| Pagina principala | Ghidul utilizatorului | Rubrica candidatului | Curriculumurile scolare |
| Matematica competitiva | Matematica distractiva| Formule, dictionare | Avizuri |
|Pagini din istorie | Examene, teste | Bibliografie | Link-uri | Site map |

Ministerul Educatiei si Stiintei
Examenul de bacalaureat la matematica, sesiunea iunie, 1999
Profilul umanist
Varianta IV

Timp de realizare - 180 minute

1. Sa se determine carei multimi de numere apartine valoarea expresiei numerice

Solutie. Se utilizeaza identitatea de baza a logaritmului (   a > 0, a ¹ 1, b > 0), formula  (a > 0, a ¹ 1, b > 0, b ¹ 1) si se obtine

Asadar, valoarea expresiei date este un numar natural.

Nota. Tinem sa mentionam, ca N Ì Z Ì Q Ì R Ì C...

2. Dati exemplu de un sistem de doua ecuatii liniare compatibil nedeterminat.

Solutie. De exemplu, sistemul

x + y = 1,
2x + 2y = 2,
este compatibil nedeterminat. In adevar, solutiile acestui sistem sunt x = 1 - a, y = a, a Î R.

3. Sa se determine domeniul de definitie al functiei

Solutie. Domeniul de definitie al functiei f(x) se determina din sistemul de ecuatii

x2 - 3x + 2 ³ 0
x > 0,
(expresia de sub semnul radacinii de ordinul doi poate primi doar valori nenegative, iar cea de sub simbolul logaritmului doar valori pozitve). Rezolvand sistemul se obtine D(f) = (0;1]È[2;+¥).

4. Rezolvati ecuatia

Solutie. DVA al ecuatiei este x Î R. In DVA ecuatia este echivalenta cu ecuatia

sau de unde rezulta e2x = 3 si

5. Sa se determine intervalele de monotonie ale functiei f:R*®R, si comparati valorile functiei in punctele x1 = log54 si x2 = log53.

Solutie. Cum utilizand metoda intervalelor se obtine ca f ¢(x) > 0 pentru x Î (1;+¥) si f ¢(x) < 0 pentru x Î (0;1). Prin urmare, pentru x Î (0;1) functia f(x) este strict descrescatoare si cum

0 = log51 < log53 < log54 < log55 = 1
rezulta f(log53) > f(log54).

6. Calculati aria multimii marginite de graficele functiilor f(x) = x2 - 4x + 4 si g(x) = 2x + 4.

Solutie. Aria figurii marginite de graficele functiilor f(x) = x2 - 4x + 4 si g(x) = 2x + 4 (a se vedea desenul) se determina utilizand formula:

unde a si b sunt limitele de integrare.

Pentru a determina a si b se rezolva ecuatia f(x) = g(x), adica x2 - 4x + 4 = 2x + 4 sau x2 - 6x = 0, de unde (tinand seama ca a < b) se obtine a = x1 = 0 si b = x2 = 6.

Asadar

7. Fie functia Sa se determine valoarea expresiei:

Solutie. Domeniul de definitie al functiei f este Se utilizeaza formulele de reducere si se obtine

(se tine seama, ca daca     k Î Z, atunci     k Î Z).

8. Care termen din dezvoltarea binomului nu-l contine pe a.

Solutie. Cum binomul se scrie Utilizand formula coeficientului binomial

se obtine ecuatia
sau -8(17 - k) + 9k = 0, de unde k = 8.

Asadar

9. Intr-un corp sferic cu volumul 10cm3 este inscris un con, sectiunea axiala a caruia este un triunghi dreptunghic. Aflati volumul conului.

Solutie. Cum sectiunea axiala a conului este un triunghi dreptunghic (isoscel), rezulta ca ipotenuza lui coincide cu diametrul, adica raza bazei conului r, raza sferei R si inaltimea conului h sunt egale: r = R = h.

Cum rezulta iar volumul conului:





| Pagina principala | Ghidul utilizatorului | Rubrica candidatului | Curriculumurile scolare |
| Matematica competitiva | Matematica distractiva| Formule, dictionare | Avizuri |
|Pagini din istorie | Examene, teste | Bibliografie | Link-uri | Site map |