Examenul la matematica pentru absolventii clasei 11, 8 iunie 1999 1. Sa se aduca la forma mai simpla expresia si sa se calculeze valoarea expresiei pentru x=2/3. (4 puncte) Solutie. Domeniul valorilor admisibile (concis DVA) al expresiei date este x Î R\{-1;0;1}. Se aduce la numitor comun, se tine seama de DVA, si se obtine Pentru x = 2/3 se obtine 2. Segmentul MB este perpendicular pe planul dreptunghiului ABCD. Punctul M este unit cu varfurile dreptunghiului. Numiti toate triunghiurile dreptunghice ce s-au format. (3 puncte) Solutie. Se observa nemijlocit, utilizand teorema celor trei
perpendiculare, ca toate fetele laterale formeaza triunghiuri dreptunghice.
Asadar se obtin urmatoarele triunghiuri dreptunghice MBA,
MBC, MAD si MCD. 3. Determinati domeniul de definitie al functiei Solutie. Cum functia de sub semnul logaritmului poate lua doar valori pozitive, iar functia de sub semnul radicalului de ordinul doi-poate lua numai valori nenegative, domeniul de definitie se determina din sistemul:
4. Aflati suma radacinilor ecuatiei x1+lg x = 100. (5 puncte) Solutie. DVA: x > 0. Logaritmand ambele parti ale ecuatiei in baza 10 (in DVA ambii membri sunt pozitivi) se obtine Se revine la necunoscuta initiala si se obtine totalitatea de ecuatii
5. Se considera functia
Solutie. Domeniul de definitie al functiei date este x³ 0. Reprezentam aceasta functie sub forma 6. In triunghiul ABC cu unghiul drept C, CD este bisectoare si . Aflati lungimea laturii BC daca se stie , DM este inaltimea triunghiului ADC. (6 puncte)
Solutie. Cum CD-bisectoarea unghiului drept, rezulta Ð ACD = Ð BCD = 45°. Triunghiul MDC este isoscel (Ð MDC = Ð DCM = 45°) de unde rezulta ca . Din triunghiul dreptunghic ADM se determina utilizand teorema lui Pitagora AM = 3. Astfel . Triunghiul AMD este asemenea cu triunghiul ACB (triughiuri dreptunghice si Ð A comun), deci 7. Primitiva functiei Solutie. Se determina primitiva functiei f: Astfel
F(2) = 24 +
22 + 23 = 43. 8. Aflati valoarea maxima si minima a functiei Solutie. Se determina derivata functiei f(x):
9. Baza unei piramide este un romb cu unghiul obtuz de 120°. Piciorul inaltimii piramidei este varful acestui unghi din care se duce o perpendiculara de lungimea 12cm pe fata laterala opusa. Sa se calculeze volumul piramidei daca aceasta perpendiculara formeaza cu planul bazei un unghi de 60°. (7 puncte)
Solutie. Cum BM perpendiculara pe planul ABCD rezulta ca punctul N apartine inaltimii MP a triunghiului MDC (acest fapt nu este atat de evident, dar poate fi demonstrat utilizand definitia distantei de la un punct pana la un plan). De aici, ÐNBP = 60°, iar ÐMBN = 30°. Aflam inaltimea BM si latura BP din triunghiurile MBN si BNP, respectiv. Astfel
10. Pentru ce valori ale parametrului real a ecuatia Solutie. DVA: xÎ R\{2;3}. In DVA ecuatia initiala este echivalenta cu totalitatea
Daca a > 0 avem
Note: 1. Timp de lucru 3 ore astronomice, adica 180 minute. 2. In dependenta de punctaj notele vor fi
|