Экзамен по математике на бакалавра, 2008, профиль: гуманитарный, искусство, спорт

Министерство просвещения и молодежи Республики Молдова
Агенство оценивания знаний и организации экзаменов
Экзамен по математике на соискание звания бакалавра, 17 июня 2008
Профиль: гуманитарный, искусство, спорт

Время работы: 180 минут.

I. В заданиях 1-4 запишите ответы на поставленные вопросы в отведенных местах.

1. Заполните пустую рамку, чтобы получилось истинное высказывание.

"Если P(X) = X ³ − 2X ² + 4, то P(

) =

2. Обведите букву И, если высказывание истинно, или букву Л, если оно ложно.

3. Впишите в пустую рамку такое действительное число, чтобы функция f: R₊^* → R, строго убывала на интервале (0; + ∞):

4. В прямоугольный треугольник ABC, m(∠BAC) = 90^o, вписан прямоугольник AFDE длины сторон которого AF = 3 см, AE = 5 см. Если AF = FB, AE = EC, то площадь треугольника ABC равна см².

5. В двенадцатых классах теоретического лицея "Штефан чел Маре" обучается 50 учащихся, из которых 35 — девушки. Средний рост девушек двенадцатиклассниц составляет 168 см, а средний рост юношей — 176 см. Определите средний рост двенадцатиклассников теоретического лицея "Штефан чел Маре".

6. В разложении бинома семнадцатый член не содержит x. Найдите n.

7. Заданы матрицы Вычислите A × B.

8. При каких действительных значениях a и b выполняется условие
3a + (5 − 2i)b = 1 + 2i?

9. Используя данные рисунка, вычислите, сколько м³ сена вместится в данный сарай (сарай не имеет потолка), если стропила крыши имеют одинаковую длину и образуют прямой угол, длина сарая a = 12 м, ширина b = 8 м и высота стен c = 3 м.

10. Дана функция f: R → R, Найдите значение функции в точке ее локального минимума.

11. Высота прямого кругового конуса равна 15 см, а сумма длин образующей и радиуса основания равна 25 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

12. Найдите действительные значения a, a > 0, для которых выполняется условие

Решения

1.
Ответ: 2.

2. Поскольку 30 ≠ 20, следует, что ответ: Л (ложно).

3. В рамку может быть вписано любое действительное число a, расположенное между 0 и 1 (согласно свойствам логарифмической функции f(x) = log_ax, она является строго убывающей при a ∈ (0; 1)).
Ответ: например,

4. Имеем: AB = 2⋅AF = 6, AC = 2⋅AE = 10 и (см²). Ответ: 30 см².

5. Число юношей в лицее равно: 50 − 35 = 15. Определяем средний рост:

(см). Ответ: 170,4 см.

6. Используем формулу общего члена разложения бинома степени k:

T_k+1 =C_n^ka^n−kb^k.
Имеем

Поскольку T₁₇ не содержит x, следует, что −2n + 40 = 0, откуда n = 20.
Ответ: n = 20.

7. Используя правило умножения двух матриц, получаем:

3a + 5b − 2bi = 1 + 2i. Из определения равенства двух комплексных чисел следует

откуда a = 2 и b = −1.
Ответ: a = 2; b = −1.

9.
Определяем длину стропил d:

Находим объем параллелепипеда ABCDA'B'C'D': V₁ = 12⋅8⋅3 = 288 (м³).
Вычисляем объем призмы A'B'EC'D'E':

(м³). Определяем объем сарая: V = V₁ + V₂ = 288 + 192 = 480 (м³).
Ответ: 480 м³.

10. Вычисляем производную функции: f '(x) = 3x² − x − 10.
Находим критические точки: Определяем знак производной:

Следовательно, x = 2 является точкой локального минимума.

Ответ: 1994.

11.

Площадь полной поверхности конуса:

A = πR² + πRG = πR (R + G). Обозначим OB = R, VO = H = 15, VB = G = 25 − R. Согласно теореме Пифагора: VB² = VO² + OB² или (25 − R)² = 15² + R², 625 − 50R + R² = 225 + R², 50R = 400 и R = 8 (см). Таким образом, A = π⋅8⋅25 = 200π (см²).

12. Так как получается уравнение
2 + 2e^a = 4e^2a или 2e^2a − e^a − 1 = 0.
Обозначим e^a = t. Поскольку a > 0 ⇒ t > 1. Имеем

Оба решения не удовлетворяют условию t > 1, следовательно, исходное уравнение не имеет решений. Таким образом, не существует такого действительного a > 0, удовлетворяющего данному условию.
Ответ: a ∈ ∅.

Оценочная схема Максимальное число баллов
    Nr. 1 — 2 балла
    Nr. 2 — 2 балла
    Nr. 3 — 2 балла
    Nr. 4 — 2 балла
    Nr. 5 — 4 балла
    Nr. 6 — 5 баллов
    Nr. 7 — 6 баллов
    Nr. 8 — 5 баллов
    Nr. 9 — 6 баллов
    Nr. 10 — 6 баллов
    Nr. 11 — 7 баллов
    Nr. 12 — 8 баллов
    всего: 55 баллов

Оценка
    "10" — 54-55 баллов
    "9" — 52-53 балла
    "8" — 49-51 балл
    "7" — 39-48 баллов
    "6" — 27-38 баллов
    "5" — 19-26 баллов
    "4" — 14-18 баллов
    "3" — 10-13 баллов
    "2" — 5-9 баллов
    "1" — 0-4 балла