| Заглавная страница | Руководство пользователя | Практикум абитуриента | Учебные программы |
| Математический кружок | Занимательная математика| Формулы, словари | Новости |
|Странички истории | Экзамены, тесты | Библиография | Ссылки | Карта |

Показательные уравнения

Уравнение, которое содержит неизвестное в показателе степени, называется показательным уравнением.

Самое простое показательное уравнение имеет вид
ax = b,
(1)
где a > 0, a ≠ 1.

Утверждение 1. Уравнение (1) имеет единственное решение x = logab при b > 0 и не имеет решений при b ≤ 0.

Пример 1. Решить уравнения:

a) 2x = -4,    b) 2x = 4,    c) 2x = 5.

Решение. a) Множество решений данного уравнения пусто, так как левая часть уравнения положительна при любом x О R (см. свойства показательной функции), а правая часть есть отрицательное число.

b) Используя утверждение 1 получим x = log24, то есть x = 2.

c) Аналогично предыдущему примеру получим x = log25.

Замечание. Из утверждения 1 следует что показательное уравнение вида
a f(x) = b,
(2)
где a > 0, a ≠ 1 и b > 0 равносильно уравнению

f(x) = logab.

Пример 2. Решить уравнения

a)     b)     c) .

Решение. a) Согласно замечанию к утверждению 1

Так как , следовательно , откуда

b) Поскольку log39 = 2, данное уравнение равносильно следующему уравнению

|x2-x| = 2.
Используя свойства модуля (см., например, [1]) получим
|x2-x| = 2
Ы x2-x = 2, Ы x2-x-2 = 0, Ы x = -1,
x2-x = -2, x2-x+2 = 0, x = 2.

c) Логарифмируя по основанию 5 (обе части уравнения положительны), получим

(2+4+6+...+2x) = 45 sau 1+2+...+x = 45.
Используя формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии получим уравнение
или
x2+x-90 = 0
корни которого x1 = -10 и x2 = 9. Поскольку x О N, остается x = 9.

При решении показательных уравнений используется следующее утверждение о равносильности уравнений (см., например, [2]).

Утверждение 2. При a > 0, a ≠ 1, уравнения
a f(x) = a g(x)
(3)
и

f(x) = g(x)
равносильны.

Замечание. Уравнение вида

a f(x) = bg(x)     (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
можно переписать следующим образом
и решить, используя утверждение 2.

Некоторые показательные уравнения сводятся к уравнениям вида (1)-(3) с помощью равенств

E1) ax· ay = ax+y,   E2)   E3) (ax) y = ax·y,   E4)   E5) ax· bx = (ab)x.

Пример 3. Решить уравнения

a) c)
b)     d) 32x-1 = 7x+1.

Решение. a) Используя равенства E1-E3 и утверждение 2 получим

Ы   32x+1+2(x+2)-3x = 35   Ы   2x+1+2x+4-3x = 5   Ы   x = 0.

b) Так как   (ab ≠ 0), то   Используя свойства E4, E3 и E1, получим

откуда, согласно утверждению 2, получим квадратное уравнение
2x2-x-15 = 0
корни которого x = 3 и x = -5/2.

c) Так как 43x+1 = 41·43x = 4·(43) x = 4·64x,     , то уравнение примет вид

4·64x ·25x = 6400
или
64x·25x = 1600.
Используя свойство E5 и утверждение 2 получим 1600x = 1600, откуда x = 1.

d) Используя замечание к утверждению 2, получим

,
откуда
2x-1 = xlog37+ log37
или
x(2-log37) = log37+1.
Решая данное линейное уравнение получим

Показательные уравнения вида

F(a f(x)) = 0,
(4)
посредством подстановки t = a f(x) сводятся к уравнениям вида
F(t) = 0,
которые, как правило, решаются проще. Наиболее часто встречаются уравнения вида
A·a 2f(x) +B·a f(x) +C = 0,
(5)
A·a f(x)+ C·a -f(x)+ B = 0
(A, B и C О R), которые с помощью подстановки t = a f(x) сводятся к уравнению
At2+Bt+C = 0.

Пример 4. Решить уравнения

a) 2x+3·2x-4 = 76,     b) 3-x+9· 3x+9x+1+9-x-1=8,     c)

d) 21+x-23-x = 15,     e)

Решение. a) 2x+3·2x-4 = 76   Ы   Обозначая t = 2x получим линейное уравнение

16t+3t = 76·16,
откуда t = 64. Таким образом 2x = 64 и x = 6.

b) Перепишем уравнение в виде

Обозначая t = 3x (тогда 9x = t2) получим алгебраическое уравнение

которое (см., например, [1]) подстановкой
() сводится к квадратному уравнению
или
z2+9z-90 = 0,
откуда z1 = -15, z2 = 6. Поскольку t > 0, z1 = -15 не удовлетворяет условию и остается
откуда
9t2-6t+1 = 0
следовательно t = 1/3. Таким образом 3x = 1/3, откуда x = -1.

c) Обозначим , тогда В результате получим квадратное уравнение

t2-t-2 = 0
корни которого t1 = -1 и t2 = 2. Поскольку t > 0 (вообще говоря, из условия x2 ≥ 0 следует, что ), остается лишь t = 2. Возвращаясь к переменной x получим уравнение
откуда x2 = 1 и следовательно x = ±1.

d) Так как 21+x = 2·2x, , то после подстановки t = 2x, уравнение примет вид

Умножив обе части уравнения на t  (t > 0), получим квадратное уравнение

2t2-15t-8 = 0
корни которого и t2 = 8. Поскольку t1 < 0, остается
2x = 8,
откуда x = 3.

e) Обозначив (при x О (-Ґ,0] И[2,+Ґ), x2-2x ≥ 0 и следовательно t ≥ 1), получим уравнение

4t2-9t+2 = 0
корни которого t1 = 1/4 и t2 = 2. Поскольку t1 < 1, остается решить уравнение
равносильное уравнению

Возводя в квадрат (обе части уравнения неотрицательны при x О (-Ґ;0]И[2;+Ґ) получим равносильное уравнение

x2-2x = 1,
корни которого .

Уравнение вида

A·a 2f(x) +B·a f(x) b f(x) +C·b 2f(x) = 0,
(ABC О RA·B·C ≠ 0) называется однородным показательным уравнением. Разделив обе части этого уравнения например на , получим квадратное уравнение
At2+Bt+C = 0,
где .

Пример 5. Решить уравнения

a) 64·9x -84·12x +27·16x = 0,     b) 9·22x+2 -45·6x -32x+4 = 0.

Решение. a) Записав уравнение в виде

64·32x -84·3x ·4x +27·42x = 0
и разделив на 42x, получим
или

Обозначив получим квадратное уравнение

64t2-84t+27 = 0.
Дискриминант данного уравнения равен D = 842 -4·64·27 = 42· 32·72 -4·4·16·9·3 = 42·32(49-48) = 122, а значит его корни имеют вид
  и  

Таким образом

откуда x1 = 2 и x2 = 1.

b) Перепишем уравнение в виде

36·22x -45·2x· 3x -81·32x = 0.
Разделив его на , получим

Обозначая получим квадратное уравнение

4t2-5t-9 = 0
решения которого t = -1, t = 9/4. Так как t > 0, остается , откуда x = -2.

При решении некоторых показательных уравнений полезно выделить общий множитель.

Пример 6. Решить уравнения

a) 2x+1 - 2x + 2x-2 - 2x-3 = 9,
b) 2x+1 - 2x+2 - 2x+3 = 5x - 5x+1,
c) x2·2x+1 + 2|x-3|+2 = x2·2|x-3|+4 + 2x-1.

Решение. a) Перепишем уравнение в виде

или
откуда
следовательно 2x = 8 или x = 3.

b) Аналогично примеру 6a, получим

2x+1-2x+2 -2x+3 = 5x-5x+1  Ы   2x·2-2x·4 -2x·8 = 5x-5x·5  Ы  

2x(2-4-8) = 5x(1-5)  Ы   2x(-10) = 5x(-4)  Ы     Ы

c) Запишем уравнение в виде

(x2·2x+1 -2x-1)+(2|x-3|+2- x2·2|x-3|+4) = 0
или
2x-1(4x2-1) +2|x-3|+2(1-4x2) = 0,
откуда следует
(4x2-1)·(2x-1 -2|x-3|+2) = 0.
Последнее уравнение равносильно совокупности
4x2-1 = 0,
2x-1 = 2|x-3|+2.

Из первого уравнения совокупности находим x1 = -1/2,  x2 = 1/2. Второе решаем используя свойства модуля

2x-1 = 2|x-3|+2   Ы   x-1 = |x-3|+2   Ы   x-3 = |x-3|   Ы   x-3 ≥ 0  Ы   x ≥ 3.
Таким образом множество решений исходного уравнения имеет вид
x О {± 1/2} И[3,+Ґ).

Некоторые показательные уравнения решаются особыми методами.

Пример 7. Решить уравнения

a)   d) 4x+(x-1)2x = 6-2x,   g)
b) 5x-2 = 8-x,   e) x2+x+2 = 2·2x-4x,   h)  
c) 3x+4x = 5x,   f)   i)

Решение. a) Заметим, что . Используя подстановку (тогда ) получим квадратное уравнение

или
t2-62t+1 = 0
корни которого и . Поскольку , получим совокупность
откуда (учитывая, что ) x1 = 2 и x2 = -2.

b) Заметим, что x = 3 является решением данного уравнения. Других корней уравнение не имеет. Действительно, левая часть уравнения представляет строго возрастающую функцию, а правая - строго убывающую функцию. Графики этих функций могут иметь не более одной точки пересечения. Следовательно x = 3 - единственное решение уравнения.

c) Заметим, что x = 2 - корень данного уравнения. Докажем, что других решений уравнение не имеет. Перепишем уравнение в виде:

и заметим, что функция как сумма двух строго убывающих функций, есть строго убывающая функция и, следовательно, каждое свое значение принимает лишь один раз.

d) Обозначим t = 2x и решим квадратное уравнение относительно t:

t2+(x-1)t+2x-6 = 0.

Дискриминант этого уравнения равен D = (x-1)2-4(2x-6) = x2-10x+25 = (x-5)2, и значит его корни имеют вид

 
Поскольку t = -2 не удовлетворяет условию t > 0, остается
2x = 3-x
Решая последнее уравнение аналогично примеру b) получим x = 1.

e) Перепишем уравнение в виде

x2+x+1 = 2·2x-4x-1
или
x2+x+1 = -(2x-1)2,
откуда следует, что уравнение не имеет решений. Действительно, поскольку левая часть уравнения принимает значения не меньше [3/4;+Ґ), а правая часть - лишь неположительные значения.

f) Заметим, что уравнение имеет решение лишь при x > 0. Тогда правая часть уравнения

более того, равенство достигается лишь при x = 1. В то же время левая часть уравнения принимает максимальное значение 2 при x = 1. Действительно,

Следовательно, исходное уравнение имеет единственное решение x = 1.

g) Заметим, что при x О (-Ґ,-1/2] уравнение не имеет решений (в этом случае левая часть уравнения отрицательна). При x О (-1/2;+Ґ) левая часть уравнения (как произведение двух строго возрастающих функций) есть строго возрастающая функция и, следовательно, каждое свое значение принимает лишь один раз. Остается заметить что x = 0 является (единственным) корьнем данного уравнения.

h) Множество допустимых значений данного уравнения имеет вид: {x О N | x > 1}.

Запишем уравнение в виде

Логарифмируя обе его части, например, по основанию 5, получим
или
откуда следует квадратное уравнение
x2+x(log52-3)-3log52 = 0
корни которого x1 = 3 и x2 = -log52. Поскольку x2 не входит в ОДЗ, то, исходное уравнение имеет единственное решение x = 3.

i) ОДЗ уравнения есть множество x О R\{0} и (см. предыдущий пример) его корни 3 и -log52.

Уравнения вида
[h(x)] f(x) = b    ([h(x)] f(x) = [h(x)] g(x)).
(6)
называются обобщенными показательными уравнениями.

Как правило, областью определения функции [h(x)] f(x) считается множество всех значений x О D(f) для которых h(x) > 0, где D(f) обозначает область определения функции f. Таким образом

[h(x)] f(x) = [h(x)] g(x) Ы
f(x) = g(x),
h(x) > 0,
h(x) ≠ 1,
h(x) = 1,
x О D(f) ЗD(g).

Пример 8. Решить уравнения

a)    b) ,    c)

Решение. a) Поскольку a2 = |a|2, уравнение можно переписать в виде

.
Последнее уравнение равносильно совокупности систем
|x-2| > 0,
|x-2|≠ 1,
x2+x+1 = 2,
|x-2| = 1,
x О ОДЗ.
Отсюда x = -2, x = 3 и x = 1.

b) Учитывая соотношение (x2+x)0 = 1 получим

Ы Ы
x2+x > 0, Ы
x2+x ≠ 1,
x2+2x = 0,
x2+x = 1,
x = -2,

c) ОДЗ уравнения представляет множество (0;+Ґ). На ОДЗ уравнение равносильно совокупности

|x-1| > 0,
|x-1| ≠ 1,
lg2x-lgx2 = 3.
|x-1| = 1,
x > 0.
Отсюда x = 1/10, x = 1000 и x = 2.

Замечание. Иногда функции из (6) рассматриваются на более широких областях: принимается во внимание, что функция h(x)f(x) имеет смысл и при h(x) = 0, f(x) > 0 или при h(x) < 0, когда f(x) принимает значения во множестве целых чисел и т.п. (см., например, [2]-[4]).

Упражнения



| Заглавная страница | Руководство пользователя | Практикум абитуриента | Учебные программы |
| Математический кружок | Занимательная математика| Формулы, словари | Новости |
|Странички истории | Экзамены, тесты | Библиография | Ссылки | Карта |