Экзамен по математике на соискание звания бакалавра, июнь, 1999
Профиль: химия-биология, химия-физика
II Вариант
1. Какому числовому множеству принадлежит значение выражения:
Решение. Избавившись от иррациональности в знаменателях, получим
Ответ. Множеству натуральных чисел.
Замечание. Нужно учесть что N М Z М Q М R М C...
2. Привести пример квадратного уравнения, корни которого противоположных знаков.
Решение. Пусть, например, x1 = 1, x2 = -2. Используя обратную теорему Виета, получим
3. Решить уравнение 
.
Решение.
|
|
 |
 = 0, |
Ы |
|
x = -1, | Ы |
|
||||
| x2 - 4 = 0, | x = 2, x = -2, | |||||||||||
| x ≥ -1, | x ≥ -1, |
4. Определить p,q О R так, чтобы многочлен 3x4 - 4x3 + px2 + q делился без остатка на (x - 1)2.
Решение. Поскольку x0 = 1 есть корень двойной кратности многочлена p(x)=3x4 - 4x3 + px2 + q следует что p(x0) = 0 и p'(x0) = 0. Таким образом
|
p(x0) = 0, | или | |
p + q - 1 = 0, | Ю | |
q = 1, |
| p'(x0) = 0, | 2p = 0, | p = 0. |
5. Пусть даны функции
,
g(x) = xe-x.
Доказать что f ў(2)
есть решение уравнения gў(x) = 0.
Решение. Определим f ў(x), f ў(2) и g ў(x):
|
|
| gў(x) = (xe-x)ў = xў·e-x + x·(e-x)ў = e-x + xe-x·(-1) = e-x(1 - x). |
Уравнение gў(x) = 0 имеет единственное решение x = 1, которое совпадает с f ў(2).
6. Пусть ABC произвольный треугольник с высотой AAў и медианой AM. Найти длины сторон AB и AC треугольника, если AAў = 12см, AM = 13см, BC = 30см,
Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник AAўM (AAў^BC) Используя теорему Пифагоры найдем AўM:
(см).
BC = 15(см) и
BAў = BM -
AўM = 10(см);
AўC =
AўM + MC = 20(см).
Из прямоугольного треугольника AAўB найдем AB:
(см).
а AC - из прямоугольного треугольника AAўC
(см).
7. При каких значениях действительного параметра a прямая y = -10x + a является касательной графика функции f(x) = 3x2 - 4x - 2.
Решение. Прямая y = -10x + a будет касательной к параболе f(x) = 3x2 - 4x - 2, если и только если уравнение 3x2 - 4x - 2 = -10x + a имеет единственное решение. Следовательно, дискриминант квадратного уравнения
8. Определить площадь фигуры ограниченной графиком функции f(x) = 2x - 2 и графиком первообразной этой функции F(x), если F(0) = 1.
Решение. Находим первообразную функции f(x) = 2x - 2:
(2x - 2)dx =
x2 - 2x + C.
Определим пределы интегрирования, решив уравнение f(x) = F(x) или
(кв.ед.).
9. Решить неравенства log|2-x|(x2 - x - 2) ≥ log|2-x|(x + 6).
Решение. Неравенство равносильно совокупности
|
|
|
|2 - x| > 1, | Ы | |
| x2 - x - 2 ≥ x + 6, | |||||
| x + 6 > 0, | |||||
|
|
0 < |2 - x| < 1, | ||||
| x2 - x - 2 < x + 6, | |||||
| x2 - x - 2 > 0, |
Решение первой системы совокупности:
|
Ы | |
|
x < 1, | Ы x О (-6;-2]И[4;+Ґ). | ||||||||
| x > 3, | |||||||||||||
|
x ≥ 4, | ||||||||||||
| x ≤ -2, | |||||||||||||
| x > -6, |
Решение второй системы совокупности:
|
Ы | |
1 < x < 3, | Ы x О (2;3). | ||||||
| x ≠ 2, | ||||||||||
| -2 ≤ x ≤ 4, | ||||||||||
|
x < -1, | |||||||||
| x > 2, |
10. Площадь основания прямого кругового конуса равна 9p(см2), а площадь полной поверхности - 24p(см2). Найти обьем конуса.
Решение. Пусть r = OB радиус основания конуса, l = SB - его образующая и h = SO - его высота.
Согласно условиям
|
pr2 = 9p, |
| pr2 + prl = 24p, |
(см).
Следовательно, объем конуса V равен:
(см3).