| Заглавная страница |
Руководство пользователя |
Практикум абитуриента |
Учебные программы |
| Математический кружок |
Занимательная математика|
Формулы, словари |
Новости |
|Странички истории |
Экзамены, тесты |
Библиография |
Ссылки |
Карта |
Показательные уравнения
Уравнение, которое содержит неизвестное в показателе степени, называется
показательным уравнением.
Самое простое показательное уравнение имеет вид
где a > 0, a ≠ 1.
Утверждение 1. Уравнение
(1) имеет единственное решение
x = logab при b > 0
и не имеет решений при b ≤ 0.
Пример 1. Решить уравнения:
a) 2x = -4,
b) 2x = 4,
c) 2x = 5.
Решение. a) Множество решений данного уравнения пусто, так как левая
часть уравнения положительна при любом
x О R (см. свойства
показательной функции), а правая часть есть отрицательное число.
b) Используя утверждение 1 получим
x = log24, то есть x = 2.
c) Аналогично предыдущему примеру получим x = log25.
Замечание. Из
утверждения 1 следует что показательное уравнение
вида
где a > 0, a ≠ 1 и b > 0
равносильно уравнению
f(x) = logab.
Пример 2. Решить уравнения
a)
b)
c) .
Решение. a) Согласно замечанию к утверждению 1
Так как ,
следовательно ,
откуда
b) Поскольку log39 = 2, данное уравнение равносильно следующему
уравнению
|x2-x| = 2.
Используя свойства модуля (см., например, [1])
получим
|
Ы |
|
x2-x = 2, |
Ы |
|
x2-x-2 = 0, |
Ы |
|
x = -1,
|
x2-x = -2, |
x2-x+2 = 0, |
x = 2. |
c) Логарифмируя по основанию 5 (обе части уравнения положительны), получим
(2+4+6+...+2x) = 45 sau 1+2+...+x = 45.
Используя формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии
получим уравнение
или
x2+x-90 = 0
корни которого x1 = -10 и x2 = 9.
Поскольку x О N, остается x = 9.
При решении показательных уравнений используется следующее утверждение
о равносильности уравнений (см., например, [2]).
Утверждение 2. При a > 0,
a ≠ 1, уравнения
и
f(x) = g(x)
равносильны.
Замечание. Уравнение вида
a f(x) =
bg(x)
(a > 0, a ≠ 1,
b > 0)
можно переписать следующим образом
и решить, используя утверждение 2.
Некоторые показательные уравнения сводятся к уравнениям вида
(1)-(3)
с помощью равенств
E1) ax·
ay =
ax+y,
E2)
E3) (ax)
y =
ax·y,
E4)
E5) ax·
bx =
(ab)x.
Пример 3. Решить уравнения
a)
|
c) |
b)
|
d) 32x-1 = 7x+1.
|
Решение. a) Используя равенства
E1-E3 и утверждение 2
получим
Ы
32x+1+2(x+2)-3x = 35
Ы
2x+1+2x+4-3x = 5
Ы
x = 0.
b) Так как
(ab ≠ 0), то
Используя свойства E4,
E3 и E1, получим
откуда, согласно утверждению 2, получим квадратное
уравнение
2x2-x-15 = 0
корни которого x = 3 и x = -5/2.
c) Так как 43x+1 =
41·43x =
4·(43)
x = 4·64x,
,
то уравнение примет вид
4·64x
·25x = 6400
или
64x·25x = 1600.
Используя свойство E5 и
утверждение 2 получим
1600x = 1600, откуда x = 1.
d) Используя замечание к утверждению 2, получим
,
откуда
2x-1 = xlog37+
log37
или
x(2-log37) =
log37+1.
Решая данное линейное уравнение получим
Показательные уравнения вида
посредством подстановки
t = a f(x)
сводятся к уравнениям вида
F(t) = 0,
которые, как правило, решаются проще. Наиболее часто встречаются уравнения
вида
A·a 2f(x)
+B·a f(x)
+C = 0,
|
(5) |
A·a f(x)+
C·a -f(x)+
B = 0
|
(A, B и C О R), которые с помощью
подстановки t = a f(x) сводятся к
уравнению
At2+Bt+C = 0.
Пример 4. Решить уравнения
a) 2x+3·2x-4 = 76,
b) 3-x+9·
3x+9x+1+9-x-1=8,
c)
d) 21+x-23-x = 15,
e)
Решение. a)
2x+3·2x-4 = 76
Ы
Обозначая t = 2x получим линейное уравнение
16t+3t = 76·16,
откуда t = 64. Таким образом 2x = 64 и x = 6.
b) Перепишем уравнение в виде
Обозначая t = 3x (тогда
9x = t2)
получим алгебраическое уравнение
которое (см., например, [1]) подстановкой
()
сводится к квадратному уравнению
или
z2+9z-90 = 0,
откуда z1 = -15, z2 = 6. Поскольку
t > 0, z1 = -15 не удовлетворяет условию и остается
откуда
9t2-6t+1 = 0
следовательно t = 1/3. Таким образом 3x = 1/3, откуда
x = -1.
c) Обозначим ,
тогда
В результате получим квадратное уравнение
t2-t-2 = 0
корни которого t1 = -1 и t2 = 2. Поскольку
t > 0 (вообще говоря, из условия
x2 ≥ 0 следует, что
),
остается лишь t = 2. Возвращаясь к переменной x получим уравнение
откуда x2 = 1 и следовательно
x = ±1.
d) Так как 21+x =
2·2x,
, то после подстановки
t = 2x, уравнение примет вид
Умножив обе части уравнения на t (t > 0), получим
квадратное уравнение
2t2-15t-8 = 0
корни которого и
t2 = 8. Поскольку t1 < 0, остается
2x = 8,
откуда x = 3.
e) Обозначив
(при x О (-Ґ,0]
И[2,+Ґ),
x2-2x ≥ 0 и следовательно
t ≥ 1), получим уравнение
4t2-9t+2 = 0
корни которого t1 = 1/4 и t2 = 2.
Поскольку t1 < 1, остается решить уравнение
равносильное уравнению
Возводя в квадрат (обе части уравнения неотрицательны при
x О
(-Ґ;0]И[2;+Ґ) получим равносильное уравнение
x2-2x = 1,
корни которого .
Уравнение вида
A·a 2f(x)
+B·a f(x)
b f(x)
+C·b 2f(x) = 0,
(A, B, C О
R, A·B·C
≠ 0) называется однородным
показательным уравнением. Разделив обе части этого уравнения например на
, получим квадратное
уравнение
At2+Bt+C = 0,
где .
Пример 5. Решить уравнения
a) 64·9x
-84·12x
+27·16x = 0,
b) 9·22x+2
-45·6x
-32x+4 = 0.
Решение. a) Записав уравнение в виде
64·32x
-84·3x
·4x
+27·42x = 0
и разделив на 42x, получим
или
Обозначив
получим квадратное уравнение
64t2-84t+27 = 0.
Дискриминант данного уравнения равен D =
842
-4·64·27 = 42·
32·72
-4·4·16·9·3 =
42·32(49-48) =
122, а значит его корни имеют вид
и
Таким образом
откуда x1 = 2 и x2 = 1.
b) Перепишем уравнение в виде
36·22x
-45·2x·
3x
-81·32x = 0.
Разделив его на
, получим
Обозначая
получим квадратное уравнение
4t2-5t-9 = 0
решения которого t = -1, t = 9/4. Так как t > 0, остается
,
откуда x = -2.
При решении некоторых показательных уравнений полезно выделить общий
множитель.
Пример 6. Решить уравнения
a) 2x+1 - 2x +
2x-2 - 2x-3 = 9,
|
b) 2x+1 - 2x+2 -
2x+3 =
5x - 5x+1,
|
c) x2·2x+1 +
2|x-3|+2 =
x2·2|x-3|+4 +
2x-1.
|
Решение. a) Перепишем уравнение в виде
или
откуда
следовательно 2x = 8 или x = 3.
b) Аналогично примеру 6a, получим
2x+1-2x+2
-2x+3 =
5x-5x+1
Ы
2x·2-2x·4
-2x·8 =
5x-5x·5
Ы
2x(2-4-8) = 5x(1-5)
Ы
2x(-10) = 5x(-4)
Ы
Ы
c) Запишем уравнение в виде
(x2·2x+1
-2x-1)+(2|x-3|+2-
x2·2|x-3|+4) = 0
или
2x-1(4x2-1)
+2|x-3|+2(1-4x2) = 0,
откуда следует
(4x2-1)·(2x-1
-2|x-3|+2) = 0.
Последнее уравнение равносильно совокупности
|
4x2-1 = 0, |
2x-1 = 2|x-3|+2. |
Из первого уравнения совокупности находим x1 =
-1/2, x2 = 1/2.
Второе решаем используя свойства модуля
2x-1 = 2|x-3|+2
Ы
x-1 = |x-3|+2
Ы
x-3 = |x-3|
Ы
x-3 ≥ 0
Ы
x ≥ 3.
Таким образом множество решений исходного уравнения имеет вид
x О
{±
1/2}
И[3,+Ґ).
Некоторые показательные уравнения решаются особыми методами.
Пример 7. Решить уравнения
a)
|
d) 4x+(x-1)2x =
6-2x, |
g)
|
b) 5x-2 = 8-x, |
e) x2+x+2 =
2·2x-4x, |
h)
|
c) 3x+4x =
5x, |
f)
|
i)
|
Решение. a) Заметим, что
.
Используя подстановку
(тогда )
получим квадратное уравнение
или
t2-62t+1 = 0
корни которого
и
.
Поскольку
,
получим совокупность
откуда (учитывая, что
)
x1 = 2 и x2 = -2.
b)
Заметим, что x = 3 является решением данного уравнения. Других корней
уравнение не имеет. Действительно, левая часть уравнения представляет строго
возрастающую функцию, а правая - строго убывающую функцию. Графики этих функций
могут иметь не более одной точки пересечения. Следовательно x = 3 -
единственное решение уравнения.
c) Заметим, что x = 2 - корень данного уравнения. Докажем, что других
решений уравнение не имеет. Перепишем уравнение в виде:
и заметим, что функция
как сумма двух строго убывающих функций, есть строго убывающая функция и,
следовательно, каждое свое значение принимает лишь один раз.
d) Обозначим t = 2x и решим квадратное уравнение
относительно t:
t2+(x-1)t+2x-6 = 0.
Дискриминант этого уравнения равен D =
(x-1)2-4(2x-6) = x2-10x+25 =
(x-5)2, и значит его корни имеют вид
Поскольку t = -2 не удовлетворяет условию t > 0, остается
2x = 3-x
Решая последнее уравнение аналогично примеру b)
получим x = 1.
e) Перепишем уравнение в виде
x2+x+1 =
2·2x-4x-1
или
x2+x+1 =
-(2x-1)2,
откуда следует, что уравнение не имеет решений. Действительно, поскольку
левая часть уравнения принимает значения не меньше
[3/4;+Ґ),
а правая часть - лишь неположительные значения.
f) Заметим, что уравнение имеет решение лишь при x > 0. Тогда правая
часть уравнения
более того, равенство достигается лишь при x = 1. В то же время левая
часть уравнения принимает максимальное значение 2 при x = 1.
Действительно,
Следовательно, исходное уравнение имеет единственное решение x = 1.
g) Заметим, что при x О
(-Ґ,-1/2]
уравнение не имеет решений (в этом случае левая часть уравнения отрицательна).
При x О
(-1/2;+Ґ) левая часть уравнения
(как произведение двух строго возрастающих функций) есть строго возрастающая
функция и, следовательно, каждое свое значение принимает лишь один раз.
Остается заметить что x = 0 является (единственным) корьнем данного
уравнения.
h) Множество допустимых значений данного уравнения имеет вид:
{x О N | x > 1}.
Запишем уравнение в виде
Логарифмируя обе его части, например, по основанию 5, получим
или
откуда следует квадратное уравнение
x2+x(log52-3)-3log52 = 0
корни которого x1 = 3 и
x2 = -log52. Поскольку x2 не
входит в ОДЗ, то, исходное уравнение имеет единственное решение
x = 3.
i) ОДЗ уравнения есть множество x О
R\{0} и (см. предыдущий пример) его корни 3 и -log52.
Уравнения вида
[h(x)] f(x) =
b
([h(x)] f(x) =
[h(x)] g(x)).
|
(6) |
называются обобщенными показательными уравнениями.
Как правило, областью определения функции
[h(x)] f(x)
считается множество всех значений
x О D(f)
для которых h(x) > 0, где D(f)
обозначает область определения функции f. Таким образом
[h(x)] f(x) =
[h(x)] g(x)
Ы
|
|
|
|
f(x) = g(x), |
h(x) > 0, |
h(x) ≠ 1, |
|
h(x) = 1, |
x О
D(f) ЗD(g).
|
Пример 8. Решить уравнения
a)
b) ,
c)
Решение. a) Поскольку a2 = |a|2,
уравнение можно переписать в виде
.
Последнее уравнение равносильно совокупности систем
|
|
|x-2| > 0, |
|x-2|≠ 1, |
x2+x+1 = 2, |
|
|x-2| = 1, |
x О ОДЗ. |
Отсюда x = -2, x = 3 и
x = 1.
b) Учитывая соотношение (x2+x)0 = 1 получим
Ы
Ы
|
|
|
|
x2+x > 0, |
Ы |
x2+x ≠ 1, |
x2+2x = 0, |
|
x2+x = 1, |
|
|
c) ОДЗ уравнения представляет множество (0;+Ґ).
На ОДЗ уравнение равносильно совокупности
|
|
|x-1| > 0, |
|x-1| ≠ 1, |
lg2x-lgx2 = 3. |
|
|x-1| = 1, |
x > 0. |
Отсюда
x = 1/10, x = 1000
и x = 2.
Замечание. Иногда функции из (6) рассматриваются на
более широких областях: принимается во внимание, что функция
h(x)f(x)
имеет смысл и при h(x) = 0, f(x) > 0 или при
h(x) < 0, когда f(x)
принимает значения во множестве целых чисел и т.п. (см., например,
[2]-[4]).
Упражнения
| Заглавная страница |
Руководство пользователя |
Практикум абитуриента |
Учебные программы |
| Математический кружок |
Занимательная математика|
Формулы, словари |
Новости |
|Странички истории |
Экзамены, тесты |
Библиография |
Ссылки |
Карта |
|