Иррациональные уравнения

Уравнения, содержащие неизвестную под знаком радикала называются иррациональными уравнениями. Например

Подчеркнем, что радикалы четной степени, входящие в уравнение, понимаются в арифметическом смысле и они существуют если и только если подкоренное выражение неотрицательно.

Пример 1. Решить уравнения

Решение. a) Заметим, что при любом допустимом значении x левая часть уравнения неотрицательна, а его правая часть отрицательна, следовательно уравнение не имеет решений.

b) Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, если они одновременно равны нулю, следовательно уравнение равносильно системе

	x - 2 = 0,
	x + 2 = 0,

которая противоречива. Следовательно и исходное уравнение не имеет решений.

c) Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется из системы

	3 - x ≥ 0,
	x - 5 ≥ 0.

Поскольку система противоречива, ОДЗ данного уравнения является пустым множеством и, следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

d) ОДЗ данного уравнения x = 4, определяется из системы

Поскольку x = 4 есть единственное допустимое значение, достаточно проверить, является ли оно решением уравнения. Подставив x = 4 в уравнение получим верное числовое равенство 0 = 0 и, следовательно, x = 4 есть единственное решение данного уравнения.

e) Множество допустимых значений этого уравнения имеет вид x О [2;4]. Это множество определяется из системы неравенств

	x - 2 ≥ 0,
	x + 7 ≥ 0,
	4 - x ≥ 0.

Заметим, что на ОДЗ имеет место неравенство , и поскольку , следовательно данное уравнение не имеет решений.

(4x² - 9)

= 0 Ы

		4x²-9 = 0,
		= 0,
		x ≥ 1,

		x = -³/₂,
		x = ³/₂,
		x = 1,
		x ≥ 1,

	x = ³/₂,
	x = 1.

Одним из стандартных приемов решения иррациональных неравенств является освобождение от радикалов путем возведения обеих частей в соответствующую степень. Подчеркнем (см. например [1]), что если n нечетное натуральное число, то уравнения f(x) = g(x) и (f(x))ⁿ = (g(x))ⁿ равносильны, а если n четное натуральное число, то уравнение (f(x))ⁿ = (g(x))ⁿ есть следствие уравнения f(x) = g(x) и, следовательно, необходимо провести проверку полученных решений.

Пример 2. Решить уравнения

Решение. a) Возводя обе части уравнения в куб, получим равносильноеv уравнение

5x + 27 = x³ + 9x² + 27x + 27, или x³ + 9x² + 22x = 0, откуда следует совокупность

	x = 0,
	x² + 9x + 22 = 0.

Поскольку последнее уравнение не имеет решений (D = 9² - 4·22 < 0), то x = 0 - единственное решение исходного уравнения.

b) Возводя обе части уравнения в шестую степень получим

x² = (x - 4)³ или x³ - 13x² + 48x - 64 = 0, откуда, удобно группируя, (x³ - 8x²) - (5x² - 40x) + (8x - 64) = 0, получим x²(x - 8) - 5x(x - 8) + 8(x - 8) = 0, или (x - 8)(x² - 5x + 8) = 0. Последнее уравнение равносильно совокупности

	x - 8 = 0,
	x² - 5x + 8 = 0,

откуда x = 8. Проверкой убеждаемся, что x = 8 удовлетворяет исходному уравнению.

c) Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем квадратное уравнение

x² - 9x + 25 = 4x² - 52x + 169, или 3x² - 43x + 144 = 0, решения которого x₁ = 9 и x₂ = ¹⁶/₃. После проверки остается лишь x = 9.

d) Перепишем уравнение в виде

и возводя обе части уравнения в квадрат, получим

Опять отделим один корень

или

и возводя в квадрат, получим уравнение 9(3 - x) = (3 - x)², корни которого x = 3 и x = -6. Проверкой убеждаемся, что оба значения удовлетворяют исходному уравнению,

При решении иррациональнных уравнений удобно и полезно следующее утверждение (см., например, [2]).

A1. Уравнение равносильно системе

	f(x) = [g(x)]²ⁿ,
	g(x) ≥ 0.

Замечание.. Из утверждения A1 следует, что уравнения (b ≥ 0) и f(x) = [b]²ⁿ равносильны.

Пример 3. Решить уравнения

Решение. a) (Сравните решение с приведенным в примере 2d)) используя утверждение A1, получим систему

	x² - 9x + 25 = (2x - 13)²,
	2x - 13 ≥ 0,

или

	3x² - 43x + 144 = 0,
	x ≥ ¹³/₂,

откуда

		x = ¹⁶/₃,
		x₂ = 9,
		x ≥ ¹³/₂,

и значит x = 9.

b) Используя утверждение A1, получим

= x + 2

Ы	10 - x = (x + 2)²,
	x + 2 ≥ 0,

Ы	x² + 5x - 6 = 0,
	x ≥ -2,

Ы	x₁ = -6,	Ы x = 1.
	x₂ = 1,
	x ≥ -2,

Подчеркнем, что при решении уравнений, содержащих радикалы четной степени полезно работать с множеством допустимых значений на всем протяжении решения уравнения.

Пример 4. Решить уравнения

Решение. a) ОДЗ данного уравнения x О [⁵/₃;4]. Исходное уравнение равносильно следующему уравнению

. Поскольку обе части уравнения на ОДЗ принимают неотрицательные значения, возводя в квадрат получим равносильное уравнение

которое, после очевидных преобразований принимает вид

Используя утверждение A1 и учитывая ОДЗ, получим

2x - 5 =

Ы	(2x - 5)² = 4 - x,
	x ≥ ⁵/₂,
	x О [⁵/₃;4],

Ы	4x² - 19x + 21 = 0,	Ы
	x О [⁵/₂;4],

Ы	x₁ = ⁷/₄,	Ы x = 3.
	x₂ = 3,
	x О [⁵/₂;4],

b) ОДЗ данного уравнения x О (0;20]. Так как на ОДЗ обе части уравнения неотрицательны, то возводя в квадрат получим echivalenta равносильное уравнение

или, учитывая, что условие x О (0;20], влечет

получаем уравнение

откуда

Последнее уравнение на ОДЗ равносильно системе

	(20 + x)(20 - x) = (3x - 20)²,
	3x - 20 ≥ 0,
	x О (0;20]

или

	10x² - 120x = 0,
	x О [²⁰/₃;20]

откуда

		x₁ = 0,
		x₂ = 12,
		x О [²⁰/₃;20]

и значит x = 12.

c) Область допустимых значений этого уравнения, ппредставляет множество x О (-Ґ;-4]И{2}И[3,+Ґ), являющееся решением системы неравенств

	x² - x - 2 ≥ 0,
	x² + 2x - 8 ≥ 0,
	x² - 5x + 6 ≥ 0.

Учитывая, что если AB ≥ 0, то , получим

или

откуда

Из первого уравнения совокупности получим x = 2.

Для решения второго уравнения совокупности, учитывая ОДЗ, рассмотрим следующие два случая:

I. Если x О (-Ґ;-4], уравнение примет вид

Возводя в квадрат, получим равносильное уравнение

или

Используя утверждение A1, получим

	4(1 + x)(x + 4) = (8 + x)²,
	x ≥ -8

или, после очевидных преобразований

	3x² + 4x - 48 = 0,
	x ≥ -8

Учитывая, что x О [-8;-4], получим решение

II. Если x О [3;+Ґ), уравнение примет вид

Поскольку x + 4 > x - 3, то . Из последннего неравенства и неравенства следует что данное уравнение при x ≥ 3 не имеет решений. Таким образом, корни исходного уравнения x = 2 и

d) Область допустимых значений уравнения x О [1;11] является решением системы неравенств

	x - 1 ≥ 0,
	x + 2 ≥ 0,
	11 - x ≥ 0.

Поскольку обе части уравнения неотрицательны, возводя в квадрат, получим равносильное уравнение

которое равносильно системе (см. утверждение A1)

	4(x - 1)(x + 2) = (10 - 3x)²,
	10 - 3x ≥ 0,

или

	5x² - 64x + 108 = 0,
	x ≤ ¹⁰/₃,

решение которой x₁ = 2, удовлетворяет ОДЗ исходного уравнения.

Уравнения вида

посредством подстановки

, как правило, приводятся к алгебраическим уравнениям.

Пример 5. Решить уравнения

Решение. a) Положив (t ≥ 0), тогда . В результате получаем уравнение

2t² + 5t - 18 = 0. корни которого t₁ = -⁹/₂ и t₂ = 2. Поскольку t ≥ 0 остается t = 2 или

, откуда
x = 2⁶ или x = 64.

b) ОДЗ данного уравнения есть R\{-4;-⁷/₅}. Заметим, что уравнение содержит взаимно обратные выражения. Сделав подстановку получим и уравнение примет вид

или, после очевидных преобразований 6t² - 13t + 6 = 0. Решая это квадратное уравнение, получим корни t₁ = ²/₃ и t₂ = ³/₂. Следовательно,

или, возводя в куб,

откуда

	x = 4,
	x = -¹⁵⁷/₁₂₇.

c) Положим и получим уравнение

или 2t² - t - 15 = 0, откуда t₁ = -⁵/₂ (не удовлетворяет условию t > 0) и t = 3. Таким образом

откуда, учитывая замечание к утверждению A1, получим 2x + 1 = 9 и x = 4.

d) Сделаем подстановку , тогда x² + 5x + 28 = t², откуда
x² + 5x = t² - 28 и уравнение примет вид

t² - 28 + 4 = 5t или t² - 5t - 24 = 0 откуда t₁ = -3 и t₂ = 8.

Так как t ≥ 0, получим

Возводя в квадрат, получим равносильное уравнение

x² + 5x + 28 = 64, или x² + 5x - 36 = 0 решения которого x = -9 и x = 4.

В некоторых случаях иррациональное уравнение можно рационализировать умножив обе части уравнения на отличное от нуля выражение.

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Умножив обе части уравнения на выражение

(сопряженное выражение левой части уравнения), после сокращения подобных слагаемых, получим уравнение

равносильное исходному, так как уравнение

не имеет действительных решений.

Сложив почленно уравнения

получим уравнение

или

Возводя обе части уравнения в квадрат получим равносильное уравнение

3x² - x - 10 = 0 решения которого x₁ = -⁵/₃ и x₂ = 2.

Проверкой убеждаемся, что среди найденных корней нет посторонних.

Замечание.. Данное уравнение можно решить используя подстановку t = 3x² - x + 6. В результате получим 3x² - x-1 = 3x² - x + 6 - 7 = t - 7 и уравнение примет вид

Последнее уравнение решается аналогично примеру 2d).

Рассмотрим уравнения, которые решаются выделением полного квадрата под знаком радикала.

Пример 7. Решить уравнения

Решение. a) Заметив, что x² - 4x + 4 = (x - 2)², x² + 6x + 9 = (x + 3)² и учитывая что , получим уравнение

|x - 2| + |x + 3| = 5.

Так как |x - 2| = |2 - x|, (2 - x) + (x + 3) = 5 и, следовательно

|2 - x| + |x + 3| = |(2 - x) + (x + 3)| используя свойства модуля (см., например, [1]), получим что данное уравнение равносильно неравенству (2 - x)(x + 3) ≥ 0, откуда получим множество решений исходного уравнения x О [-3;2].

b) Под знаком каждого радикала выделим полный квадрат

Сделаем подстановку t ≥ 0, после этого уравнение примет вид

|t - 2| + |t - 3| = t². Последнее уравнение равносильно совокупности

		0 ≤ t ≤ 2,
		-t + 2 - t + 3 = t²,
		2 < t ≤ 3,
		t - 2 - t + 3 = t²,
		t > 3,
		t - 2 + t - 3 = t²,

или

		0 ≤ t ≤ 2,

		2 < t ≤ 3,
		t = ±1,
		t > 3,
		t О Ж,

откуда

. Таким образом

или

Рассмотрим несколько специальных способов решения иррациональных уравнений.

Пример 8. Решить уравнения

Решение. a) Легко проверить, что x = 2 - корень данного уравнения. Других решений уравнение не имеет, поскольку левая часть уравнения является возрастающей функцией (как сумма двух возрастающих функций), а правая часть - постоянная функция, следовательно графики этих функций могут иметь не более одной точки пересечения. Итак, x = 2 - единственное решение уравнения.

b) Используя формулу (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) возводим обе части уравнения в куб

(1)
откуда, учитывая что (исходное уравнение), получим

(2)

Возводя ещё раз в куб, получим уравнение

x(3x - 2)(x - 2) = -x³ или x[(3x - 2)(x - 2) + x²] = 0, откуда получаем совокупность уравнений

	x = 0,
	x² - 2x + 1 = 0,

решения которой

	x = 0,
	x = 1.

Проверкой убеждаемся (проверка необходима, так как уравнения (1) и (2) в общем случае неравносильны) что x = 0 - единственное решение уравнения.

c) ОДЗ данного уравнения x О [2;4]. Обозначив , получим систему

	4 - x = u²,
	x - 2 = v²,

откуда u² + v² = 2.

В новых обозначениях уравнение примет вид

или

и, поскольку u + v № 0, u² - uv + v² = 2.

Решая систему

	u² - uv + v² = 2,
	u² + v² = 2,

получим

	uv = 0,
	u² + v² = 2,

Так как u ≥ 0, v ≥ 0, решение данной системы u₁ = 0,

v₂ = 0, откуда следует x₁ = 2 и x₂ = 4.

d) ОДЗ уравнения x О [2;3]. Сделаем подстановку тогда или и уравнение примет вид

t + t² = 6, откуда t₁ = -3 (не удовлетворяет условию t > 0 ) и t = 2. Таким образом

Решая последнее неравенство анологично примеру 8a), получим x = 2.

e) ОДЗ уравнения x О [1;3]. Правая часть уравнения x² - 4x + 6 = x² - 4x + 4 + 2 =
= (x - 2)² + 2 на ОДЗ принимает минимальное значение 2 при x = 2, а левая часть уравнения принимает максимальное значение 2 при x = 2 (можно показать, например используя дифференциальное исчисление). Следовательно, x = 2 - единственное решение уравнения.

f) Положив u ≥ 0, v ≥ 0 получим равносильную рациональную систему

	u⁴ - v⁴ = 16,
	u - v = 2.

Выразив из второго уравнения u (u = 2 + v) и подставив в первое, получим уравнение (2 + v)⁴ - v⁴ = 16, или 16 + 32v + 24v² + 8v³ + v⁴ - v⁴ = 16, откуда следует совокупность

	v = 0,
	v² + 3v + 4 = 0,

решение которой v = 0. Тогда u = 2. Решая систему

получим корень x = 9.

g) Заметим, что x = 0 не является решением данного уравнения. Разделив обе части уравнения на x получим уравнение

Так как (это следует, например, из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим), получим

откуда, используя утверждение A1 получим систему

	2x + 15 = x²,
	x > 0,

решение которой x = 5. Проверкой убеждаемся, что x = 5 - корень исходного уравнения.

h) Область допустимых значений данного уравнения есть x О [5;+Ґ). На ОДЗ левая часть уравнения есть строго возрастающая функция, а правая часть - строго убывающая функция, следовательно данное уравнение имеет самоеболшее одно решение. Проверив наименьшее возможное значение (x = 5) убеждаемся, что оно является единственным решением уравнения.

i) ОДЗ уравнения x О [-3;-1]И(0;+Ґ). Перепишем уравнение

Возводя обе части уравнения в квадрат, получим равносильное уравнение

Так как , а , получим систему

решение которой x = -1. Проверкой убеждаемся, что x = -1 есть решение исходного уравнения.

Упражнения