| Заглавная страница | Руководство пользователя | Практикум абитуриента | Учебные программы |
| Математический кружок | Занимательная математика| Формулы, словари | Новости |
|Странички истории | Экзамены, тесты | Библиография | Ссылки | Карта |


Министерство Образования и Науки
Экзамен по математике на соискание звания бакалавра, 10 июня 1999
Профиль: математика

1. Вычислить


(3 очка)

Решение. Неопределенность вида Ґ - Ґ. Приведя к общему знаменателю, получим

2. Привести пример функции, которая определена и непрерывна на открытом интервале (a,b), но которая неограничена на этом интервале. (3 очка)

Решение.

Действительно,
f О C((a,b)) и

3. Пусть z = 1 + i. Определить действительные числа a,b О R, если известно, что z3 = az + b. (4 очка)

Решение. Используя определение равенства двух комплексных чисел, получим

(1 + i)3 = az + b Ы 1 + 3i + 3i2 + i3 = a(1 + i) + b Ы 1 + 3i - 3 - i = a + b + ai Ы
Ы -2 - 2i = (a + b) + ai Ы
a+b = -2, Ы a = 2,
a = 2, b = -4.

4. Вычислить определенный интеграл

(5 очков).

Решение. Заметим, что подинтегральная функция четная и, следовательно, . Поскольку для x О [0,1] имеем 2x - 2-x ≥ 0, то получим

5. Решить уравнение

3+4|cosx| = bcos2x,
если известно, что является одним из его решений. (6 очков)

Решение. Так как x = есть решение уравнения, следует, что

, или
откуда b = -10. Тогда исходное уравнение примет вид
3 + 4|cosx| = -10 cos2x Ы 10(2cos2 x - 1) + 4|cosx| + 3 = 0.
Положив t = |cosx|, (тогда cos2x = t2), получим квадратное уравнение
20t2 + 4t - 7 = 0,
решения которого t1 = 1/2,    t2 = -7/10. Поскольку t О [0,1], остается t = 1/2. Таким образом,

6. Высота прямого кругового конуса равна 6см, а его образующая образует угол в 60° с плоскостью основания. В конусе размещена пирамида, основание которой - прямоугольный равнобедренный треугольник, вписанный в основание конуса, а вершина пирамиды находится на середине одной из образующих конуса. Найти объем пирамиды. (5 очков)

Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник COB   (CO^OB). Так как РCBO = 60° (из условий), используя метрические соотношения в треугольнике, получим: (см). Таким образом, гипотенуза AB прямоугольного треугольника AEB (в то же время диаметр окружности радиуса OB) равна (см), а площадь AEB (и площадь основания пирамиды).

(см2).
Высота пирамиды DH является средней линией в AOC, и, следовательно, равна половине OC, Таким образом,
(см3).

7. Прямая x + y - 4 = 0 является касательной к эллипсу

где b О (0,3). Определить значение b и координаты точки касания прямой и эллипса. (6 очков)

Решение. Уравнение касательной к эллипсу в точке (x0,y0) есть

или, в данном случае
откуда
Из условия (y = -x + 4) следует
откуда x0 = 9/4. Поскольку y0 = 4 - x0   Ю   y0 = 7/4, используя уравнение эллипса находим b:
откуда 9b2 + 49 = 16b2, или b2 = 7,   , и, поскольку b О (0,3), получим
.
Таким образом , а точка касания M(9/4,7/4).

8. Определить член разложения бинома , который не содержит b2, если известно, что n - это наибольшее натуральное число, которое удовлетворяет неравенству

(7 очков)

Решение. Исходное неравенство равносильно следующему

Обозначив log3n = t, получим
Учитывая что t > 0, из последнего неравенства получим
1 < log3x < 2  Ы  3 < n < 9.
Поскольку n О N и является наибольшим из интервала (3;9), следует, что n = 8. Общий член разложения Tk+1 имеет вид
откуда k/3 = 2 или k = 6. Таким образом,

9. Рассмотрим функцию

f:D® R,   D М R
такую, что
Найти такие a, b чтобы значения функции в точках экстремума равнялись -1 и -2. (8 очков)

Решение. Находим критические точки

Следовательно, f ў(x) = 0   Ю   b2 - x2 = 0   Ю   x = ±b.

Заметим, что a ≠ 0, b ≠ 0 (в противном случае нарушаются условия задачи) и в окрестностях точек x = ±b производная меняет знак. Следовательно, точки x = -b и x = b являются точками экстремума.

Получим следующую совокупность систем

f(b) = -1,
f(-b) = -2,
f(b) = -2,
f(-b) = -1
      или      

Из первой системы получим   a = -4, b = 1/2, а из второй   a = -4, b = -1/2. В обоих случаях функция f равна

10. Пусть ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C. Медиана CP перпендикулярна медиане BQ, а сторона BC равна a. Вычислить длину медианы BQ. (8 очков)

Решение. Пусть РCBA = a. Тогда РBAC = 90°-a. Поскольку CP =1/2AB = BP = PA, следует РBCP = a и РACP = 90°-a. Из прямоугольного треугольника CMQ получим РCQB = a. Таким образом, откуда

Так как CQ = 1/2AC (BQ - медиана) следует
откуда Используя теорему Пифагора, получим AB2 = a2 + 2a2, или Таким образом,




| Заглавная страница | Руководство пользователя | Практикум абитуриента | Учебные программы |
| Математический кружок | Занимательная математика| Формулы, словари | Новости |
|Странички истории | Экзамены, тесты | Библиография | Ссылки | Карта |