Экзамен по математике на бакалавра, 1999, гуманитарный профиль

Время решения - 180 минут

1. Определить, какому числовому множеству принадлежит значение выражения

Решение. Используя основное логарифмическое тождество ( a > 0, a ≠ 1, b > 0), формулу (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1), получим

Таким образом, значение выражения - натуральное число.

Замечание. Обратим внимание, что N М Z М Q М R М C...

2. Привести пример совместной неопределенной системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Решение. Например, система

	x + y = 1,
	2x + 2y = 2,

совместна и неопределена. Действительно, решениями этой системы являются x = 1 - a, y = a, a О R.

3. Определить область определения функции

Решение. Область определения функции f(x) находится из системы неравенств:

	x² - 3x + 2 ≥ 0
	x > 0,

(выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, а под знака логарифма - положительным). Решая систему, получим D(f) = (0;1]И[2;+Ґ).

4. Решить уравнение

Решение. ОДЗ уравнения есть x О R. Перепишем уравнение в виде

или

откуда следует, что e^2x = 3 и

5. Определить интервалы монотонности функции f:R^*®R, и сравнить значения функции в точках x₁ = log₅4 и x₂ = log₅3.

Решение. Поскольку используя метод интервалов, получим, что f ў(x) > 0 для x О (1;+Ґ) и f ў(x) < 0 для x О (0;1). Следовательно, при x О (0;1) функция f(x) строго убывает и, поскольку

0 = log₅1 < log₅3 < log₅4 < log₅5 = 1 следует, что f(log₅3) > f(log₅4).

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x) = x² - 4x + 4 и g(x) = 2x + 4.

Решение. Площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x) = x² - 4x + 4 и g(x) = 2x + 4 (см. рисунок), определяется, используя формулу

где a и b - пределы интегрирования.

Для того, чтобы определить a и b, решим уравнение f(x) = g(x), то есть, x² - 4x + 4 = 2x + 4 или x² - 6x = 0, откуда, учитывая, что a < b, получим a = x₁ = 0 и b = x₂ = 6.

Следовательно,

7. Пусть Определить значение выражения

Решение. Область определения функции f есть множество Используя формулы приведения получим

(заметим, что, если

k О Z, тогда

k О Z).

8. Какой член разложения бинома не содержит a?

Решение. Поскольку запишем бином в форме Используя формулу биноминального коэффициента

получим уравнение

или -8(17 - k) + 9k = 0, откуда k = 8.

Следовательно,

9. В сферическое тело объема 10см³ вписан конус, осевое сечение которого - прямоугольный треугольник. Найти объем конуса.

Решение. Поскольку осевое сечение конуса - прямоугольный (равнобедренный!) треугольник, то его гипотенуза совпадает с диаметром. Следовательно радиус основания конуса r, радиус сферы R и высота конуса h равны: r = R = h.

Поскольку следует, что а объем конуса равен