| Заглавная страница | Руководство пользователя | Практикум абитуриента | Учебные программы |
| Математический кружок | Занимательная математика| Формулы, словари | Новости |
|Странички истории | Экзамены, тесты | Библиография | Ссылки | Карта |

Уравнения и неравенства второго порядка
Уравнения второго порядка

Уравнение вида
ax2 + bx + c = 0, (1)
где a, b, c О R,   a ≠ 0, x - неизвестное, называется уравнением второго порядка (квадратным уравнением).

Числа a, b и c из (1) называются коэффициентами квадратного уравнения, а число
D = b2 - 4ac - дискриминантом квадратного уравнения.

Пример 1. Следующие уравнения являются квадратными уравнениями

a) 6x2 + 5x + 1 = 0,   здесь   a = 6,   b = 5,   c = 1
   и   D = 52 - 4·6·1 = 1;
b) 9x2 - 12x + 4 = 0,   здесь   a = 9,   b = -12,   c = 4
   и   D = (-12)2 - 4·9·4 = 0;
c) x2 - x - 2 = 0,   здесь   a = 1,   b = -1,   c = -2
   и   D = (-1)2 - 4·1·(-2) = 9;
d)       здесь  
    и  

Уравнения второго порядка можно решать используя следующее утверждение

Утверждение 1. Если a) дискриминант уравнения (1) положителен, то уравнение (1) имеет два различных действительных корня
  и   (2)
b) дискриминант уравнения (1) равен нулю, то уравнение (1) имеет два равных корня (один корень двойной кратности)
(3)
c) дискриминант уравнения (1 ) отрицателен, то уравнение (1) не имеет действительных корней.

Таким образом (см. пример 1),

  1. уравнение a) имеет два различных корня x1 = -1/2 и x2 = -1/3;

  2. уравнение b) имеет два равных корня x1 = x2 = 2/3;

  3. уравнение c) имеет два различных корня x1 = -1 и x2 = 2;

  4. уравнение d) не имеет действительных решений.

Уравнение второго порядка с a = 1 называется приведенным квадратным уравнением и обычно обозначается
x2 + px + q = 0. (4)
Для приведенных квадратных уравнений формулы определения корней (2) и (3) принимают вид
(5)

x1 = x2 = - p/2,     (D = 0). (6)

Уравнения вида
ax2 + bx = 0, (7)

ax2 + c = 0. (8)
называются неполными квадратными уравнениями. Уравнения (7), (8) могут быть решены с помощью утверждения 1, или иначе, более просто:

ax2 + bx = 0   Ы   x(ax + b) = 0   Ы  
x1 = 0;
x2 = -b/a.
ax2 + c = 0   Ы   x2 = -c/a   Ы  
ac ≤ 0,
x О Ж,
ac > 0.

Пример 2. Решить уравнения

a) 2x2 - 7x = 0;       b) 9x2 - 25 = 0;       c)

Решение. a)

2x2 - 7x = 0   Ы   x(2x - 7) = 0   Ы  
x1 = 0,
x2 = 7/2;

b) 9x2 - 25 = 0   Ы   9x2 = 25   Ы   x2 = 25/9   Ы   x1,2 = ±5/3;

c) откуда следует что уравнение не имеет действительных корней (левая часть уравнения - неотрицательна, а правая - отрицательное число).

В дальнейшем рассмотрим несколько типов уравнений которые сводятся к уравнениям второго порядка.

Биквадратные уравнения

Уравнение вида
ax4 + bx2 + c = 0 (9)
где a, b, c О R,   a ≠ 0, x - неизвестное, называется биквадратным уравнением. Подстановкой x2 = t (тогда x4 = t2) биквадратное уравнение сводится к уравнению второго порядка.

Пример 3. Решить уравнения

a) x4 - 29x2 + 100 = 0;       b) x4 + x2 - 6 = 0;       c) 2x4 - 3x2 + 4 = 0.

Решение. a) Обозначив x2 = t, (тогда x4 = t2) получим квадратное уравнение относительно t:

t2 - 29t + 100 = 0
решения которого t1 = 4 и t2 = 25. Таким образом
x2 = 4,
x2 = 25,
откуда x = ±2 и x = ±5.

b) Аналогично предыдущему примеру, получим квадратное уравнение t2 + t - 6 = 0 решения которого t = -3 и t = 2. Поскольку t = x2 і 0, остается t = 2 или x2 = 2, откуда

c) Положив t = x2, получим квадратное уравнение 2t2 - 3t + 4 = 0 которое не имеет действительных корней. Следовательно и исходное уравнение не имеет действительных корней.

Симметричные уравнения четвертого порядка

Уравнения вида
ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 (10)
где a, b, c О R,   a ≠ 0 называются симметричными уравнениями четвертого порядка.

Посредством подстановки , симметричные уравнения четвертого порядка сводятся к уравнениям второго порядка. Действительно, так как x = 0 не является корнем уравнения (10) (a ≠ 0), разделив на x2 обе части уравнения, получим равносильное уравнение

или

Обозначив , тогда |t| ≥ 2 и поскольку уравнение примет вид

a(t2 - 2) + bt + c = 0,
решение последнего уравнения не представляет трудностей.

Замечание. Уравнение ax4 bx3 ± cx2 ± bx + a = 0 сводится к уравнению второго порядка используя подстановку

Пример 4. Решить уравнения

a) x4 + 5x3 + 2x2 + 5x + 1 = 0,
b) 2x4 + 3x3 - 4x2 - 3x + 2 = 0.

Решение. a) Данное уравнение есть уравнение вида (10) Поскольку x = 0 не является корнем, разделив обе части уравнения на x2 ≠ 0 и удобно групируя, получим равносильное уравнение

Сделаем подстановку ,   |t| ≥ 2, тогда и уравнение примет вид
t2 - 2 + 5t + 2 = 0
или t2 + 5t = 0, решения которого t1 = -5, t2 = 0 (не удовлетворяет условию |t| ≥ 2). Следовательно,
откуда получаем квадратное уравнение x2 + 5x + 1 = 0, решения которого и

b) Аналогично предыдущему примеру получим уравнение

Положим тогда и получим квадратное уравнение
2(t2 + 2) + 3t - 4 = 0   или   2t2 + 3t = 0,
решения которого t1 = 0 и t2 = -3/2. Следовательно
Из первого уравнения совокупности получим x = -1 и x2 = 1, а из второго x3 = -2 и
x4 = 1/2.

Возвратные уравнения

Уравнение
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, (11)
где {a, b, c, d} М R,   a ≠ 0,   b ≠ 0 и называется возвратным уравнением четвертого порядка.

Уравнения 11 сводятся к уравнениям второго порядка посредством подстоновки

Пример 5. Решить уравнение

x4 + x3 - 6x2 - 2x + 4 = 0.

Решение. Заметим что и следовательно данное уравнение есть возвратное уравнение четвертого порядка.

Так как x = 0 не является решением уравнения, разделим на x2 (не теряя при этом решений) получим равносильное уравнение

Обозначим тогда и уравнение примет вид

t2 + 4 + t - 6 = 0   или   t2 + t - 2 = 0
решения которого t1 = -2 и t2 = 1. Таким образом
или, (x ≠ 0)
x2 + 2x - 2 = 0,
x2 - x - 2 = 0,
откуда получим решения x = -1 и x = 2.

Уравнения вида

(x + a)4 + (x + b)4 = c (12)

используя подстановку сводятся к биквадратному уравнению относительно t.

Пример 6. Решить уравнение

(x + 3)4 + (x - 1)4 = 82.

Решение. Сделаем подстановку и получим следующее уравнение относительно t:

(t + 2)4 + (t - 2)4 = 82
или
t4 + 8t3 + 24t2 + 32t + 16 + t4 - 8t3 + 24t2 - 32t + 16 - 82 = 0
откуда получим биквадратное уравнение
t4 + 24t2 - 25 = 0
решение которого t2 = 1, откуда t = ± 1. Следовательно x + 1 = ± 1 и корни исходного уравнения имеют вид x = -2 и x = 0.

Уравнения вида
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (13)
где a + b = c + d сводятся к уравнениям второго порядка используя условие a + b = c + d. Действительно,

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(x + c)(x + d) = x2 + (c + d)x + cd = x2 + (a + b)x + cd
и обозначив x2 + (a + b)x = t (или x2 + (a + b)x + ab = t) получим квадратное уравнение (t + ab)(t + cd) = m (соответственно, t(t + cd - ab) = m).

Пример 7. Решить уравнение

(x - 2)(x + 1)(x + 4)(x + 7) = 19.

Решение. Заметим, что -2 + 7 = 1 + 4 и удобно группируя, получим

[(x - 2)(x + 7)]·[(x + 1)(x + 4)] = 19
или
[x2 + 5x - 14][x2 + 5x + 4] = 19.
Обозначим t = x2 + 5x - 14, тогда x2 + 5x + 4 = t + 18 и уравнение примет вид
t(t + 18) = 19   или   t2 + 18t - 19 = 0
откуда t = -19 и t = 1. Таким образом
x2 + 5x - 14 = -19,
x2 + 5x - 14 = 1,
откуда и

Рациональные уравнения

Пример 8. Решить уравнения

Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество На ОДЗ уравнение равносильно следующему

(3x + 4)(x + 3) - (2x - 1)(5x - 4) = 0
откуда легко получить квадратное уравнение
7x2 - 26x - 8 = 0.
Решив его, найдем x1 = -2/7 и x2 = 4. Оба корня принадлежат ОДЗ.

b) ОДЗ уравнения есть множество R\{2;3}. Приводя к общему знаменателю получим

x - 1 + (x - 2)(x - 3) + x - 3 = 0
или
x2 - 3x + 2 = 0.
Корни последнего уравнения x1 = 1 и x2 = 2. Учитывая ОДЗ получим единственное решение исходного уравнения x = 1.

c) ОДЗ уравнения есть множество R\{3;4;5;6}. Имеем

или
откуда
(2x - 9)(x - 4)(x - 5) + (2x - 9)(x - 6)(x - 3) = 0
или
(2x - 9)[(x - 4)(x - 5) + (x - 6)(x - 3)] = 0,
откуда следует совокупность уравнений
2x - 9 = 0,
x2 - 9x + 19 = 0
и решения

d) ОДЗ уравнения есть множество R\{1;3;4;5}. Выделим целую часть каждой дроби.

или
откуда
или

Приведя к общему знаменателю, получим

или
2x(x - 4)(x - 5) - x(x - 1)(x - 3) = 0,
откуда следует следующая совокупность уравнений
x = 0,
x2 - 14x + 37 = 0,
и решения x1 = 0 si (все решения принадлежат ОДЗ).

Уравнения вида

(14)
сводятся к уравнениям второго порядка, используя подствановку

Пример 9. Решить уравнение

Решение. ОДЗ уравнения есть множество Поскольку x = 0 не является решением данного уравнения, перепишем уравнение в виде

(разделяем числитель и знаменатель каждой дроби на x).

Обозначим и уравнение примет вид

или 2(t + 1) + 13(t - 5) = 6(t - 5)(t + 1), откуда следует квадратное уравнение
6t2 - 39t + 33 = 0   или   2t2 - 13t + 11 = 0.
Решив это уравнение, получим t1 = 1 и t2 = 11/2 (оба корня удовлетворяют условиям t ≠ 5 и t ≠ -1). Таким образом получаем совокупность уравнений
  или  
2x2 - x + 3 = 0,
4x2 - 11x + 6 = 0
откуда x1 = 3/4 и x2 = 2.

Уравнения содержащие взаимно-обратные выражения

Уравнения вида
(15)
сводятся к уравнениям второго порядка используя подстановку Тогда и уравнение (15) примет вид at2 + ct + b = 0.

Пример 10. Решить уравнения

Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество Обозначим тогда и уравнение примет вид

откуда следует квадратное уравнение t2 - 5t + 4 = 0, решения которого t1 = 1 и t2 = 4. Таким образом
откуда x = -1 и x = 1/2 (оба решения входят в ОДЗ).

b) ОДЗ уравнения есть множество R\{± 1}. Заметив что x = ± 2 не являются решениями данного уравнения, умножим обе части уравнения на выражение и получим равносильное уравнение

Обозначив , тогда уравнение примет вид
  или   20t2 + 48t - 5 = 0
решения которого t1 = 1/10 и t2 = -5/2. Таким образом
  или  
3x2 - 11x + 6 = 0,
7x2 + 9x + 14 = 0,
откуда получаем корни исходного x1 = 3,   x2 = 2/3 (оба корня входят в ОДЗ).

В некоторых случаях удобно выделить полный квадрат.

Пример 11. Решить уравнения

a) x4 - 2x3 - x2 + 2x + 1 = 0;
b)

Решение. a) Выделим полный квадрат

x4 - 2x2·x + x2 - x2 - x2 + 2x + 1 = 0,
(x2 - x)2 - 2(x2 - x) + 1 = 0.
Обозначим t = x2 - x и получим квадратное уравнение
t2 - 2t + 1 = 0
откуда t = 1 или x2 - x - 1 = 0, решения которого

b) ОДЗ данного уравнения есть множество Прибавив к обеим частям уравнения выражение

получим
или, выделяя в любой части полный квадрат
откуда следует уравнение
Сделаем подстановку и получим уравнение
t2 - t - 2 = 0.
Решая его получим t = -1 и t = 2 и следующую совокупность уравнений
  или  
2x2 + 2x - 1 = 0,
x2 - 2x + 1 = 0,
откуда и x3 = 1.

Неравенства второй степени

Неравенства вида
ax2 + bx + c > 0, (16)
ax2 + bx + c ≥ 0, (17)
ax2 + bx + c < 0, (18)
ax2 + bx + c ≤ 0, (19)
где a, b, c О R,   a ≠ 0. называются неравенствами второй степени (квадратными неравенствами).

Квадратные неравенства решаются используя следующие утверждения.

Утверждение 2. Если a > 0 и дискриминант квадратного трехчлена ax2 + bx + x положителен, то

  1. неравенство (16) имеет решения x О (-Ґ;x1)И(x2;+Ґ);
  2. неравенство (17) имеет решения x О (Ґ;x1]И[x2;+Ґ);
  3. неравенство (18) имеет решения x О (x1,x2);
  4. неравенство (19) имеет решения x О [x1,x2]

где x1 и x2 (x1 < x2) есть корни трехчлена ax2 + bx + c.

Утверждение 3. Если a > 0 и дискриминант квадратного трехчлена ax2 + bx + c равен нулю, то

  1. неравенство (16) имеет решения x О R\{x1};
  2. неравенство (17) имеет решения x О R;
  3. неравенство (18) не имеет решений;
  4. неравенство (19) имеет единственное решение: x = x1,

где x1 есть двойной корень трехчлена ax2 + bx + c.

Утверждение 4. Если a > 0 и дискримининант трехчлена ax2 + bx + c отрицателен, то

  1. неравенства (16) и (17) имеют решения x О R;
  2. неравенства (18) и (19) не имеют решений.

Если a < 0, умножая неравенства (16)-(19) на (-1) (при этом знак неравенства меняется на противоположный) получим неравенства в котором a > 0 и применяем утверждения 2-4.

Пример 12. Решить неравенства

a) x2 - x - 90 > 0; d) x2 - x + 2 > 0;
b) 4x2 - 12x + 9 ≤ 0;         e) -6x2 + 5x - 1 ≤ 0;
c) x2 - 6x < 0; f) 4x2 - x + 5 ≤ 0.

Решение. a) Корни трехчлена x2 - x - 90 есть x1 = -9 и x2 = 10, a = 1 > 0, и, следовательно, множество решений неравенста x2 - x - 90 > 0 есть x О (-Ґ;-9)И(10;+Ґ).

b) Дискриминант трехчлена 4x2 - 12x + 9 равен нулю, a = 4 > 0 и следовательно, единственное решение неравенства 4x2 - 12x + 9 ≤ 0 есть x = 3/2.

c) Корнями трехчлена x2 - 6x являются x1 = 0 и x2 = 6, a = 1 > 0, следовательно x О (0;6) есть решения неравенства x2 - 6x < 0.

d) Дискриминант трехчлена x2 - x + 2 отрицателен, a = 1 > 0, и следовательно, любое действительное число удовлетворяет неравенство x2 - x + 2 > 0.

e) Умножим обе части неравенства на -1 и получим неравенство 6x2 - 5x + 1 ≥ 0. Используя утверждение 2, получим x О (-Ґ;1/3]И[1/2;+Ґ).

f) Неравенство не имеет решений.

При решении неравенств степени выше двух, можно использовать те же приемы, что и в случае уравнений (в некоторых случаях дополнительно используется и метод интервалов).

Пример 13. Решить неравенства

a) 6x4 + 5x3 - 38x2 + 5x + 6 ≤ 0;
b) x(x - 2)(x - 4)(x - 6) ≥ 9;
c) x4 - 4x3 + 8x + 3 < 0;
d)
e) 50x4 - 105x3 + 74x2 - 21x + 2 ≥ 0;
f)
g) (x + 5)4 + (x + 3)4 < 272.

Решение. a) Решив уравнение (см. (10))

6x4 + 5x3 - 38x2 + 5x + 6 = 0
находим нули левой части неравенства

Следовательно,

откуда, используя метод интервалов, находим множество решений исходного неравенства x О [-3;-1/3]И[1/2;2].

b) Используя метод решения уравнений вида (13) получим

x(x - 2)(x - 4)(x - 6) ≥ 9   Ы   x(x - 6)(x - 2)(x - 4) - 9 ≥ 0   Ы
Ы   (x2 - 6x)(x2 - 6x + 8) - 9 ≥ 0   Ы  
t(t + 8) - 9 ≥ 0,
t = x2 - 6x,
  Ы
Ы  
t2 + 8t - 9 ≥ 0,
t = x2 - 6x,
  Ы  
t ≤ -9,
t ≥ 1
t = x2 - 6x,
  Ы  
x2 - 6x ≤ -9,
x2 - 6x ≥ 1,
  Ы
Ы  
x2 - 6x + 9 ≤ 0,
x2 - 6x - 1 ≥ 0,
  Ы  
x = 3,
  Ы

c) Выделяя полный квадрат, получим

x4 - 4x3 + 8x + 3 < 0   Ы   (x2)2 - 2·2·x2·x + 4x2 - 4x2 + 8x + 3 < 0   Ы
Ы   (x2 - 2x) - 4(x2 - 2x) + 3 < 0   Ы  
t2 - 4t + 3 < 0,
t = x2 - 2x,
  Ы  
1 < t < 3,
t = x2 - 2x,
  Ы
Ы  
x2 - 2x < 3,
x2 - 2x > 1,
  Ы  
x2 - 2x - 3 < 0,
x2 - 2x - 1 > 0,
  Ы  
-1 < x < 3,
  Ы  

d) Используя метод интервалов, получим

Ы   x О (0;1)И(3;5).

e) Решая уравнение (см. (11))

50x4 - 105x3 + 24x2 - 21x + 2 = 0
находим нули левой части неравенства (заметим, что x = 0 есть решение данного неравенства)

Следовательно

Используя метод интервалов, получим x О (-Ґ;1/5]И[2/5;1/2]И[1;+Ґ).

f) Так как x = 0 не является решением неравенства (0 > 1) исходное неравенство равносильно неравенству

Обозначив тогда неравенство примет вид

Используя метод интервалов, получим

Следовательно

  откуда     или
x > 0,
x < 0,
x > 0,
x < 0,
1 < x < 7,
  Ы  
x О Ж,
x О (1;7),
  Ы   x О (1;7).

g) Сделаем подстановку t = x + 4 (см. (12)) тогда неравенство примет вид

(t + 1)4 + (t - 1)4 < 272
или
t4 + 6t2 - 135 < 0
откуда
(t2 - 9)(t2 + 15) < 0   или   |t| < 3.

Следовательно |x + 4| < 3. Используя свойства модуля получим

|x + 4| < 3   Ы   -3 < x + 4 < 3   Ы   -7 < x < -1.

Упражнения

I. Решить уравнения

  1. x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24.

  2. (1 - x)(2 - x)(x + 3)(x + 3) = 84.

  3. (x + 2)4 + x4 = 82.

  4. (2x2 + 5x - 4)2 - 5x2(2x2 + 5x - 4) + 6x4 = 0.

  5. x4 - 4x3 + 2x2 + 4x + 2 = 0.

  6. x4 + 6x3 + 5x2 - 12x + 3 = 0.

  7. (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) = 12.

  8. 6x4 - 5x2 + 1 = 0.

II. Решить неравенства

  1. x4 - 8x3 + 14x2 + 8x - 15 ≤ 0.

  2. x4 + x3 - 12x2 - 26x - 24 < 0.

  3. (x - 1)(x - 2)(x + 3)(x + 4) ≥ 84.

  4. (x - 1)4 + (x + 1)4 ≥ 82.

Литература

  1. P.Cojuhari. Ecuatii si inecuatii. Teorie si practica. Chisinau, Universitas, 1993.

  2. P.Cojuhari, A.Corlat. Ecuatii si inecuatii algebrice. Mica biblioteca a elevului. Chisinau, Editura ASRM, 1995.

  3. Ф.Яремчук, П.Руденко. Алгебра и элементарные функции. Киев, Наукова Думка, 1987.

  4. Gh.Andrei si altii. Exercitii si probleme de algebra pentru concursuri si olimpiade scolare. Partea I, Constanta 1990.




| Заглавная страница | Руководство пользователя | Практикум абитуриента | Учебные программы |
| Математический кружок | Занимательная математика| Формулы, словари | Новости |
|Странички истории | Экзамены, тесты | Библиография | Ссылки | Карта |