| Заглавная страница | Руководство пользователя | Практикум абитуриента | Учебные программы |
| Математический кружок | Занимательная математика| Формулы, словари | Новости |
|Странички истории | Экзамены, тесты | Библиография | Ссылки | Карта |

Неравенство, содержащее неизвестные величины или некоторые функциии неизвестных величин под знаком радикала называется иррациональным неравенством.

При решении иррациональных неравенств, как правило, приходится возводить обе части неравенства в натуральную степень. Такого рода преобразования могут привести к неравенствам, которые не равносильны исходному, и посколько множество решений в большинстве случаев представляет бесконечное множество, невозможно провести проверку полученых решений подстановкой. Единственный способ, который гарантирует правильный ответ, состоит в применении исключительно равносильных преобразований неравенств. В связи с этим, приведем соответсвующие утверждения, которые часто исппользуются при решении иррациональных неравенств (во всех утверждениях n - натуральное число).

A1. Неравенство

		g(x) < 0,
		f(x) ≥ 0,
		g(x) ≥ 0,
		f(x) > [g(x)]2n.

Замечание. Из утверждения A1 следует что неравенство

A2. Неравенство

	g(x) > 0,
	f(x) ≥ 0,
	f(x) < [g(x)]2n.

Замечание.. Из утверждения A2 следует, что если правая часть неравенства есть число b (g(x) = b), то

-   Ы   0 ≤ f(x) < [b]2n, если b > 0

- неравенство не имеет решений, если b ≤ 0.

A3. Неравенство

	f(x) > g(x),
	g(x) ≥ 0.

A4. Неравенство

	f(x) > [g(x)]2n,
	g(x) > 0.

A5. Неравенство

		g(x) < 0,
		f(x) ≥ 0,
		g(x) > 0,
		f(x) ≥ 0,
		f(x) < [g(x)]2n.

A6. Неравенство

		f(x) = 0,
		x О D(g),
		f(x) > 0,
		g(x) ≥ 0,

A7. Неравенство

		f(x) = 0,
		x О D(g),
		f(x) > 0,
		g(x) ≤ 0.

A8. Неравенства

  и   f(x) < [g(x)]²ⁿ⁺¹

A9. Неравенства

  и   f(x) > [g(x)]²ⁿ⁺¹

Замечание. Если m нечетное число, то

Расмотрим несколько примеров.

Пример 1. Решить неравенства

Решение. a) Используя утверждение A1 (в данном случае f(x) = x² + 3x - 18, a g(x) = 2x + 3) получим

> 2x + 3

Ы x2 + 3x - 18 ≥ 0, 2x + 3 < 0, x2 + 3x - 18 > (2x + 3)2, 2x + 3 ≥ 0,

Ы x О (-Ґ,-6], x О Ж,

Ы

Первое неравенство второй системы совокупности не имеет решений

Таким образом множество решений исходного неравенства есть (-Ґ,-6].

b) Заметим, что правая часть неравенства есть отрицательное число, а левая часть (как только существует - x² - x - 90 ≥ 0) получает неотрицательные значения. Таким образом (см. замечание к утверждению A1 множество решений исходного неравенства находится решая неравенство

c) Возводим обе части неравенства в четвертую степень и получим равносильное неравенство (см. замечание к утверждению A1)

d) Используя утверждение A2 (здесь f(x) = x² + 4x - 5 и g(x) = 2x - 3) получим

< 2x + 1

Ы 2x + 1 ≥ 0, x2 + 4x - 5 ≥ 0, x2 + 4x - 5 < (2x + 1)2,

Ы x ≥ -1/2, x ≤ -5, x ≥ 1, 3x2 + 6 > 0,

Ы

Ы	x ≥ 1,	Ы   x ≥ 1.
	x О R,

e) Используя замечание к утверждению A2 получим

< 2

Ы x2 - 5x + 4 < 4, x2 - 5x + 4 ≥ 0,

Ы x2 - 5x < 0, x2 - 5x + 4 ≥ 0

Ы 0 < x < 5, x ≤ 1, x ≥ 4,

Ы

f) Неравенство не имеет решений, поскольку левая часть неравенства в ОДЗ есть выражение, принимающие неотрицательные значения и, следовательно, не может быть меньше или равно отрицательного числа.

g) Используя утверждение A3 (здесь f(x) = x² - x - 2 и g(x) = 6 + 5x - x²) получим

>

Ы x2 - x - 2 > 6 + 5x - x2, 6 + 5x - x2 ≥ 0,

Ы x2 - 3x - 4 > 0, x2 - 5x - 6 ≤ 0,

Ы

Ы		x < -1,	Ы   x О (4,6].
		x > 4,
		-1 ≤ x ≤ 6,

h) Согласно утверждению A4

Ы 2 - x > (x + 1)2, x + 1 > 0,

Ы x2 + 3x - 1 < 0, x > -1,

Ы

i) Используя утверждение A5 получим следующую совокупность систем

		3 - |x - 6| < 0,
		x - 3 ≥ 0,
		3 - |x - 6| > 0,
		x - 3 ≥ 0,
		x - 3 < (3 - |x - 6|)2.

Решая первую систему, получим

|x - 6| > 3, x ≥ 3,	Ы		x - 6 > 3,	Ы		x > 9,	Ы   x > 9.
			x - 6 < -3,			x < 3,
			x ≥ 3,			x ≥ 3,

Решая вторую систему совокупности, получим

	|x - 6| < 3,	Ы	-3 < x - 6 < 3,	Ы
	x ≥ 3,		x ≥ 3,
	x - 3 < 9 - 6|x - 6| + x2 - 12x + 36,		x2 - 6|x - 6| - x + 48 > 0,

Ы 3 < x < 9, x2 - 6|x - 6| - x + 48 > 0,

Ы 3 < x ≤ 6, Ы x2 + 6(x - 6) - x + 48 > 0, 6 < x < 9, x2 - 6(x - 6) - x + 48 > 0,

Ы		3 < x ≤ 6,	Ы		3 < x ≤ 6,	Ы 3 < x < 9.
		x2 + 5x + 12 > 0,			x О R
		6 < x < 9,			6 < x < 9,
		x2 - 7x + 84 > 0,			x О R,

j) Согласно утверждению A7 получим:

(x - 1) ≤ 0	Ы		6 + x - x2 = 0,	Ы
			x О R.
			6 + x - x2 > 0,
			x - 1 ≤ 0,

Ы		x = -2,	Ы x О [-2;1]И{3}.
		x = 3,
		-2 < x < 3,
		x ≤ 1,

k) Используя утверждение A6 получим:

≥ 0	Ы		x2 - 8x + 7 = 0,	Ы
			x ≠ 1,
			x2 - 8x + 7 > 0,
			≥ 0,

Ы			x = 1,	Ы x = 7, x < 1, x ≥ 9,	Ы x О (-Ґ,1)И{7}И[9,+Ґ).
			x = 7,
			x ≠ 1,
			x < 1,
			x > 7,
			x ≥ 9,
			x < 1,

l) Возведя обе части неравенства в куб получим равносильное неравенство (см. утверждение A9)

В дальнейшем рассмотрим применение метода подстановки.

Пример 2. Решить неравенства

Решение. a) Положив (t ≥ 0), и тем самым , получим неравенство

Следовательно, исходное неравенство равносильно двойному неравенству

b) Положив t ≥ 0 и используя метод интервалов получим

Поскольку t ≥ 0, влечет 2t + 1 ≥ 1, последнее неравенство равносильно системе

	t = 0,
	1 - t < 0,

c) Заметим, что данное неравенство содержит взаимно обратные выражения. Положив тогда получим неравенство

Так как t > 0, последнее неравенство равносильно следующему

Последнее неравенство равносильно системе

Ы x > 8/3, x < 2, x < 0, x > 2,

d) Запишем неравенство (добавив и вычтя 25) следующим образом:

Обозначив (тогда x + 5 = t²) получим квадратное неравенство

Поскольку все части двойного неравенства положительны, возведя в квадрат получим равносильное неравенство

e) ОДЗ неравенства есть x ≥ 1. На ОДЗ неравенство равносильно следуещему

Положив получим квадратное неравенство

Используя утверждения A1 и A2 получим

f) Положив тем самым x - 1 = t² и получим неравенство

Возводя в куб получим равносильное неравенство (см. утвеждение A9)

Поскольку t ≥ 0, последнее неравенство равносильно системе

	(1 - t)(3 - t) > 0,
	t ≠ 0,

		t > 3,
		t < 1,
		t ≠ 0,

	x - 1 > 9,
	0 < x - 1 < 1,

	x > 10,
	1 < x < 2.

Часто используется следующий способ решения иррациональных неравенств: с помощью преобразований сохраняющих равносильность, исходное неравенство сводится к неравенствам которые фигурируют в утверждениях A1-A9, после чего применяется соответвующее утверждение.

Пример 3. Решить неравенства

Решение. a) Решив систему (условие существования радикалов второго порядка)

	x + 4 ≥ 0,
	2x + 1 ≥ 0,
	2 - x ≥ 0.

В ОДЗ неравенство равносильно следующему

Поскольку обе части неравенства положительны в ОДЗ, возводя в квадрат, получим равносильное неравенство:

Еще раз возводя в квадрат и учитывая ОДЗ получим

	1 < 4(2 - x)(2x + 1),
	-1/2 ≤ x ≤ 2,

	8x2 - 12x - 7 < 0,
	-1/2 ≤ x ≤ 2,

b) Запишем неравенство следующим образом

Так как 1 + x³ = (1 + x)(1 - x + x²) и 1 - x + x² > 0 для любого x О R, неравенство

Разделив на (это выражение положительно для любого x О R)получим неравенство

		1 + x ≥ 1 - x + x2,
		1 - x + x2 ≥ 0,
		x > 1,
		1 + x ≤ 1 - x + x2,
		1 + x ≥ 0,
		x < 1,

x2 - 2x ≤ 0, x О R, x > 1, x2 - 2x ≥ 0, x > -1, x < 1,

Ы 1 < x ≤ 2, -1 < x ≤ 0.

Таким образом, множество решений исходного неравенства есть x О (-1;0]И(1;2].

c) ОДЗ данного неравенства x О [-1;0)И[1;+Ґ), определяется решая систему неравенств

Запишем неравенство в виде

Последнее неравенство, учитывая что в ОДЗ   x + 1 ≥ 0 и и, следовательно |x + 1| = x + 1, , равносильно системе

d) Пусть тогда откуда и неравенство принимает вид

Последнее неравенство можно решить аналогично примеру 3a):

+ < 7

Ы x - 1 + 2 + x + 6 < 49, x-1 ≥ 0, x+6 ≥ 0,

Ы

Ы < 22 - x, x ≥ 1,

Ы (x-1)(x+6) < (22-x)2, 22-x > 0, x ≥ 1,

Ы

Ы	x < 10,	Ы 1 ≤ x < 10,
	1 ≤ x < 22,

+ = 7,

e) Так как

Так как то и, следовательно Таким образом,

Так как |a| ≥ -a, для любого a О R следует что множество решений исходного неравенства совпадает с ОДЗ, то есть x ≥ 4.

Решить неравенства:

| Заглавная страница | Руководство пользователя | Практикум абитуриента | Учебные программы |
| Математический кружок | Занимательная математика| Формулы, словари | Новости |
|Странички истории | Экзамены, тесты | Библиография | Ссылки | Карта |

---