| Заглавная страница |
Руководство пользователя |
Практикум абитуриента |
Учебные программы |
| Математический кружок |
Занимательная математика|
Формулы, словари |
Новости |
|Странички истории |
Экзамены, тесты |
Библиография |
Ссылки |
Карта |
Числа Фибоначчи
Задача о кроликах.
Пусть имеется пара кроликов. Известно, что от каждой пары кроликов каждый месяц
рождается новая пара кроликов, которая в свою очередь становится способной
производить потомство в возрасте одного месяца. Требуется определить, сколько
пар кроликов будет через n месяцев.
Вначале изложим историю этой задачи, затем её решение и другие задачи
связанные с ней.
Говоря об античной математике, каждый назовет таких математиков, как Евклид,
Пифагор, Герон и др. Одним из самых знаменитых математиков средних веков,
наравне с Виетом был Леонардо из Пизы, известный под именем Фибоначчи
(сокращенное filius Bonacci, т.е. сын Боначчи).
Фибоначчи родился в Италии в 1175г., был воспитан на Севере Африки, где его
отец занимал пост дипломата. Вернувшись в Италию, в 1202г. публикует
математический трактат под названием "Liber abacci". Этот трактат, содержавший
почти все арифметические и алгебраические сведения того времени, сыграл
главную роль в течении последующих столетий в развитии математики в Европе. В
частности, на основе этого трактата, европейцы познакомились с арабскими
цифрами, т.е. с позиционной системой исчисления. Также Фибоначчи публикует: в
1220г. "Practica geometrica", в 1225, "Liber quadratorum". Трактат "Liber
abacci" был переиздан в 1228г. Одна из задач упоминаемая в "Liber abacci"
называется "задача о кроликах" (с.123-124 издания 1228г.), представленная в
начале этого материала.
Перейдем к решению этой задачи.
Пусть fn число пар кроликов после n месяцев.
Число пар кроликов после n + 1 месяцев fn+1,
будет равно числу пар на n-ом месяце, т.е. fn,
плюс число пар новорожденных кроликов. Поскольку кролики рождаются от пары
кроликов возраста больше одного месяца, новорожденных кроликов будет
fn-1 пар. Следовательно, справедливо соотношение
причем
Таким образом получим рекуррентную числовую последовательность
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...
| (3) |
которая была названа рядом Фибоначчи. Каждый член этой последовательности,
начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Первые два члена считаются
заданными f0 = 0, f1 = 1.
Таким образом, "задача о кроликах" свелась к решению функционального уравнения
(1), т.е. к нахождению общего члена последовательности
fn удовлетворяющего соотношению
(1) при условиях (2).
Предположим, что последовательность fn имеет вид
где l - вещественный параметр.
Подставив fn в (1) получим
ln+1 =
ln +
ln-1,
или, эквивалентно,
ln-1(l2 - l - 1) = 0.
Так как fn № 0
("n О
N*), последнее равенство принимает вид
которое представляет собой квадратное уравнение по отношению к действительному
параметру l. Из (5 ) получим
Таким образом, последовательности
удовлетворяют равенству (1). Отсюда заключаем, что уравнение
(1) имеет много решений. В общем, существует бесконечное
число последовательностей, удовлетворяющих (1). Легко
заметить, что последовательность вида
| (6) |
где c1, c2 - фиксированные действительные
константы, также удовлетворяет (1). Более того, можно
показать, что любая последовательность, удовлетворяющая равенству (1) имеет вид (6). Имея другие цели, не будем
доказывать этот факт в рамках этой работы. Для интересующихся общей теорией
решения уравнений вида (1), называемых уравнениями в
конечных разностях, рекомендуем обратиться к литературе [1]-[4].
Возвращаясь к последовательности Фибоначчи, отметим, что эта последовательность
однозначно определена, и однозначность обеспечивается первыми двумя членами,
т.е. начальными условиями (2). Подставляя n = 0 и
n = 1 в (6), получим линейную систему
с решением
В результате получим, что n-ый член последовательности Фибоначчи имеет
вид
| (7) |
Свойства последовательности Фибоначчи.
1°.
f1 + f2 + ... + fn =
fn+2 - 1.
|
(8) |
Доказательство.
f1 = f3 - f2
|
f2 = f4 - f3
|
...
|
fn-1 = fn+1 -
fn
|
fn = fn+2 -
fn+1.
|
Сложив все эти равенства почленно, получим
f1 + f2 + ... +
fn = fn+2 -
f2,
и так как f2 = 1, получим (8).
2°.
f1 + f3 + f5 + ... +
f2n-1 = f2n.
3°.
f2 + f4 + ... + f2n =
f2n+1 - 1.
Свойства 2° -
3° доказываются аналогично
1°.
4°.
f12 + f22 + ... +
fn2 =
fn·fn+1.
|
(9) |
Доказательство. Легко заметить, что имеет место соотношение
fn·fn+1 -
fn-1fn =
fn(fn+1 -
fn-1) =
fn2
(n О N).
Из этого соотношения получаем равенства
f12 = f1·f2,
|
f22 =
f2·f3 -
f1·f2,
|
f32 =
f3·f4 -
f2·f3,
|
...
|
fn2 =
fn·fn+1 -
fn-1·fn.
|
Складывая эти равенства почленно получаем (9).
5°. Показать, что
fn+m =
fn-1·fm +
fn·fm+1,
|
(10) |
где fn обозначает n-ый член последовательности
Фибоначчи.
Доказательство. Зная общий вид члена
fn (см. (9)) можно подставив его в
показать, что имеет место (10) равенство. Докажем
(10) используя метод математической индукции.
Проведем индукцию по m О N.
Для m = 1, равенство (10) примет вид
fn+1 =
fn-1·f1 +
fn·f2,
что очевидно. При m = 2 формула (10) также очевидна.
Действительно,
fn+2 =
fn-1f2 +
fnf3 =
fn-1 + 2fn =
fn-1 + fn +
fn = fn+1 +
fn.
Таким образом, пусть основание индукции проверено (m = 1; m = 2).
Пусть (10) верно для m = k и m =
k + 1. Докажем, что тогда (10) верно и для m
= k + 2.
Таким образом, пусть верны равенства
fn+k =
fn-1fk +
fnfk+1,
|
fn+k+1 =
fn-1fk+1 +
fnfk+2.
|
Суммируя почленно последниие равенства, получим равенство
fn+k+2 =
fn-1·fk+2 +
fn·fk+3,
которое представляет (10) при
m = k + 2.
6°. f2n =
fn-1fn +
fn·fn+1.
Доказательство следует из (10) при m = n.
7°. Член f2n
делится на fn.
Доказательство. Из 6° следует
f2n =
fn(fn-1 +
fn+1),
откуда следует, что f2n
fn.
8°.
9°.
Свойства 8° - 9°, являющиеся прямыми следствиями 6°, предлагается доказать самостоятельно.
10°.
fn2 =
fn-1fn+1 +
(-1)n+1
|
(11) |
Доказательство. Будем доказывать равенство (11)
индукцией по n. При n = 2 равенство (11)
преобразуется в справедливое равенство
f22 =
f1·f3 - 1,
Предположим, что равенство (11) справедливо для n и
докажем, что тогда оно справедливо и для n + 1. Таким образом, пусть
справедливо равенство
fn2 =
fn-1·fn+1 +
(-1)n+1.
Прибавим к обеим частям последнего равенства
fn·fn+1. В результате
получим
fn2 +
fn·fn+1 =
fn-1·fn+1 +
fn·fn+1 +
(-1)n+1,
или
fn(fn +
fn+1) =
fn+1(fn-1 +
fn) + (-1)n+1,
и так как fn+2 = fn +
fn+1 (см. определение последовательности Фибоначчи),
заключаем что
fnfn+2 =
fn+12 + (-1)n+1,
или
fn+12 =
fn·fn+2 +
(-1)n+2.
Следовательно (11) справедливо и для n + 1.
11°. Показать, что если n делится на
m, то fn делится на
fm.
Доказательство. Пусть n m, т.е. n = mk. Докажем свойство
11° индукцией по k. При
k = 1, n = m, следовательно fn
делится на fm. Предположим, что
fmk делится на fm.
Рассмотрим fm(k+1). Из равенства
fm(k+1) = fmk+m
на основании соотношения (10) получим
fm(k+1)2 =
fmk-1fm +
fmk·fm+1.
Первый член суммы из правой части равенства, очевидно, делится на
fm. Второй член делится на fm
согласно индукционному предположению. Следовательно сумма этих членов делится
на fm, и значит,
fm(k+1) fm. Свойство 11° доказано.
Для ознакомления с другими свойствами чисел Фибоначчи, связанными с делимостью,
геометрией, теорией алгоритмов и т.д., читатель может обратиться к
библиографии, указанной в конце этой работы.
Задачи для самостоятельного решения
- Пусть (fn)n О
N последовательность Фибоначчи. Доказать, что
- f1f2 +
f2f3 +
f3f4 + ... +
f2n-1·f2n =
f2n2
- f1f2 +
f2f3 + ... +
f2nf2n+1 =
f2n+12 - 1
- nf1 + (n - 1)f2 + ... +
2fn-1 + fn =
fn+4 - (n + 3)
- f1 + 2f2 + 3f3 + ... +
nfn = nfn+2 -
fn+3 + 2
- Доказать, что для любого m О N,
среди первых m2 - 1 чисел Фибоначчи существует число,
делящееся на m.
- Доказать, что:
- Число Фибоначчи fn четно тогда и только тогда,
когда n делится на 3;
- Число Фибоначчи fn делится на 3 тогда и только
тогда, когда n делится на 4;
- fn 4 тогда и только тогда, когда n 6;
- fn 5 тогда и только тогда, когда n 5;
- fn 7 тогда и только тогда, когда n 8;
- fn 16 тогда и только тогда, когда n 12.
Литература
- A.I.Hincin, Fractii continue, Ed. Tehnica, Bucuresti 1960.
- I.Munteanu, D.Popa, Metoda sirurilor recurente, Editura GIL, ZALAU.
- Н.М.Воробьёв, Числа Фибоначчи, Москва, Наука, 1992.
- А.И.Маркушевич, Возврватные последовательности, Москва, Наука, 1975.
| Заглавная страница |
Руководство пользователя |
Практикум абитуриента |
Учебные программы |
| Математический кружок |
Занимательная математика|
Формулы, словари |
Новости |
|Странички истории |
Экзамены, тесты |
Библиография |
Ссылки |
Карта |
|