Экзамен по математике на соискание звания бакалавра, 10 июня 1999 Профиль: математика 1. Вычислить (3 очка) Решение. Неопределенность вида Ґ - Ґ. Приведя к общему знаменателю, получим 2. Привести пример функции, которая определена и непрерывна на открытом интервале (a,b), но которая неограничена на этом интервале. (3 очка) Решение. 3. Пусть z = 1 + i. Определить действительные числа a,b О R, если известно, что z3 = az + b. (4 очка) Решение. Используя определение равенства двух комплексных чисел, получим
4. Вычислить определенный интеграл Решение. Заметим, что подинтегральная функция четная и, следовательно, . Поскольку для x О [0,1] имеем 2x - 2-x ≥ 0, то получим 5. Решить уравнение Решение. Так как x = есть решение уравнения, следует, что 6. Высота прямого кругового конуса равна 6см, а его образующая образует угол в 60° с плоскостью основания. В конусе размещена пирамида, основание которой - прямоугольный равнобедренный треугольник, вписанный в основание конуса, а вершина пирамиды находится на середине одной из образующих конуса. Найти объем пирамиды. (5 очков)
Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник COB (CO^OB). Так как РCBO = 60° (из условий), используя метрические соотношения в треугольнике, получим: (см). Таким образом, гипотенуза AB прямоугольного треугольника AEB (в то же время диаметр окружности радиуса OB) равна (см), а площадь AEB (и площадь основания пирамиды). 7. Прямая x + y - 4 = 0 является касательной к эллипсу Решение. Уравнение касательной к эллипсу в точке (x0,y0) есть 8. Определить член разложения бинома , который не содержит b2, если известно, что n - это наибольшее натуральное число, которое удовлетворяет неравенству Решение. Исходное неравенство равносильно следующему 9. Рассмотрим функцию Решение. Находим критические точки Заметим, что a ≠ 0, b ≠ 0 (в противном случае нарушаются условия задачи) и в окрестностях точек x = ±b производная меняет знак. Следовательно, точки x = -b и x = b являются точками экстремума. Получим следующую совокупность систем
Из первой системы получим a = -4, b = 1/2, а из второй a = -4, b = -1/2. В обоих случаях функция f равна 10. Пусть ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C. Медиана CP перпендикулярна медиане BQ, а сторона BC равна a. Вычислить длину медианы BQ. (8 очков)
Решение. Пусть РCBA = a. Тогда РBAC = 90°-a. Поскольку CP =1/2AB = BP = PA, следует РBCP = a и РACP = 90°-a. Из прямоугольного треугольника CMQ получим РCQB = a. Таким образом, откуда |