Экзамен по математике на бакалавра, 2008, реальный профиль

Министерство просвещения и молодежи Республики Молдова
Агенство оценивания знаний и организации экзаменов
Экзамен по математике на соискание звания бакалавра, 13 июня 2008
Реальный профиль

Время работы: 180 минут.

I. В заданиях 1-3 запишите ответы на поставленные вопросы в отведенных местах.

1. На рисунке представлен график функции f: R\{3}→R

2. В прямоугольнике MNPQ точка F — середина отрезка MQ. Если площадь трапеции NPQF равна A₁, а площадь треугольника MNF равна A₂, то

3. Выражение имеет смысл при

II. В заданиях 4-8 приведите краткие решения и обоснования ответов.

4. Определите истинность высказывания и обведите букву И, если высказывание истинно, или букву Л, если оно ложно.

”Если

то (z₁ + z₂) ∈ R.” Обоснуйте ответ.

5. У продавца на рынке из 50 имеющихся арбузов 40 арбузов являются спелыми. Какова вероятность того, что купив любые 2 арбуза у этого продавца, вы купите оба арбуза спелые?

6. Решите на множестве R неравенство

7. Заполните пустую рамку одним из знаков ”>”, ”<”, ”=” так, чтобы высказывание стало истинным.

”Если

то

” Обоснуйте ответ.

8. Найдите координаты основания перпендикуляра, проведенного из точки A(−1; 2) на прямую l: 3x − 5y − 21 = 0.

III. Решите задачи 9-12 и запишите полное их решение.

9. Найдите действительные значения параметра m, при которых решения уравнения
x³ + 4x² + m = 0 удовлетворяют условию x₃ = x₁ + x₂.

10. Решите на множестве R уравнение |3^x − 3| + 3^2x = 3.

11. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник. Найдите отношение объема конуса к объему вписанного в него шара.

12. Для постройки здания больницы, фундамент которого должен иметь форму прямоугольника MNKL площадью 400 м², требуется участок земли в виде прямоугольника ABCD, границы которого должны отстоять от строения на 36 м и 16 м (смотрите рисунок). Найдите длину и ширину фундамента здания, при которых площадь участка ABCD будет наименьшей.

Решения

3. x ∈ R.

4. Л, поскольку

5. Используя формулу классической вероятности где m — число благоприятных случаев, n — общее число случаев, получим:
Ответ:

6.
⇔ x ∈ (0; 3) ∪ (3; 6).
Ответ: S = (0; 3) ∪ (3; 6).

7. следовательно, A = B.

8. Угловой коэффициент прямой l: 3x − 5y − 21 = 0 равен Угловой коэффициент перпендикуляра (согласно условию перпендикулярности прямых m₁⋅m₂ = −1).
Уравнение перпендикуляра или 3y − 6 = −5x − 5, 5x + 3y − 1 = 0.
Находим координаты основания перпендикуляра из системы:

Умножив первое уравнение на 5, а второе на (−3), и сложив, получим: −34y − 102 = 0, откуда y = −3. Тогда 5x + 3⋅(−3) − 1 = 0, 5x = 10 и x = 2.
Таким образом, координаты основания перпендикуляра: (2; −3).
Ответ: (2; −3).

9. По теореме Виета:

кроме того, x₁ + x₂ = x₃. Из этого уравнения и первого отношения получим

откуда 2x₃ = −4 и x₃ = −2.
Поскольку x₃ = −2 является решением уравнения, то (−2)³ + 4⋅(−2)² + m = 0,
−8 + 16 + m = 0,
m + 8 = 0,
m = −8. Ответ: m = −8.

10.

Ответ: S = {0}.

11. Пусть a — сторона равностороннего треугольника из осевого сечения конуса, R_c — радиус основания конуса, H_c — высота конуса, r — радиус шара. Тогда

Находим объем конуса:

Находим объем шара:

Находим отношение объемов:

Ответ:

12. Пусть a = |MN|, b = |ML|. Согласно условиям A = 400 м², то есть ab = 400. Площадь прямоугольника ABCD равна

S = (36 + 36 + b)(16 + 16 + a) = (72 + b)(32 + a). Имеем

Исследуем функцию S на минимум:

откуда b = ± 30.

Таким образом, b_min = 30 и

Ответ: ширина

м, длина 30 м.

Оценочная схема Максимальное число баллов
    Nr. 1 – 2 балла
    Nr. 2 – 2 балла
    Nr. 3 – 2 балла
    Nr. 4 – 4 балла
    Nr. 5 – 5 баллов
    Nr. 6 – 5 баллов
    Nr. 7 – 6 баллов
    Nr. 8 – 7 баллов
    Nr. 9 – 7 баллов
    Nr. 10 – 8 баллов
    Nr. 11 – 8 баллов
    Nr. 12 – 8 баллов
    всего: 64 балла

Оценка
    "10" — 62-64 балла
    "9" — 57-61 балл
    "8" — 50-56 баллов
    "7" — 39-49 баллов
    "6" — 30-38 баллов
    "5" — 17-29 баллов
    "4" — 14-16 баллов
    "3" — 9-13 баллов
    "2" — 5-8 баллов
    "1" — 0-4 балла