Examen la matematica de absolvire, 2001

Ministerul Educatiei si Stiintei
Examen la matematica de absolvire a scolii de cultura generala, 2001

Timp alocat: 180 minute.

1. Calculati .

2. Determinati valoarea maxima a functiei f : R ® R, f(x) = -2x² + 3x - 1.

3. Bisectoarele unghiurilor A si B a paralelogramului ABCD se intersecteaza in punctul O. Determinati masura unghiului AOB.

4. Fie functia , . Determinati primitiva acestei functii, graficul careia trece prin punctul .

5. Rezolvati ecuatia

6. Determinati cosa, daca , iar .

7. Rezolvati inecuatia

8. Intr-o piramida triunghiulara regulata lungimea inaltimei ei este egala cu , iar muchia laterala formeaza cu planul bazei un unghi de masura de 30°. Determinati volumul piramidei.

9. Determinati pentru ce valori ale parametrului real a dreapta y = ax + 7 este tangenta la graficul functiei f : R® R, f(x) = x² + 6x + a.

Solutii

1. , deci .

2. Valoarea maxima a trinomului ax² + bx + c (a < 0) este egala cu . In cazul dat si, prin urmare

Cum suma unghiurilor A si B ale paralelogramului ABCD (a se vedea desenul) este egala cu 180°, . Suma unghiurilor interioare ale triunghiului AOB este 180°. Prin urmare

4. Cum , si , rezulta , de unde . Asadar .

5. Domeniul valorilor admisibile (DVA) al ecuatiei este intervalul (4;+¥), care se determina rezolvand sistemul de inecuatii

Utilizand proprietatile functiei logaritmice (a se vedea, de exemplu, Ecuatii logaritmice) in DVA se obtin urmatoarele echivalente

log₃(x - 1) - log₃(2x - 7) = log₃2 - log₃(x - 4) Û
Û log₃(x - 1) + log₃(x - 4) = log₃2 + log₃(2x - 7),

de unde log₃(x - 1)(x - 4) = log₃2(2x - 7) sau

(x - 1)(x - 4) = 2(2x - 7).

Se rezolva ecuatia patrata obtinuta x² - 9x + 18 = 0 de unde x₁ = 3 Ï DVA si x₂ = 6 Î DVA. Asadar x =6.

6. Cum cos2a = 1 - 2sin²a, se obtine sau , de unde . Se determina cosa: . Cum a apartine cadranului IV, cosa > 0 si .

Fie SABC - piramida triunghiulara regulata, - inaltimea ei, ÐSCO = 30°, a - lungimea laturii triunghiului echilateral din baza piramidei. Atunci

Din triunghiul dreptunghic SOC (SO^OC) se obtine

Asadar

, de unde

. Se determina aria bazei piramidei:

si volumul piramidei

9. Dreapta y = ax + 7 este tangenta la graficul trinomului x²+6x+a, daca ecuatia ax + 7 = x² + 6x + a, echivalenta cu ecuatia x² + (6 - a)x + a - 7 = 0 are o singura solutie. Ultima ecuatie are o singura solutie, daca discriminantul ei D = (6 - a)² - 4(a - 7) este egal cu zero. Prin urmare

36 - 12a + a² - 4a + 28 = 0 sau a² - 16a + 64 = 0

de unde a = 8.