia
lg(x - 2)(x - 5) < lg4.
Se utilizeaza afirmatia 1 si se obtine sistemul
|
(x - 2)(x - 5) < 4, |
(x - 2)(x - 5) > 0. |
Se rezolva sistemul
| |
x2 - 7x + 6 < 0, | |
| |
1 < x < 6, | |
|
x < 2, |
Û |
|
x < 2, |
Û x Î
(1;2)È(5;6). |
x > 5, |
|
x > 5, |
Se tine seama de DVA si ramane x Î (5;6).
e) DVA al inecuatiei se determina din sistemul
Se trec toti logaritmii in baza 3
Se aplica proprietatea P2 si se obtine
Se noteaza log3x = t si se rezolva ecuatia rationala obtinuta
prin metoda intervalelor.
Asadar, revenind la variabila initiala se obtine totalitatea de
inecuatii logaritmice simple
Se tine seama de DVA si se obtine multimea solutiilor inecuatiei
initiale
c) DVA al inecuatiei se obtine rezolvand sistemul
Cum
inecuatia este echivalenta cu inecuatia
de unde rezulta
Se efectueaza substitutia
t ³ 0 si se obtine
inecuatia patrata
(t - 1)2 > t + 11,
sau
t2 - 3t - 10 > 0,
de unde t < -2 sau t > 5. Cum t ³ 0,
ramane t > 5 sau
Û x > 5.
Se tine seama de DVA si se obtine raspunsul x Î
(5;+¥).
d) Se utilizeaza metoda intervalelor generalizata: (DVA
x Î
(1;2)È(2;+¥)).
Cum in DVA log2(x-1) > 0
pentru x > 2 si log2(x-1) < 0 pentru 1 < x < 2,
pentru orice x din DVA,
pentru x Î (1;2)È(2;3)
si
pentru x > 3,
se obtine x Î
(1;2)È(3;+¥).
Pentru consolidarea deprinderilor de rezolvare a ecuatiilor si
inecuatiilor logaritmice se recomanda a consulta de exemplu
problemarele [3-5].
| Pagina principala |
Ghidul utilizatorului |
Rubrica candidatului |
Curriculumurile scolare |
| Matematica competitiva |
Matematica distractiva|
Formule, dictionare |
Avizuri |
|Pagini din istorie |
Examene, teste |
Bibliografie |
Link-uri |
Site map |
|