| Заглавная страница | Руководство пользователя | Практикум абитуриента | Учебные программы |
| Математический кружок | Занимательная математика| Формулы, словари | Новости |
|Странички истории | Экзамены, тесты | Библиография | Ссылки | Карта |

Министерство образования Республики Молдова
Экзамен по математике на соискание звания бакалавра, 2002
Гуманитарный профиль

Время: 180 минут.

1. Вычислите log35 × log54 – log312.

2. Определите координаты точки, симметричной точке A(–1,2) относительно начала координат.

3. Вычислите .

4. При каких значениях n имеет смысл выражение "(5 – n)!" ?

5. Найдите значение выражения 32x + 3 –2x, если 3x – 3x = 4.

6. Для каких x, y Î R имеет место равенство

7. В Ď ABC   Ð B = 90o   и   BK – медиана. Найдите площадь Ď BCK, если   AB = 4см,   а Ð A = 30o.

8. Найдите ту первообразную функции   f : R ® R,   f (x) = 4x3 + 2x – 3x2 – 1,   график которой проходит через точку A(1,–1).

9. Чугунную деталь в форме усеченного конуса с радиусами оснований 4см и 22см расплавили, а из полученного металла отлили цилиндр с той же высотой, что и у усеченного конуса. Найдите радиус основания цилиндра.

10. Решите уравнение  

Решения

1. Используя свойства логарифма, получим:

2. Пусть точка B, симметичная точке A(–1,2) относительно начала координат, имеет координаты (x0, y0). Поскольку O (0,0) является серединой отрезка AB, получим

откуда x0 = 1;   y0 = –2.

3.

4. Выражение (5 – n)! имеет смысл тогда и только тогда, когда   5 – n Î N,   то есть     откуда   n ≤ 5,   n Î Z.

5. Поскольку   3x – 3x = 4,   то   32x – 2 × 3x × 3x + 3 –2x = 16,   следовательно,   32x + 3 –2x = 16 + 2 × 3x+(–x)   или   32x + 3 –2x = 16 + 2 × 30 = 16 + 2 = 18.
Таким образом,   32x + 3 –2x = 18.

6. Используя определение равенства двух матриц, получим систему уравнений:

    откуда    

7.


Пусть Ď ABC – прямоугольный (угол Ð B – прямой),   AK=KC,   Ð BAC = 30o,   AB = 4см.   Тогда   BC = AB tg 30o,   .   Вычислим площадь Ď ABC:


Так как медиана BK делит треугольник ABC на два треугольника с равными площадями, следует, что

8. Пусть F(x) – первообразная функции f (x). Тогда


Поскольку   F(1) = –1,   следует, что   1 + 1 – 1 – 1 + C = –1   или   C = –1.   Таким образом,   F(x) = x4 + x2x3x – 1.

9. Найдем объем усеченного конуса:

где h – высота конуса.
Объем цилиндра такой же высоты и радиуса R равен
V2 = pR2h.
Так как   V1 = V2,   следует, что   196ph = pR2h,   откуда   R2 = 196   и   R = 14(см).

10. ОДЗ: x > 0. Используя свойства логарифмической функции, получим:

   Û    [log 0,5(4x)]2 + log2x2 – log28 = 8    Û   

Û    [– log2(4x)]2 + 2 log2x – 3 – 8 = 0    Û    (log24 + log2x)2 + 2 log2x – 11 = 0    Û   

Û    4 + 4 log2x + log22x + 2 log2x – 11 = 0    Û    log22x + 6 log2x – 7 = 0    Û   

Û       Û   

Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Оценочная схема
Максимальное число баллов
    N 1 – 4 балла
    N 2 – 2 балла
    N 3 – 3 балла
    N 4 – 4 балла
    N 5 – 4 балла
    N 6 – 5 баллов
    N 7 – 5 баллов
    N 8 – 5 баллов
    N 9 – 6 баллов
    N 10 – 8 баллов
    всего: 46 баллов

Оценка
    "10" – 45-46 баллов
    "9" – 41-44 балла
    "8" – 34-40 баллов
    "7" – 27-33 балла
    "6" – 21-26 баллов
    "5" – 15-20 баллов
    "4" – 10-14 баллов
    "3" – 6-9 баллов
    "2" – 2-5 баллов
    "1" – 1 балл




| Заглавная страница | Руководство пользователя | Практикум абитуриента | Учебные программы |
| Математический кружок | Занимательная математика| Формулы, словари | Новости |
|Странички истории | Экзамены, тесты | Библиография | Ссылки | Карта |