Bacalaureat 1999, Profilul umanist, varianta III

Timp de realizare - 180 minute

1. Sa se determine carei multimi de numere apartine valoarea expresiei numerice

Solutie. Se aduce la numitor comun si se obtine:

Asadar valoarea expresiei numerice date este un numar natural.

Nota. Se tine seama ca N Ě Z Ě Q Ě R Ě C...

2. Scrieti o ecuatie polinomiala de gradul trei, una din radacini fiind x = 1.

Solutie. Fie radacinile ecuatiei polinomiale de gradul trei x₁ = 1, x₂ = 2 si x₃ = 3. Atunci conform teoremei Bezu

P₃(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3) sau P₃(x) = x³ - 6x² + 11x - 6. In general, daca coeficientii polinomului a₀x³ + a₁x² + a₂x + a₃ verifica relatia a₀ + a₁ + a₂ + a₃ = 0, x = 1 este radacina a acestei ecuatii.

3. Aflati suma radacinilor reale ale ecuatiei

Solutie. DVA al ecuatiei este R. Se noteaza si se obtine ecuatia patrata 2t² + t - 3 = 0 cu solutiile t₁ = 1 si t₂ = -³/₂.

Se revine la variabila intiala si se obtine

si suma solutiilor reale x₁ + x₂ = -¹⁹/₈.

4. Rezolvati inecuatia

Solutie. DVA al inecuatiei este x > 0. Se utilizeaza metoda generalizata a intervalelor

si se obtine x Î (0,1]Č[3;+Ľ).

5. Aratati ca parabola y = x² - x + 5,35 nu intersecteaza graficul functiei f(x) = 2sinx + 3.

Solutie. Cum domeniul de valori ai functiei y = x² - x + 5,35 este [5,1;+Ľ). In acelasi timp, |sinx| Ł 1 implica 1 Ł 2sinx + 3 Ł 5 si prin urmare graficele acestei functii nu se intersecteaza.

6.Calculati aria multimii marginite de graficele functiilor f(x) = 2 + x - x² si g(x) = 2 - x.

Solutie.

Aria S a figurii marginita de graficele functiilor f(x) = 2 + x - x² si g(x) = 2 - x (a se vedea desenul) se determina din formula

unde a si b sunt limitele de integrare, ce se determina rezolvand ecuatia f(x) = g(x).

Asadar

2 + x - x² = 2 - x sau x² - 2x = 0 de unde, tinand seama ca a < b, se obtine a = 0, b = 2.

Prin urmare

7. Sa se determine pentru care valori ale parametrului real a sistemul

	ax + y + z = 1,
	3x + ay + z = 1,
	3x + y + az = 1,

admite o singura solutie.

Solutie. Conform regulei Cramer, sistemul va avea o solutie unica daca determinantul principal al lui va fi diferit de zero:

a	1	1	š 0.
3	a	1
3	1	a

Prin urmare, dezvoltand determinantul, se obtine a³ - 7a + 6 š 0, sau, tinand seama ca a³ - 7a + 6 = a³ - a - 6a + 6 = a(a² - 1) - (6a - 6) = a(a - 1)(a + 1) - 6(a - 1) = = (a - 1)(a² + a - 6) = (a - 1)(a + 2)(a - 3) se obtine a š 1, a š -2 si a š 3 sau a Î R\{-2,1,3}.

8. Scrieti ecuatia tangentei la graficul functiei in punctele de tangenta x₀ = -3.

Solutie. Ecuatia tangentei la graficul functiei f(x) in punctul x₀ este

y - f(x₀) = f ˘(x₀)(x - x₀) unde f ˘(x₀) este valoarea derivatei functiei in x₀.

Cum

se obtine y - 9 = -3(x + 3) sau, dupa transformari elementare, y = -3x.

9. Baza unei piramide triunghiulare regulate este un triughi dreptunghic cu catetele de 12cm si 16cm. Aflati volumul piramidei daca muchiile laterale sunt congruente si au lungimea

Solutie.

Se observa ca cuvantul regulata in conditiile problemei este de prisos (altfel problema nu are sens).

Cum muchiile laterale sunt congruente, piciorul inaltimii cade in centrul circumferintei circumscrise bazei piramidei. Prin urmare, piciorul inaltimii piramidei se afla in mijlocul ipotenuzei AC.

Cum

se obtine