Bacalaureat 2003, Profilul umanist

Ministerul Educatiei al Republicii Moldova
Examenul de bacalaureat la matematica, 16 iunie 2003
Profilul umanist

Timp alocat: 180 minute.

1. Determinati semnul valorii expresiei numerice .

2. Pentru ce valori reale ale lui a punctul M(a; 1) apartine elipsei de ecuatie ?

3. Folosind reprezentarea grafica a functiei f(x) in acelasi plan cartezian de coordonate, reprezentati graficul functiei |f(x)|.

4. Explicati multimea [−; e) Ç Z.

5. Rezolvati sistemul de ecuatii

6. Rombul ABCD are latura AB = 6 cm si m(Ð ABC) =120^o. Daca MA^(ABC) si MA = 3 cm, determinati distanta de la punctul M la dreapta BD.

7. Rezolvati sistemul de ecuatii matriciale .

8. Fie functia f: R \ { −1} ® R, . Determinati valorile parametrului real m, astfel incat functia f sa admita un extrem in punctul x = −2.

9. In triunghiul ABC, AB=6 cm, BC=7 cm, AC=5 cm. Bisectoarea unghiului C intersecteaza latura AB in punctul D. Determinati aria triunghiului ADC.

10. Rezolvati ecuatia .

Solutii

1. Cum si cum rezulta si > 0.
Raspuns: > 0.

2. Punctul M(a; 1) apartine elipsei de ecuatie , daca si numai daca coordonatele lui verifica ecuatia elipsei. Prin urmare, de unde si
Raspuns:

3. Pentru a construi graficul functiei y=|f(x)|, este suficient ca toate portiunile graficului y=f(x), pentru care y ≥ 0 de lasat neschimbate, iar acele portiuni, pentru care y < 0 de reflectat simetric fata de axa OX.

4. Cum − <−1 si e<3, rezulta [−, e) Ç Z = {−1;0;1;2}.
Raspuns: {−1;0;1;2}.

5.
Raspuns: (−1;3).

6.

Fie O − punctul de intersectie al diagonalelor rombului. Cum MA^AO, AO^BD (diagonalele rombului sunt perpendiculare), rezulta, conform teoremei celor trei perpendiculare MO^BD si, prin urmare, distanta de la punctul M la dreapta BD este lungimea segmentului MO.
Cum Ð BAD = 180^o − Ð ABC = 60^o, AB=AD=6 cm, rezulta triunghiul ABD − echilateral si BD=6 cm. Atunci , BO=3 cm (inaltimea AO in Ď ABD este si mediana). Din Ď ABO − dreptunghic in O se determina conform teoremei Pitagora AO:

AO =

iar din Ď MAO, dreptunghic in A, se determina conform teoremei Pitagora MO:

MO =

= 6 (cm).

Raspuns: 6 cm.

7.
Raspuns:

8. Se determina derivata functiei f:

Conditia necesara ca x = −2 sa fie punct de extrem: f '(−2)=0, de unde m=1. Pentru m=1, , f ''(−2) = −2<0, adica x= −2 este punct de maxim.
Raspuns: x = −2 este punct de extrem al functiei f pentru m=1.

9.

Fie CE^AB, CE=h - inaltime in Ď ABC (si in acelasi timp, in Ď ACD).

Utilizand proprietatea bisectoarei

determinam AD:

Notam AD=x, atunci DB=6−x si se obtine ecuatia:

de unde x=

. Asadar, AD=

(cm).
Utilizand formula Heron,

unde p - semiperimetru, a, b, c - laturile triunghiului, se determina aria Ď ABC:

(cm²).

Cum

rezulta

(cm). Prin urmare,

(cm²).
Raspuns:

(cm²).

10. Domeniul valorilor admisibile (concis DVA) se determina din relatiile:
In DVA avem
de unde x=3⁻² Î DVA si x=3¹ Ï DVA.
Raspuns: x=.

Schema de notare Scor maxim
    Nr. 1 – 3 puncte
    Nr. 2 – 4 puncte
    Nr. 3 – 2 puncte
    Nr. 4 – 2 puncte
    Nr. 5 – 4 puncte
    Nr. 6 – 5 puncte
    Nr. 7 – 4 puncte
    Nr. 8 – 5 puncte
    Nr. 9 – 5 puncte
    Nr. 10 – 6 puncte
    total: 40 puncte

Nota
    "10" – 39-40 puncte
    "9" – 36-38 puncte
    "8" – 31-35 puncte
    "7" – 24-30 puncte
    "6" – 18-23 puncte
    "5" – 13-17 puncte
    "4" – 9-12 puncte
    "3" – 5-8 puncte
    "2" – 2-4 puncte
    "1" – 0-1 punct