Экзамен по математике на бакалавра, июнь 1999, гуманитарный профиль

Время решения - 180 минут

1. Пусть функция f:R^*®R, Вычислить f(log₃2).

Решение. Используя основное логарифмическое тождество a > 0, a ≠ 1, b > 0, получим

2. Привести пример уравнения второго порядка, которое имеет два различных отрицательных корня.

Решение. Используя обратну теорему Виета, например, для x₁ = -1 и x₂ = -2, получим квадратное уравнение x²+3x+2 = 0. В общем случае квадратное уравнение ax²+bx+c = 0 имеет два различных отрицательных корня, если и только если

3. При каких действительных значениях x и y справедливо равенство

Решение. Перепишем равенство

x + y + (y - 3)i = (1 + i)(5 + 3i) или, после элементарных преобразований, x + y + (y - 3)i = 2 + 8i, откуда, используя определение равенства двух комплексных чисел z₁ и z₂ (Rez₁ = Rez₂ и Imz₁ = Imz₂), получим систему

	x + y = 2,
	y - 3 = 8.

Решив систему, найдем x₁ = -9 и y = 11.

4. Решить уравнение .

Решение.

		x - 4 = 0,
		3 + 2x - x² = 0,
		3 + 2x - x² ≥ 0,

		x₁ = 4,
		x₂ = -1, x₃ = 3,
		-1 ≤ x ≤ 3,

	x₁ = -1,
	x₂ = 3.

5. Пусть дана функция f(x) = asin4x + bcos2x. Определить действительные значения параметров a и b, если известно, что и .

Решение. Найдем производную функции f(x):

f ў(x) = (asin4x + bcos2x)ў = 4acos4x - 2bsin2x. Так как

, то

или

	2a + b = 4,
	-4a + 2b = 2,

откуда a = ³/₄ и b = ⁵/₂.

6.Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x) = 9 - x² и g(x) = x² - 6x + 9.

Решение.

Площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x) = 9 - x² и g(x) = x² - 6x + 9 (см. рисунок), определяется по формуле

где a и b - пределы интегрирования, которые находятся при решении уравнения f(x) = g(x), то есть, 9 - x² = x² - 6x + 9 или 2x² - 6x = 0, откуда (учитывая что a < b) получим a = x₁ = 0 и b = x₂ = 3.

Следовательно,

(кв.ед.)

7. При делении многочлена P(x) = 2x³ - mx² + nx-16 на x - 3 и на x + 1, в обоих случаях получаем остаток -2. Какой остаток получим при делении многочлена P(x) на x-1.

Решение. Поскольку

P(3) = 2·3³ - m·3² + 1·3 - 16 = -2,

P(-1) = 2(-1)³ - m·(-1)² + n·(-1) - 16 = -2,

то

	-9m + 3n = -40,
	-m - n = 16.

Решив систему, найдем m = -²/₃ и n = -⁴⁶/₃. Таким образом,

и остаток от деления P(x) на (x - 1) равен

8. Площадь основания прямого кругового конуса равна 9pсм², а площадь полной поверхности 24pсм². Найти объем конуса.

Решение.

Так как площадь основания S_b = pR² (R - радиус основания конуса), а площадь боковой поверхности S_lat = pRl (l - образующая конуса), то, согласно условиям,

	pR² = 9p,
	pRl = 24p - 9p,

откуда R = 3 и l = 5. Из прямоугольного треугольника SOA (см. рисунок), находим высоту конуса SO:

(см). Следовательно, объем конуса

(см³).

9. Решить неравенство log_2x(x² - 5x + 6) ≤ 1.

Решение.

log_2x(x² - 5x + 6) ≤ 1 Ы log_2x(x² - 5x + 6) ≤ log_2x2x Ы

		2x > 1,
		x² - 5x + 6 ≤ 2x,
		x² - 5x + 6 > 0,
		0 < 2x < 1,
		x² - 5x + 6 ≥ 2x,
		2x > 0,

			x > ¹/₂,
			x² - 7x + 6 ≤ 0,
			x < 2,
			x > 3,
			0 < x < ¹/₂,
			x² - 7x + 6 ≥ 0,
			x > 0,

			¹/₂ < x < 2,
			x > 3,
			1 ≤ x ≤ 6,
			0 < x < ¹/₂
			x ≤ 1,
			x ≥ 6,

	x О (¹/₂;1]И(3;6],
	x О (0;¹/₂),

Ы x О (0;¹/₂)И(¹/₂;1]И(3;6].