Экзамен по математике на бакалавра, 2000, гуманитарный профиль

Время: 180 минут.

1. Вычислить

(7 очков)

2. Определить множество значений функции f(x) = - x² + 5x - 3. (7 очков)

3. Найдите уравнение второго порядка с действительными коэффициэнтами, если известно что одним из его корней является 1 + i. (7 очков)

4. В треугольнике ABC точка M О (BD), (BD) - медиана. Доказать что площадь треугольника ABM равна площади треугольника CMD. (10 очков)

5. Решить систему уравнений

	4x + y + z = 1,
	x + 4y + z = 2,
	x + y + 4z = 3.

(12 очков)

6. Написать уравнение касательной к графику функции f : R\{1} ® R, в точке пересечения графика функции с осью ординат. (13 очков)

7. Решить неравенство . (14 очков)

8. Из середины высоты правильной четырехугольной пирамиды опущен перпендикуляр, равный a, на боковое ребро пирамиды. Найти объем пирамиды, если известно, что угол образованный перпендикуляром и высотой пирамиды, равен a. (15 очков)

9. При каких значениях действительного параметра a, уравнение имеет корень, больший чем 2. (15 очков)

Решения

1. Используя свойства показательной функции, получим

2. Выделяем полный квадрат

Поскольку область значений данной функции есть множество .

3. Поскольку комплексное число z = 1 + i есть корень уравнения

x² + px + q = 0, {p,q} М R

(1)

его сопряженное число, z = 1 - i, также есть корень уравнения (1). Используя теорему Виета, получим

-p = (1 + i) + 1 - i = 2,

q = (1 + i)(1 - i) = 2,

и искомое уравнение x² - 2x + 2 = 0.

Пусть BK - высота в DABC, BK^AC. Тогда (AD = DC)

S_DABD = S_DBDC =

AD·BK

(2)

Аналогично

S_DAMD = S_DCMD =

AD·MN

(3)

(MN - высота в DAMC, MN^AC).

Поскольку

S_DABM = S_DABD - S_DAMD,

S_DBMC = S_DBDC - S_DMDC,

используя равенства (2), (3) получим S_DABM = S_DCMB.

5. Используем правило Крамера решения систем линейных уравнений.

D =

4	1	1
1	4	1
1	1	4

= 54 ≠ 0,

следовательно, система имеет единственное решение.

D_x =

1	1	1
2	4	1
3	1	4

= 0,

D_y =

4	1	1
1	2	1
1	3	4

= 18,

D_z =

4	1	1
1	4	2
1	1	3

= 36.

Согласно правилу Крамера

Замечание. Система может быть решена и методом Гаусса.

6. Найдем точку пересечения графика функции с осью ординат

f(0) =

= -2.

Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x₀ находится по формуле

y = f(x₀) + f ў(x₀)(x - x₀).

(4)

Так как

следует, что

7.
откуда используя метод интервалов получим

x О [-1,0)И[2,+Ґ).

8. Пусть SABCD - правильная четырехугольная пирамида (ABCD - квадрат), h = SO - высота пирамиды, основание которой находится в точке O - цeнтр квадрата ABCD. SK = KO и KN^SB, РSKN = a, KN = a.