Экзамен по математике для общеобразовательных школ, 2001

Время работы: 180 минут.

1. Вычислить .

2. Найти максимум функции f : R ® R, f(x) = -2x² + 3x - 1.

3. Бисектриссы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Найдите величину угла AOB.

4. Пусть , . Определите первообразную этой функции, график которой содержит точку .

5. Решить уравнение

6. Найдите cosa, если , а .

7. Решить неравенство

8. Высота правильной треугольной пирамиды равна , а боковое ребро образует с плоскостью основания угол в 30°. Определите объем пирамиды.

9. При каких значениях действительного параметра a прямая y = ax + 7 является касательной к графику функции f : R® R, f(x) = x² + 6x + a.

Решения

1. , следовательно .

2. Максимум трехчлена ax² + bx + c (a < 0) равен . В данном случае и, следовательно

Так как сумма углов A и B параллелограмма ABCD (см. рисунок) равна 180°, . Сумма внутренних углов треугольника AOB равна 180°. Следовательно

4. Поскольку , и , то , откуда . Следовательно .

5. Область допустимых значений данного уравнения есть множество (4;+¥), которое находится решая систему неравенств

Используя свойства логарифмической функции (см., например, Логарифмические уравнения) в ОДЗ получим следующие равносильности

log₃(x - 1) - log₃(2x - 7) = log₃2 - log₃(x - 4) Û
Û log₃(x - 1) + log₃(x - 4) = log₃2 + log₃(2x - 7),

откуда log₃(x - 1)(x - 4) = log₃2(2x - 7) или

(x - 1)(x - 4) = 2(2x - 7).

Решив полученное квадратное уравнение x² - 9x + 18 = 0 найдем x₁ = 3 Ï ОДЗ и x₂ = 6 Î ОДЗ. Таким образом x =6.

6. Поскольку cos2a = 1 - 2sin²a, получим или , откуда . Найдем cosa: . Так как a принадлежит четвертой четверти, cosa > 0 и .

Пусть SABC - правильная треугольная пирамида, - ее высота, ÐSCO = 30°, a - длина стороны равностороннего треугольника ее основания. Тогда

Из прямоугольного треугольника SOC (SO^OC) получим

Таким образом

, откуда

. Найдем площадь основания прирамиды

и объем пирамиды

9. Прямая y = ax + 7 является касательной к графику трехчлена x²+6x+a, если уравнение ax + 7 = x² + 6x + a, эквивалентное уравнению x² + (6 - a)x + a - 7 = 0 имеет единственное решение. Последнее уравнение имеет единственное решение, если ее дискриминант D = (6 - a)² - 4(a - 7) равен нулю. Следовательно

36 - 12a + a² - 4a + 28 = 0 или a² - 16a + 64 = 0

откуда a = 8.