Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

log_a x = b. (1)

Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = a^b.

Пример 1. Решить уравнения:

a) log₂ x = 3, b) log₃ x = -1, c)

Решение. Используя утверждение 1, получим
a) x = 2³ или x = 8; b) x = 3^-1 или x = ¹/₃; c) или x = 1.

Приведем основные свойства логарифма.

P1. Основное логарифмическое тождество:

где a > 0, a ≠ 1 и b > 0.

P2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:

log_a N₁·N₂ = log_a N₁ + log_a N₂ (a > 0, a ≠ 1, N₁ > 0, N₂ > 0).

Замечание. Если N₁·N₂ > 0, тогда свойство P2 примет вид

log_a N₁·N₂ = log_a |N₁| + log_a |N₂| (a > 0, a ≠ 1, N₁·N₂ > 0).

P3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя

(a > 0, a ≠ 1, N₁ > 0, N₂ > 0).

Замечание. Если , (что равносильно N₁N₂ > 0) тогда свойство P3 примет вид

(a > 0, a ≠ 1, N₁N₂ > 0).

P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:

log_a N^k = k log_a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).

Замечание. Если k - четное число (k = 2s), то

log_a N^2s = 2s log_a |N| (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Формула перехода к другому основанию:

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0), в частности, если N = b, получим

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1).

(2)

Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0),
(3)

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0),
(4)

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0),
(5)

и, если в (5) c - четное число (c = 2n), имеет место

(b > 0, a ≠ 0, |a| ≠ 1).
(6)

Перечислим и основные свойства логарифмической функции f(x) = log_a x:

Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.
Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел.
При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 < x₁ < x₂ Þ log_a x₁ < log_a x₂), а при 0 < a < 1, - строго убывает (0 < x₁ < x₂ Þ log_a x₁ > log_a x₂).
log_a 1 = 0 и log_a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).
Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x Î (0;1) и положительна при x Î (1;+¥), а если 0 < a < 1, то логарифмическая функция положительна при x Î (0;1) и отрицательна при x Î (1;+¥).
Если a > 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a Î (0;1) - выпукла вниз.

Следующие утверждения (см., например, [1]) используются при решении логарифмических уравнений.

Утверждение 2. Уравнение log_a f(x) = log_a g(x) (a > 0, a ≠ 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)

	f(x) = g(x),			f(x) = g(x),
	f(x) > 0,			g(x) > 0.

Утверждение 3. Уравнение log_h(x) f(x) = log_h(x) g(x) равносильно одной из систем

	f(x) = g(x),			f(x) = g(x),
	h(x) > 0,			h(x) > 0,
	h(x) ≠ 1,			h(x) ≠ 1,
	f(x) > 0,			g(x) > 0.

Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться "чужие" решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения

f(x) = g(x) и log_a f(x) = log_a g(x) или log_a [f(x)·g(x)] = b и log_a f(x) + log_a g(x) = b вообще говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже).

Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.

Приведем основные способы решения логарифмических уранений.

I. Использование определения логарифма

Пример 2. Решить уравнения

a) log₂(5 + 3log₂(x - 3)) = 3,	c) log_{(x - 2)}9 = 2,
b)	d) log_{2x + 1}(2x² - 8x + 15) = 2.

Решение. a) Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1) называется степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b. Таким образом, log_ab = c Û b = a^c и, следовательно,

5 + 3log₂(x - 3) = 2³ или 3log₂(x - 3) = 8 - 5, log₂(x - 3) = 1. Опять используя определение, получим x - 3 = 2¹, x = 5.

Проверка полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения:

log₂(5 + 3log₂(5 - 3)) = log₂(5 + 3log₂2) = log₂(5 + 3) = log₂8 = 3.

Получим истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходного уравнения.

b) Аналогично примеру a), получим уравнение

откуда следует линейное уравнение x - 3 = 3(x + 3) с решением x = -6. Сделаем проверку и убедимся, что x = -6 является корнем исходного уравнения.

c) Аналогично примеру a), получим уравнение

(x - 2)² = 9. Возведя в квадрат, получим квадратное уравнение x² - 4x - 5 = 0 с решениями x₁ = -1 и x₂ = 5. После проверки остается лишь x = 5.

d) Используя определение логарифма, получим уравнение

(2x² - 8x + 15) = (2x + 1)² или, после элементарных преобразований, x² + 6x-7 = 0, откуда x₁ = -7 и x₂ = 1. После проверки остается x = 1.

II. Использование свойств логарифма

Пример 3. Решить уравнения

a) log₃x + log₃(x + 3) = log₃(x + 24),

b) log₄(x² - 4x + 1) - log₄(x² - 6x + 5) = -¹/₂

c) log₂x + log₃x = 1,

d) 2log₃(x - 2) + log₃(x - 4)² = 0,

e) 16^{log₄(1 - 2x)} = 5x² - 5.

Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x Î (0;+¥) которое определяется из системы неравенств (условия существования логарифмов уравнения)

	x > 0,
	x+3 > 0,
	x+24 > 0.

Используя свойство P2 и утверждение 1, получим

log₃x + log₃(x + 3) = log₃(x + 24) Û

	log₃x(x + 3) = log₃(x + 24),
	x > 0,

Û	x(x + 3) = x + 24,
	x > 0,

Û	x² + 2x - 24 = 0,
	x > 0,

Û		x₁ = -6,
		x₂ = 4,
		x > 0,

Û x = 4.

b) Используя свойство P3, получим следствие исходного уравнения

откуда, используя определение логарифма, получим

или x² - 4x + 1 = ¹/₂(x² - 6x + 5), откуда получаем уравнение x² - 2x - 3 = 0 с решениями x₁ = -1 и x = 3. После проверки остается лишь x = -1.

c) ОДЗ уравнения: x Î (0;+¥). Используя свойство P5, получим уравнение

log₂x(1 + log₃2) = 1, откуда

или

или log₂x = log₆3. Следовательно,

d) ОДЗ уравнения - множество (2;4)È(4;+¥) определяется из системы неравенств

	x-2 > 0,
	(x - 4)² ≠ 0,

Используя свойство P4 (учитывая замечание), получим равносильное уравнение 2log₃(x - 2) + 2log₃|x - 4| = 0 или log₃(x - 2) + log₃|x - 4| = 0.

Используя свойство P2, получим равносильное уравнение

log₃(x - 2)|x - 4| = 0 (x - 2)|x - 4| = 1. Поскольку в ОДЗ x - 2 = |x - 2| уравнение можно записать следующим образом |x - 2||x - 4| = 1 или |x² - 6x + 8| = 1 последнее уравнение (см. свойства модуля) равносильно совокупности уравнений

	x² - 6x + 8 = 1,
	x² - 6x + 8 = -1,

откуда получим: x₁ = 3, x₂ = 3 +

и x₃ = 3 -

Ï ОДЗ. Таким образом, корнями исходного уравнения являются x₁ = 3 и x₂ = 3 +

e) Поскольку

используя свойство P1, получим, что в ОДЗ (x Î (-¥;-1)) уравнение равносильно уравнению (1 - 2x)² = 5x² - 5 или x² + 4x - 6 = 0, откуда следует: x₁ = -2 -

и x₂ = -2 +

. Последнее значение x не входит в ОДЗ, остается единственное решение x = -2 -

III. Метод подстановки

В некоторых случаях логарифмическое уравнение можно свести к алгебрическому уравнению относительно новой переменной. Например, уравнение F(log_ax) = 0, где F(x) - алгебраическая рациональная функция, посредством подстановки log_ax = t сводится к алгебраическому уравнению относительно t, R(t) = 0.

Пример 4. Решить уравнения

a) lg²x - 3lgx + 2 = 0,	c) lg²100x + lg²10x + lgx = 14,
b) ,	d) 5^lgx = 50 - x^lg5.

Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x Î (0;+¥). Обозначив lgx = t (тогда lg²x = (lg x)² = t²), получим квадратное уравнение

t² - 3t + 2 = 0, решения которого t₁ = 1 и t₂ = 2. Следовательно,

	lg x = 1,
	lg x = 2,

откуда x₁ = 10 и x₂ = 100. Оба корня входят в ОДЗ.

b) ОДЗ уравнения - множество (1;+¥). Поскольку подстановкой t = log₂(x - 1) получим квадратное уравнение

4t² - 3t - 1 = 0 решениями которого являются t₁ = -¹/₄ и t₂ = 1. Таким образом,

	log₂(x - 1) = -¹/₄,
	log₂(x - 1) = 1,

c) ОДЗ уравнения - множество (0;+¥). Так как

lg²100x = (lg100x)² = (lg100 + lgx)² = (2 + lgx)², lg²10x = (lg10x)² = (lg10 + lgx)² = (1 + lgx)², подстановкой t = lgx сведем исходное уравнение к квадратному уравнению (2 + t)² + (1 + t)² + t = 14 или 2t² + 7t - 9 = 0 откуда t₁ = -⁹/₂ и t₂ = 1. Возвращаясь к исходной переменной, получим

и x₂ = 10.

d) ОДЗ уравнения - множество (0;1)È(1;+¥). Поскольку уравнение примет вид 5^{lg x} = 50 - 5^{lg x} или 2·5^{lg x} = 50, откуда 5^{lg x} = 25 или 5^{lg x} = 5² Û lgx = 2 Û x = 100.

IV. Уравнения, содержащие выражения вида

Пример 5. Решить уравнения

Решение. a) ОДЗ уравнения определяется из системы

	x + 2 > 0,
	x + 2 ≠ 1.

Получим множество x Î (-2;-1)È(-1;+¥). В ОДЗ обе части уравнения положительны, поэтому, логарифмируя обе части уравнения (например, по основанию 2), получим равносильное уравнение

или, используя свойства P4 и P2, log₂(x + 2)·log₂(x + 2) = log₂4 + log₂(x + 2). Обозначив log₂(x + 2) = t, получим квадратное уравнение t² - t - 2 = 0 решениями которого являются t₁ = -1 и t₂ = 2. Следовательно,

	log₂(x + 2) = -1,
	log₂(x + 2) = 2,

откуда

	x + 2 = ¹/₂,
	x + 2 = 4

или

	x₁ = -³/₂,
	x₂ = 2.

Оба корня входят в ОДЗ.

b) ОДЗ уравнения - множество (0;1)È(1;+¥). Поскольку (см. свойство proprietatea P5 и формулу (2))

уравнение примет вид

или

Логарифмируя обе части уравнения по основанию 2, получим

или log₂x = 1, откуда x = 2.

V. Некоторые специальные методы

Пример 6. Решить уравнения

a) 2^x = 9 - log₃x;

c) log₂(x² + 1) - log₂x = 2x - x²;

d) log₅(x + 2) = 4 - x;

f) |log₂(3x - 1) - log₂3| = |log₂(5 - 2x) - 1|;

g) log_x+1(x³ - 9x + 8)log_x-1(x + 1) = 3;

h) log₂(6x - x² - 5) = x² - 6x + 11.

Решение. a) Заметим, что x = 3 есть корень данного уравнения: 2³ = 9-log₃3, 8 = 9-1, 8 = 8. Других решений уравнение не имеет, так как левая часть уравнения представляет строго возрастающую функцию, а правая часть - строго убывающую функцию. Графики таких функций имеют не более одной точки пересечения и, следовательно, поскольку x = 3 является решением, следует, что других решений нет.

b) ОДЗ уравнения есть множество x Î (1;+¥). Обозначив log₃(x-1) = t получим квадратное уравнение относительно t

xt² + 4(x - 1)t - 16 = 0. Дискриминант этого уравнения D = [4(x - 1)]² + 4x·16 = 16x² + 32x + 16 = 16(x + 1)², а корни

Таким образом, получена совокупность уравнений

	log₃(x - 1) = -4,
	log₃(x - 1) = ⁴/_x.

Из первого уравнения получим

, а второе уравнение решается аналогично предыдущему примеру: заметив, что x = 4 есть корень уравнения, доказывается, что других корней нет. Следовательно, корнями исходного уравнения являются

и x = 4.

c) ОДЗ уравнения определяется из системы

	x² + 1 > 0,
	x > 0,

откуда следует x Î (0;+¥). Используя свойство P3, получим равносильное уравнение

Поскольку при x > 0, а знак равенства достигается лишь при x = 1, то левая часть уравнения В то же время правая часть уравнения принимает максимальное значение 1 при x = 1 (вершина параболы y = 2x - x² находится в точке (1;1)). Следовательно, уравнение имеет решения только если откуда x = 1.

d) Решая аналогично примеру a), получим x = 3.

e) Используя утверждение A1 (иррациональные уравнения), получим

f) Используя свойства P2, P3 и свойства модуля (см., например, [2]), получим

g) Находим ОДЗ уравнения

x + 1 > 0,	Û	x > -1,			Û
x + 1 ≠ 1,		x ≠ 0,	Û	x > 1,
x³ - 9x + 8 > 0,		x³ - x - 8x + 8 > 0,		x ≠ 2,
x - 1 > 0,		x > 1,		(x - 1)(x² + x - 8) > 0,
x - 1 ≠ 1,		x ≠ 2,

Û	x > 1,
	x ≠ 2,
	x² + x - 8 > 0,

Û	x > 1,
	x ≠ 2,

Используя свойство P5, получим (в ОДЗ)

или log_x+1(x - 1)(x² + x-8) = log_x+1(x - 1)³, откуда следует уравнение (x - 1)(x² + x - 8) = (x - 1)³,

	x = 1,
	x² + x - 8 = x² - 2x + 1,

откуда x₁ = 1, x₂ = 3.

Поскольку x = 1 не удовлетворяет ОДЗ, а остается лишь x = 3.

h) Поскольку функция f(x) = 6x - x² - 5 достигает своего максимума 4 при x = 3, следует, что

log₂(6x - x² - 5) ≤ 2. Правая часть уравнения x² - 6x + 11 = x² - 6x + 9 + 2 = (x - 3)² + 2 и, следовательно, 2 - это наименьшее ее значение (достигается при x = 3). Таким образом, уравнение имеет решение лишь в случае, если одновременно log₂(6x - x² - 5) = 2 и x² - 6x + 11 = 2, то есть, если x = 3.

Логарифмические неравенства

Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании называется логарифмическим неравенством.

В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.

Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство log_a f(x) > log_a g(x) равносильно системе неравенств

	f(x) > g(x),
	g(x) > 0.

Утверждение 2. Если 0 < a < 1, то неравенство log_a f(x) > log_a g(x) равносильно системе неравенств

	f(x) < g(x),
	f(x) > 0.

Утверждение 3. Неравенство log_h(x) f(x) > log_h(x) g(x) равносильно совокупности систем неравенств

		h(x) > 1,
		f(x) > g(x) > 0,
		0 < h(x) < 1,
		0 < f(x) < g(x).

Подчеркнем, что в неравенстве log_a f(x) > log_a g(x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ≥ , < , ≤ . В этом случае утверждения 1-3 соответственно преобразуются.

Пример 1. Решить неравенства

a) log₃(x² - x) ≥ log₃(x + 8);	d)
b)	e) log_2x(x² - 5x + 6) < 1.
c)

Решение. a) Используя утверждение 1 , получим

log₃(x² - x) ≥ log₃(x + 8) Û	x² - x ≥ x + 8,	Û	x² - 2x - 8 ≥ 0,	Û
	x+8 > 0,		x > -8,

Û	x ≤ -2,
	x ≥ 4,	Û x Î (-8;-2]È[4;+¥).
	x > -8,

b) Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим

c) Запишем 0 = log₂1 и, используя утверждение 1, получим

Запишем и, используя утверждение 2, получим

d) Используя утверждение 3, получим

Û	x Î (3;4),	Û x Î (3;4).
	x Î Ж,

Решение первой системы совокупности:

Решение второй системы совокупности:

e) Запишем 1 = log_2x2x, и используем утверждение 3 (учитывая, что знак > заменен на знак < ).

log_2x(x² - 5x + 6) < log_2x2x Û		2x > 1,
		x² - 5x + 6 < 2x,
		x² - 5x + 6 > 0,
		0 < 2x < 1,
		x² - 5x + 6 > 2x,
		2x > 0,

Û	x Î (1;2)È(3;6),	x Î (0;¹/₂)È(1;2)È(3;6).
	x Î (0;¹/₂)

Решение первой системы совокупности:

x > ¹/₂,	Û	x > ¹/₂,	Û x Î (1;2)È(3;6).
x² - 7x + 6 < 0,		1 < x < 6,
x < 2,		x < 2,
x > 3,		x > 3,

Решение второй системы совокупности:

	0 < x < ¹/₂,
	x² - 7x + 6 > 0,

Û		0 < x < ¹/₂,
		x < 1,
		x > 6,

Û x Î (0;¹/₂).

Неравенства вида F(log_ax) > 0 сводятся подстановкой t = log_ax к алгебраическому неравенству F(t) > 0.

Пример 2. Решить неравенства

Решение. a) Обозначив , получим квадратное неравенство t² + t - 2 ≥ 0, откуда t ≤ -2 или t ≥ 1. Таким образом,

b) Обозначив t = lgx, получим рациональное неравенство

. Используя метод интервалов (см., например, [1], [2]), получим

Следовательно,

lgx < -1,		0 < x < ¹/₁₀,
2 < lgx < 3,	Û	100 < x < 1000,	Û x Î (0;¹/₁₀)È(100;1000)È(10⁵;+¥).
lgx > 5,		x > 10⁵,

В случае логарифмических неравенств, которые не имеют вид неравенств, входящих в утверждения 1-3, определяется ОДЗ и с помощью равносильных преобразований исходные неравенства сводятся к неравенствам, которые решаются с помощью утверждений 1-3.

Пример 3. Решить неравенства

Решение. a) ОДЗ неравенства - множество (5;+¥). Используя свойство P2, получим неравенство

lg(x - 2)(x - 5) < lg4. Используя утверждение 1, получим

	(x - 2)(x - 5) < 4,
	(x - 2)(x - 5) > 0.

Решаем систему

x² - 7x + 6 < 0,		1 < x < 6,
x < 2,	Û	x < 2,	Û x Î (1;2)È(5;6)
x > 5,		x > 5,

и, учитывая ОДЗ, получим x Î (5;6).

e) Определим ОДЗ неравенства

Приведя все логарифмы к основанию 3, получим

Используя свойство P2, получим

Обозначив log₃x = t, решим полученное неравенство методом интервалов

Следовательно,

откуда, учитывая ОДЗ, получим множество решений исходного неравенства:

c) Определим ОДЗ неравенства

Поскольку , неравенство равносильно следующему:

откуда следует

Обозначив

t ≥ 0, получим квадратное неравенство (t - 1)² > t + 11, или t² - 3t - 10 > 0, откуда t < -2 или t > 5. Поскольку t ≥ 0, остается t > 5 или

Û x > 5.

Учитывая ОДЗ, получим ответ: x Î (5;+¥).

d) ОДЗ неравенства есть множество (1;2)È(2;+¥). Используя обобщенный метод интервалов, получим

Так как в ОДЗ log₂(x-1) > 0 при x > 2 и log₂(x-1) < 0 при 1 < x < 2, следует, что для любого x из ОДЗ, при x Î (1;2)È(2;3) и при x > 3, значит,

получим x Î (1;2)È(3;+¥).

Для укрепления навыков решения логарифмических уравнений и неравенств рекомендуем читателю, например, задачники [3-5].

Литература

P. Cojuhari. Ecuatii si inecuatii. Teorie si practica. Chisinau, Universitas, 1993.
P. Cojuhari, A. Corlat. Ecuatii si inecuatii algebrice. Mica biblioteca a elevului. Seria matematica si informatica. Editura ASRM. Chisinau, 1995.
C.Cosnita, F.Turtoiu. Probleme de algebra. Editura Tehnica. Bucuresti, 1989.
Е.Д.Куланин и др. 3000 конкурсных задач по математике. Айрис Ролиф. Москва, 1997.
Ф.П.Яремчук, П.Рудченко. Алгебра и элементарные функции. Киев, Наукова Думка. 1987.