Bacalaureat 1999, Profilul umanist, varianta II

Ministerul Educatiei si Stiintei
Examenul de bacalaureat la matematica, sesiunea iunie, 1999
Profilul umanist
Varianta II

Timp de realizare - 180 minute

1. Fie fucntia f:R^*ŽR, Calculati f(log₂3).

Solutie. Se utilizeaza identitatea de baza si se obtine

2. Scrieti o ecuatie de gradul doi cu radacini reale, astfel incat produsul radacinilor sa fie egal cu 4.

Solutie. Se utilizeaza teorema reciproca a lui Viete, de exemplu pentru x₁ = 1 si x₂ = 4 (atunci x₁·x₂ = 4, x₁ + x₂ = 5) si se obtine ecuatia patrata

x² - 5x + 4 = 0.

3. Fie Sa se determine pentru ce valori ale lui a si b este adevarata egalitatea

Solutie. Cum

egalitatea devine

de unde, tinand seama de definitia egalitatii a doua numere complexe (z₁ = z₂ Ű Rez₁ = Rez₂ si Imz₁ = Imz₂) se obtine sistemul

cu solutiile

4. Se da functia f(x) = 1-cosx. Calculati valoarea expresiei

Solutie. Se aplica formulele de reducere si se obtine

5. Sa se determine pentru ce valori reale ale lui m polinomul 2x³ - x² + mx - 2 se divide cu x - 2.

Solutie. Cum

f(2) = 2·2³ - 2² + m·2 - 2 = 10 + 2m, rezultand ecuatia liniara 10 + 2m = 0, se obtine m = -5.

6. Calculati aria multimii marginite de graficele functiilor f(x) = -x² - 4x si g(x) = 4 + x.

Solutie.

Aria figurii, marginite de graficele functiilor f(x) = -x² - 4x si g(x) = x + 4 (a se vedea desenul), se determina utilizand formula:

unde a si b sunt limitele de integrare.

Pentru a determina a si b se rezolva ecuatia f(x) = g(x), adica

-x² - 4x = 4 + x, sau x² + 5x + 4 = 0 de unde, tinand seama ca a < b, se obtine x₁ = a = -4, x₂ = b = -1.

Asadar

7. Fie functia f:DŽR, (D Ě R), Rezolvati ecuatia 3f(x) = 2f ˘(x).

Solutie. Utilizand formula de derivare a functiei compuse se determina f ˘(x):

si ecuatia devine

sau 3(x² - 3x + 1) = 2x - 3, de unde rezulta ecuatia patrata 3x² - 11x + 6 = 0 cu solutiile x₁ = ²/₃ si x₂ = 3.

Se efectuiaza verificarea si ramane x = 3.

8. Rezolvati inecuatia

Solutie. Se utilizeaza afirmatia 3 din inecuatii logaritmice si se obtine totalitatea de sisteme de inecuatii

In adevar, primul sistem al totalitatii, tinand seama ca x > 1, este echivalent cu sistemul

	x > 1,	sau		x > 1,	de unde x Î (1;3).
	x+3 < x(x - 1),			x² - 2x - 3 < 0,

Al doilea sistem al totalitatii nu are solutii deoarece pentru x Î (0;1) (prima restrictie) avem

ceea ce contrazice ultima inecuatie a sistemului.

Asadar, multimea solutiilor inecuatiei este (1;3).

9. Baza unei piramide este un patrat cu latura a. Doua fete laterale sunt perpendiculare pe planul bazei, iar alte doua fete formeaza cu planul bazei unghiul b. Aflati aria suprafetei laterale a piramidei.

Solutie.

Se considera triunghiul dreptunghic SDC (SD ^ DC) si utilizand relatiile metrice intr-un triunghi dreptunghic, se obtine

SD = CD tg ĐDCS = a tg b, si cum

(SD - comuna, AD = DC) rezulta ca

Cum SA ^ AB (SC ^ BC) - rezulta din teorema celor trei perpendiculare,

Similar

Asadar, aria suprafetei laterale a piramidei este