Показательные неравенства

При решении показательныx неравенств используются следующие утверждения:

A.1. Если a > 1, неравенство

a^f(x) > a^g(x) равносильно неравенству f(x) > g(x).

Аналогично, a^f(x) < a^g(x) Ы f(x) < g(x).

A.2. Если 0 < a < 1, неравенство

a^f(x) > a^g(x) равносильно неравенству f(x) < g(x).

Аналогично, a^f(x) < a^g(x) Ы f(x) > g(x).

A.3. Неравенство

[h(x)]^f(x) > [h(x)]^g(x) (1)

равносильно совокупности систем неравенств

		h(x) > 1,
		f(x) > g(x),
		0 < h(x) < 1,
		f(x) < g(x).

Замечание.. Если знак неравенства (1) нестрогий, дополнительно рассматривается и случай

	h(x) = 1,
	x О D(f)З D(g),

где D(f) (D(g)) означает область определения функции f (g).

A.4. Если b ≥ 0, неравенство

a^f(x) < b не имеет решений (следует из свойств показательной функции).

A.5. Если b ≤ 0, множеством решений неравенства a^f(x) > b является x О D(f).

A.6. Если a > 1, b > 0, неравенство

a^f(x) > b равносильно неравенству f(x) > log_ab.

Аналогично, a^f(x) < b Ы f(x) < log_ab.

A.7. Если 0 < a < 1, b > 0, неравенство

a^f(x) > b равносильно неравенству f(x) < log_ab.

Аналогично, a^f(x) < b Ы f(x) > log_ab.

Упражнение 1. Решить неравенства:

a)	e) 2^x < -4,
b) (0.3)^\|2x-3\| < (0.3)^\|3x+4\|,	f) 2^x > -4,
c)	g)
d) (x²-x+1)^x ≤ 1,	h)

Решение. a) Так как 2 > 1, используя утверждение A.1, получаем равносильное неравенство

которое решается методом интервалов,

b) Так как 0 < 0.3 < 1 используя утверждение A.2, получаем равносильное неравенство

|2x-3| > |3x+4|, которое решается, используя свойства модуля (|a| > |b| Ы (a-b)(a+b) > 0): |2x-3| > |3x+4| Ы ((2x-3)-(3x+4)) ((2x-3)+(3x+4)) > 0 Ы(-x-7)(5x+1) > 0

Решив последнее неравенство методом интервалов, получим x О (-7;-¹/₅).

c) Используя утверждение A.3, получим

Ы		4x²+2x+1 > 1,
		x²-x > 0,
		4x²+2x+1 < 1,
		4x²+2x+1 > 0,
		x²-x < 0

Ы			x > 0,
			x < -¹₂,
			x > 1,
			x < 0,
			x О (-¹₂;0),
			x О R,
			x О (0;1).

x О (-Ґ; -¹₂) И(1;+Ґ),

x О Ж

Ы x О (-Ґ;- ¹₂) И(1;+Ґ).

d) Учитывая замечание к утверждению A.3, получим

(x²-x+1)^x ≤ 1Ы (x²-x+1)^x ≤ (x²-x+1)⁰Ы

	x²-x+1 > 1,
	x ≤ 0,
	x²-x+1 < 1,
	x²-x+1 > 0,
	x ≥ 0
	x О D(f) ЗD(g) = R
	x²-x+1 = 1.

x < 0,

0 < x < 1,

x = 0, x = 1.

Ы x О(-Ґ;1].

e) Согласно утверждению A.4, множество решений неравенства пусто.

f) Используя утверждение A.5 получим x О R.

g) Используя утверждение A.6 получим равносильное неравенство

x²-2x+3 < log₅7. Поскольку x²-2x+3 = x²-2x+1+2 = (x-1)²+2 ≥ 2, а log₅7 < log₅25 = 2, множество решений данного неравенства пусто.

h) Множество решений данного неравенства совпадает с его ОДЗ (см. утверждение A.5):

	x-3 ≥ 0,
	x-8 ≠ 0,

откуда x О [3;8)И(8;+Ґ).

Все методы решения показательных уравнений (см. Показательные уравнения) можно применить (с соответсвующими изменениями) и в случае неравенств.

Упражнение 2. Решить неравенства:

a) 5^2x+1 > 5^x+4,	d) 4^x²-x - 10·2^x² + 2^2x+4 ≥ 0,
b) 5·9^x - 18·15^x + 9·25^x > 0,	e)
c) 2^x+2 - 2^x+3 - 2^x+4 > 5^x+1 - 5^x+2,	f)

Решение. a) Так как 5^2x+1 = 5·5^2x = 5·(5^x)², обозначив t = 5^x, получим квадратное неравенство

5t²-t-4 > 0, откуда t < -⁴/₅ или t > 1. Так как t > 0, остается t > 1, то есть, 5^x > 1, и x > 0.

b) Данное неравенство - однородное показательное неравенство. Разделив обе части неравенства на 25^x, получим неравенство

Обозначив

, получим квадратное неравенство 5t²-18t+9 > 0, откуда t < ³/₅ или t > 3. Таким образом,

Учитывая, что 0 < ³/₅ < 1, получаем решения x > 1 или

. Таким образом, множество решений исходного неравенства есть

c) Используя метод общего множителя, получим

2^x+2 - 2^x+3 - 2^x+4 > 5^x+1 - 5^x+2 Ы 2^x·4 - 2^x·8 - 2^x·16 > 5^x·5 - 5^x·25 Ы Ы 2^x(4 - 8 - 16) > 5^x(5 - 25) Ы 2^x·(-20) > 5^x·(-20) Ы 2^x < 5^x Ы

d) Разделив обе части неравенства на 2^2x (2^2x > 0), получим

Обозначив

и решив квадратное неравенство t²-10t+16 ≥ 0, получим t ≤ 2 или t ≥ 8. Таким образом,

откуда

	x²-2x ≤ 1,
	x²-2x ≥ 3.

Множество решений первого неравенства совокупности есть , а второго неравенства x О (-Ґ;-1]И[3;+Ґ).

Таким образом, решение исходного неравенства есть .

e) Обозначим t = 3^x и используем метод интервалов, учитывая что t+5 > 0:

Таким образом, ¹/₃ < 3^x ≤ 3 Ы 3^-1 < 3^x ≤ 3¹ Ы x О (-1;1].

Так как , то , следовательно, x-3 ≤ 0, откуда x ≤ 3. Учитывая ОДЗ исходного неравенства (x ≥ 0), получим ответ x О [0;3].

В дальнейшем рассмотрим несколько примеров показательнных неравенств, которые решаются специальными способами (учитывая область определения и область значений, монотонность, непрерывность и т.п.).

Пример 3. Решить неравенства:

a)	d)
b) 3^x+4^x ≥ 25,	e)
c)

Решение. a) ОДЗ неравенства определяется из системы

	x-5 > 0,
	4-2^x-2 ≥ 0.

Получим

	x > 5,
	x ≤ 4,

и, так как ОДЗ неравенство пусто, то исходное неравенство не имеет решений.

b) Левая часть неравенства есть возрастающая функция (сумма двух возрастающих функций). Поскольку для x < 2, f(x) < f(2) = 25, а для x ≥ 2, f(x) ≥ f(2) = 25, множество решений данного неравенства есть [2;+Ґ).

c) Выражение a^b-a^c при a > 1 имеет тот же знак что и выражение (b-c) и противоположный знак, если 0 < a < 1, следовательно, для x О (0;1)И(1;+Ґ). выражения a^b-a^c и (a-1)(b-c) одинакового знака.