В этом разделе будут представлены различные методы доказательства неравенств. Используя предложенные методы, будут доказаны как классические неравенства, так и неравенства, предложенные на различных математических конкурсах.
Предполагается, что читатель знаком с понятием монотонности функций и свойствами (критериями) монотонных функций. Задача 1. Сравнить числа ep и pe. Решение. Рассматривается функция Задача 2. Исследовать на ограниченность числовую последовательность Решение. Вначале докажем неравенство
В неравенстве (1), рассмотрев x = 1/n (n = 1,2,...), получим
Из неравенства (2) следует
Следствие: Ряд расходится. Задача 3. (Неравенство Бернулли) Для любых x > -1; a > 1 имеет место неравенство
Решение. Рассмотрим функцию Отсюда заключаем, что для всех x Î [-1;+¥)\{0} имеет место неравенство f(x) > f(0), то есть, Замечание. Аналогично доказываются неравенства
Задача 4. (Неравенство Юнга) Если p, q Î R\{0,1} удовлетворяют свойству 1/p + 1/q = 1, то для любых положительных чисел a, b выполняются неравенства
Решение. Рассмотрим случай p > 1. Зафиксировав произвольное положительное число a, определим функцию
Неравенство (6) доказывается аналогично. Задача 5. Доказать неравенство
Решение. В силу четности обоих частей, достаточно рассмотреть ситуацию x ≥ 0. Более того, т. к. |sinx| ≤ 1, то достаточно изучить случай 0 ≤ x ≤ 1. С этой целью рассмотрим функцию Задача 6. Доказать, что если a > b > c, то Решение. Рассмотрим функцию f:[0;+¥) ® R вида
Определение: Функция f : I ® R (I - интервал вещественной оси) называется выпуклой на I, если для всех x1, x2 Î I и любых чисел l1 l2 таких что l1 ≥ 0, l2 ≥ 0, и l1 + l2 = 1, имеет место неравенство
В случае, когда для всех x1 ≠ x2, l1·l2 ≠ 0 знак в неравенстве (9) является строгим, функция f называется строго выпуклой на I. Определение (строго) вогнутой функции получается из приведенного выше заменой знака неравенства (9) на противоположный. Неравенство Иенсена. Пусть f : I ® R - выпуклая функция. Тогда для любых xj Î I (j = 1,...,n) и произвольных lj ≥ 0 (j = 1,...,n) таких, что l1 + ... + ln = 1 имеет место неравенство Критерий выпуклости Для того, чтобы непрерывная на интервале I и имеющая вторую производную на внутренности int(I) = {x Î R | $ e > 0 (x - e, x + e М I)} интервала I функция f : I ® R была выпуклой на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы на int(I) выполнялось неравенство f ¢¢(x) ≥ 0. Если же f ¢¢(x) > 0 на int(I), то этого достаточно, чтобы гарантировать строгую выпуклость функции f на I. Замечание. Утверждения, подобные неравенству Иенсена и приведенному выше критерию, справедливы и для вогнутых функций. Задача 7. (Неравенство Коши о средних). Для любых неотрицательных чисел x1, x2, ..., xn справедливо неравенство
Решение. Если одно из чисел aj равно 0, то неравенство (10) очевидно, поэтому будем считать что все числа aj положительны. Рассмотрим функцию f(x) = lnx (x > 0). Так как , следовательно, f вогнута на (0;+¥). На основании неравенства Иенсена, заключаем Задача 8. Пусть x1, ..., xn - неотрицательные числа. Доказать, что функция Решение. Пусть 0 < a < b. Рассмотрим функцию (x ≥ 0). Так как (x > 0), следовательно, функция h выпукла на [0;+¥). Согласно неравенству Иенсена Задача 9. Доказать справедливость неравенства Решение. Рассмотрим функцию f : [0;p]®R; f(x) = sinx. Так как f ¢¢(x) = -sinx и f ¢¢(x) < 0 для x Î (0;p), следовательно, функция f вогнута на [0;p]. Согласно неравенству Иенсена, Задача 10. Доказать, что для произвольных положительных чисел aj, bj (j = 1,...,n) справедливо неравенство Решение. Рассмотрим функцию f : [0;+¥)®R, f(x) = lnx. Эта функция вогнута на (см. Задачу 7). Следовательно, согласно неравенству Иенсена, Задача 11. (Неравенство Гюйгенса). Доказать, что для произвольных неотрицательных чисел aj (j = 1,...,n). справедливо неравенство Решение. Рассмотрим функцию f : R ® R, f(x) = ln(1 + ex). Так как f ¢¢(x) > 0 для всех x Î R, следовательно, f выпукла на R. Согласно неравенству Иенсена, получим
Теорема 1. Пусть даны два набора из n чисел такие, что
Рассмотрим всевозможные суммы
Задача 12. Доказать, что для произвольных положительных чисел a, b, c справедливо неравенство Решение. Поскольку неравенство симметрично, без ограничения общности, можно предположить, что a ≥ b ≥ c. Тогда Задача 13. Доказать, что для произвольных положительных чисел a, b, c, удовлетворяющих условию a·b·c = 1, справедливо неравенство Решение. Подобно Задаче 12, предположим, что a ≥ b ≥ c. Тогда
Учитывая условие a·b·c = 1, заключаем, что из (11) и (12) следует неравенство Задача 14. Пусть a, b, c - положительные числа. Докажите, что Решение. Не ограничивая общности рассуждений, предположим, что a ≥ b ≥ c. Тогда lna ≥ lnb ≥ lnc. Следовательно, согласно Теореме 1, Задача 15. Доказать, что для любых положительных чисел a, b, c справедливо неравенство Решение. Пусть a ≥ b ≥ c. Тогда Задача 16. Пусть {a1, a2, ..., an} - последовательность различных натуральных чисел. Доказать, что для каждого натурального n выполняется неравенство Решение. Пусть ai1 < ai2 < ... < ain, где (i1,i2,...,in) - некоторая перестановка чисел 1,2,...,n. Так как
Задача 17. (Неравенство Гельдера) Доказать, что для любых положительных чисел p, q, удовлетворяющих условию 1/p + 1/q = 1 и произвольных чисел aj, bj (j = 1,...,n) справедливо неравенство
Решение. Предположим, что и (в противном случае неравенство (13) очевидно). Применяя неравенство Юнга (см. Задачу 5), получим Задача 18. Доказать, что последовательность Решение. Согласно неравенству Коши о средних (см. Задачу 7), имеют место неравенства
Решение. Неравенство (14) немедленно следует из неравенства Коши Задача 20. Доказать, что для любых положительных чисел a1, a2, ..., an имеет место неравенство Решение. Согласно неравенству Коши-Буняковского (частный случай неравенства Гельдера при p = q = 2), получим Задача 21. Доказать, что Решение. Согласно неравенству Коши-Буняковского Задача 22. Доказать, что для любых положительных чисел aj, bj (j = 1,...,n) имеет место неравенство Решение. На основании неравенства Гельдера получим
|