| Pagina principala | Ghidul utilizatorului | Rubrica candidatului | Curriculumurile scolare |
| Matematica competitiva | Matematica distractiva| Formule, dictionare | Avizuri |
|Pagini din istorie | Examene, teste | Bibliografie | Link-uri | Site map |

Ecuatii exponentiale

Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponetul puterii se numeste ecuatie exponentiala.

Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma
ax = b,
(1)
unde a > 0, a 1.

Afirmatia 1. Pentru b 0 ecuatia (1) nu are solutii, iar pentru b > 0 ecuatia data are o solutie unica: x = logab.

Exemplul 1. Sa se rezolve ecuatiile

a) 2x = -4,    b) 2x = 4,    c) 2x = 5.

Rezolvare. a) Cum membrul din stanga ecuatiei este pozitiv pentru orice x R (a se vedea proprietatile functiei exponentiale), iar membrul din dreapta este negativ, ecuatia nu are solutii.

b) Utilizand afirmatia 1 se obtine x = log24 , adica x = 2.

c) Similar exemplului precedent se obtine x = log25.

Nota. Din afirmatia 1 rezulta ca ecuatia exponentiala de tipul
a f(x) = b,
(2)
unde a > 0, a 1 si b > 0, este echivalenta cu ecuatia

f(x) = logab.

Exemplul 2. Sa se rezolve ecuatiile

a)     b)     c) .

Rezolvare. a) Se tine seama de nota la afirmatia 1 si se obtine ecuatia trigonometrica

Cum , rezulta , de unde

b) Cum log39 = 2, se obtine ecuatia

|x2-x| = 2.
Utilizand proprietatile modulului (a se vedea, de exemplu, [1]) se obtine
|x2-x| = 2
x2-x = 2, x2-x-2 = 0, x = -1,
x2-x = -2, x2-x+2 = 0, x = 2.

c) Logaritmand in baza 5 (ambii membri sunt pozitivi) se obtine

(2+4+6+...+2x) = 45 sau 1+2+...+x = 45.
Utilizind formula pentru suma primilor n termeni ai progresiei aritmetice se obtine
de unde rezulta ecuatia patrata
x2+x-90 = 0
cu solutiile x1 = -10 si x2 = 9. Cum x N, ramane x = 9.

La rezolvarea ecuatiilor exponentiale se utilizeaza urmatoarea afirmatie de baza referitoare la echivalenta ecuatiilor (a se vedea, de exemplu, [2]).

Afirmatia 2. Daca a > 0 si a 1, atunci ecuatiile
a f(x) = a g(x)
(3)
si

f(x) = g(x)
sunt echivalente.

Nota. Ecuatiile de tipul

a f(x) = bg(x)     (a > 0, a 1, b > 0)
se pot scrie astfel
si se rezolva utilizind afirmatia 2.

Unele ecuatii exponentiale se reduc la ecuatiile de tipul (1)-(3) cu ajutorul egalitatilor:

E1) ax· ay = ax+y,   E2)   E3) (ax) y = ax·y,   E4)   E5) ax· bx = (ab)x.

Exemplul 3. Sa se rezolve ecuatiile

a)   b)   c)   d) 32x-1 = 7x+1.

Rezolvare. a) Se utilizeaza egalitatile E1-E3, afirmatia 2 si se obtine

  32x+1+2(x+2)-3x = 35     2x+1+2x+4-3x = 5     x = 0.

b) Cum   (ab 0), rezulta   si utilizand proprietatile E4, E3 si E1 se obtine

de unde, in baza afirmatiei 2, rezulta ecuatia patrata
2x2-x-15 = 0
cu solutiile x = 3 si x = -5/2.

c) Cum 43x+1 = 41·43x = 4·(43) x = 4·64x,     ecuatia devine

4·64x ·25x = 6400
sau
64x·25x = 1600.
Utilizand proprietatea E5 si afirmatia 2 se obtine 1600x = 1600, de unde x = 1.

d) Se tine seama de nota la afirmatia 2 si se obtine

de unde rezulta ecuatia liniara
2x-1 = xlog37+ log37
sau
x(2-log37) = log37+1
cu solutia

Daca ecuatia exponentiala este de tipul

F(a f(x)) = 0,
(4)
atunci prin intermediul substitutiei t = a f(x), se obtine ecuatia
F(t) = 0,
care de regula se rezolva mai simplu. In cele mai frecvente cazuri se intalnesc ecuatiile de tipul
A·a 2f(x) +B·a f(x) +C = 0,
(5)
A·a f(x)+ C·a -f(x)+ B = 0
(A, B si C R), care cu ajutorul substitutiei t = a f(x) se reduc la ecuatia patrata
At2+Bt+C = 0.

Exemplul 4. Sa se rezolve ecuatiile:

a) 2x+3·2x-4 = 76,     b) 3-x+9· 3x+9x+1+9-x-1=8,     c)
d) 21+x-23-x = 15,     e)

Rezolvare. a) 2x+3·2x-4 = 76     . Se noteaza t = 2x, si se obtine ecuatia liniara

16t+3t = 76·16,
de unde t = 64. Asadar 2x = 64 si x = 6.

b) Ecuatia se scrie

Se noteaza t = 3x (atunci 9x = t2), si se obtine ecuatia algebrica

care se reduce (a se vedea [1]) prin substitutia
(atunci ) la ecuatia patrata
sau
z2+9z-90 = 0,
de unde z1 = -15, z2 = 6. Cum t > 0, z1 = -15 nu verifica ecuatia si ramane
de unde
9t2-6t+1 = 0
cu solutia t = 1/3. Asadar 3x = 1/3, de unde x = -1.

c) Se noteaza , atunci si se obtine ecuatia patrata

t2-t-2 = 0
cu solutiile t1 = -1 si t2 = 2. Cum t > 0 (mai exact, deoarece x2 0, ), ramane t = 2, adica
de unde x2 = 1 si deci x = 1.

d) Cum 21+x = 2·2x, , se noteaza t = 2x si ecuatia devine

Se multiplica ambii membri ai ecuatiei cu t  (t > 0) si se obtine ecuatia patrata

2t2-15t-8 = 0
cu solutiile si t2 = 8. Cum t1 < 0, ramane
2x = 8,
de unde x = 3.

e) Se noteaza (cum in x (-,0] [2,+), rezulta t 1) si se obtine ecuatia

4t2-9t+2 = 0
cu solutiile t1 = 1/4 si t2 = 2. Cum t1 < 1 ramane de rezolvat ecuatia
echivalenta cu

Deoarece ambii membri ai ecuatiei sunt pozitivi, ridicand la patrat se obtine ecuatia echivalenta (a se vedea, de exemplu, [1])

x2-2x = 1
cu solutiile .

Ecuatiile de tipul

A·a 2f(x) +B·a f(x) b f(x) +C·b 2f(x) = 0,
(ABC RA·B·C 0) se numesc ecuatii exponentiale omogene. Prin multiplicarea, de exemplu, cu ele se reduc la ecuatia patrata
At2+Bt+C = 0,
unde .

Exemplul 5. Sa se rezolve ecuatiile

a) 64·9x -84·12x +27·16x = 0,     b) 9·22x+2 -45·6x -32x+4 = 0.

Rezolvare. a) Ecuatia se scrie

64·32x -84·3x ·4x +27·42x = 0
si impartind la 42x se obtine
sau

Se noteaza si se obtine ecuatia patrata

64t2-84t+27 = 0.
Discriminantul ecuatiei date este D = 842 -4·64·27 = 42· 32·72 -4·4·16·9·3 = 42·32(49-48) = 122, iar solutiile
si

Asadar

de unde x1 = 2 si x2 = 1.

b) Ecuatia se scrie

36·22x -45·2x· 3x -81·32x = 0
sau (multiplicand cu )

Notand se obtine ecuatia patrata

4t2-5t-9 = 0
cu solutiile t = -1, t = 9/4. Cum t > 0 ramane de unde x = -2.

Uneori se intalnesc ecuatii ce se rezolva prin metoda "scoaterii factorului comun in afara parantezei".

Exemplul 6. Sa se rezolve ecuatiile

a) 2x+1 - 2x + 2x-2 - 2x-3 = 9,
b) 2x+1 - 2x+2 - 2x+3 = 5x - 5x+1,
c) x2·2x+1 + 2|x-3|+2 = x2·2|x-3|+4 + 2x-1.

Rezolvare. a) Ecuatia se scrie

sau

Efectuand operatiile din paranteze se obtine

de unde 2x = 8 si x = 3.

b) Similar rezolvarii ecuatiei precedente se obtine:

2x+1-2x+2 -2x+3 = 5x-5x+1    2x·2-2x·4 -2x·8 = 5x-5x·5   
2x(2-4-8) = 5x(1-5)    2x(-10) = 5x(-4)     

c) Se trec toti termenii in partea stanga a ecuatiei si se grupeaza convenabil

(x2·2x+1 -2x-1)+(2|x-3|+2- x2·2|x-3|+4) = 0.

In fiecare paranteza se scoate factorul comun in afara parantezei

2x-1(4x2-1) +2|x-3|+2(1-4x2) = 0,
de unde rezulta
(4x2-1)·(2x-1 -2|x-3|+2) = 0
si totalitatea de ecuatii
4x2-1 = 0,
2x-1 = 2|x-3|+2.

Prima ecuatie are solutiile x1 = -1/2,  x2 = 1/2, iar a doua se rezolva utilizand proprietatile modulului:

2x-1 = 2|x-3|+2     x-1 = |x-3|+2     x-3 = |x-3|     x-3   x 3.
Asadar, solutiile acestei ecuatii sunt
x { 1/2} [3,+).

Unele ecuatii exponentiale se rezolva prin metode specifice.

Exemplul 7. Sa se rezolve ecuatiile

a)   d) 4x+(x-1)2x = 6-2x,   g)
b) 5x-2 = 8-x,   e) x2+x+2 = 2·2x-4x,   h)  
c) 3x+4x = 5x,   f)   i)

Rezolvare. a) Se observa ca si utilizand substitutia (atunci ) se obtine ecuatia

sau
t2-62t+1 = 0
cu solutiile si . Cum , se obtine totalitatea de ecuatii
de unde x1 = 2 si x2 = -2   ( se tine seama ca ).

b) Se observa ca x = 3 este solutie a ecuatiei date. Alte solutii ecuatia data nu are, deoarece membrul din stanga reprezinta o functie crescatoare, iar membrul din dreapta o functie descrescatoare, si cum graficele acestor functii pot avea cel mult un punct comun, rezulta ca x = 3 este unica solutie.

c) Se observa ca x = 2 este solutie a acestei ecuatii. Alte solutii ecuatia nu are. In adevar, ecuatia se scrie

Se observa ca functia ca suma a doua functii descrescatoare este la fel descrescatoare si, prin urmare, capata fiecare valoare a sa doar o singura data.

d) Se noteaza t = 2x si se rezolva ecuatia patrata in t:

t2+(x-1)t+2x-6 = 0.

Discriminantul acestei ecuatii este D = (x-1)2-4(2x-6) = x2-10x+25 = (x-5)2, iar soluiile

 
Cum solutia t = -2 nu verifica conditia t > 0, ramane
2x = 3-x
Se rezolva similar exemplului b) si se obtine x = 1.

e) Ecuatia se scrie

x2+x+1 = 2·2x-4x-1
sau
x2+x+1 = -(2x-1)2,
de unde rezulta, ca ecuatia nu are solutii. In adevar, cum membrul din stanga ecuatiei ia valori in multimea [3/4; +), iar membrul din dreapta ecuatiei valori nepozitive.

f) Se observa ca ecuatia are solutii doar pentru x > 0. Atunci membrul din dreapta

in plus semnul egalitatii se obtine pentru x = 1 (se tine seama de inegalitatea justa pentru orice a > 0), pe cand membrul din stanga ecuatiei primeste valoara maxima 2 pentru x = 1. In adevar

Astfel unica solutie a acestei ecuatii este x = 1.

g) Se observa, ca pentru x (-,-1/2] ecuatia nu are solutii (in adevar, in asa caz membrul din stanga ia valori nepozitive). Pentru x (-1/2;+) membrul din stanga reprezinta o functie strict crescatoare, ca produsul a doua functii strict crescatoare, si, prin urmare, primeste fiecare valoare a sa doar o singura data. Ramane de observat ca x = 0 este solutie (unica) a ecuatiei.

h) Domeniul valorilor admisibile al ecuatiei este multimea numerelor naturale, mai mari ca 1. Ecuatia se scrie

Se logaritmeaza, de exemplu, in baza 5 si se obtine
sau
de unde se obtine ecuatia patrata
x2+x(log52-3)-3log52 = 0
cu solutiile x1 = 3 si x2 = -log52. Cum x2 DVA, rezulta ca unica solutie a ecuatiei este x = 3.

i) DVA a ecuatiei este multimea x R\{ 0} si astfel (a se vedea exemplul precedent) solutiile ei sunt numerele 3 si -log52.

Uneori se intalnesc ecuatii ce contin necunoscuta atat in baza cat si in exponentul puterii:
[h(x)]f(x) = b    ([h(x)]f(x) = [h(x)]g(x)).
(6)

De regula, domeniul de definitie pentru functia [h(x)]f(x)    ([h(x)]g(x)) se considera multimea tuturor valorilor x D(f) (x D(f)D(g) ), unde D(f) desemneaza domeniul de definitie al functiei f (f si g), pentru care h(x) > 0. Astfel:

[h(x)]f(x) = [h(x)]g(x)
f(x) = g(x),
h(x) > 0,
h(x) 1,
h(x) = 1,
x D(f) D(g).

Exemplul 8. Sa se rezolve ecuatiile :

a)    b) ,    c)

Rezolvare. a) Cum a2 = |a|2 ecuatia se scrie astfel

si este echivalenta cu totalitatea de sisteme
|x-2| > 0,
|x-2| 1,
x2+x+1 = 2,
|x-2| = 1,
x DVA.
de unde se obtin solutiile: x = -2, x = 3 si x = 1.

b) Se scrie (x2+x)0 = 1, si se obtine

x2+x > 0,
x2+x 1,
x2+2x = 0,
x2+x = 1,
x = -2,

c) DVA al ecuatiei este multimea (0;+). In DVA ecuatia este echivalenta cu totalitatea

|x-1| > 0,
|x-1| 1,
lg2x-lgx2 = 3.
|x-1| = 1,
x > 0.
de unde rezulta solutiile x = 1/10, x = 1000 si x = 2.

Nota. Uneori este necesar ca functiile din (6) sa fie examinate pe domenii mai largi: se tine seama ca functia h(x)f(x) are sens si atunci cand h(x) = 0 si f(x) > 0   (g(x) > 0) sau h(x) < 0 si f(x)  (g(x)) ia valori in multmea numerelor intregi etc. (a se vedea [2]-[4]).

Exercitii de recapitulare




| Pagina principala | Ghidul utilizatorului | Rubrica candidatului | Curriculumurile scolare |
| Matematica competitiva | Matematica distractiva| Formule, dictionare | Avizuri |
|Pagini din istorie | Examene, teste | Bibliografie | Link-uri | Site map |