Bacalaureat 2002, Profilul umanist

Ministerul Invatamantului al Republicii Moldova
Examenul de bacalaureat la matematica, 2002
Profilul umanist

Timp alocat: 180 minute.

1. Calculati log₃5 × log₅4 – log₃12.

2. Determinati coordonatele punctului simetric punctului A(–1,2) in raport cu originea de coordonate.

3. Calculati .

4. Pentru ce valori ale lui n are sens expresia "(5 – n)!" ?

5. Calculati valoarea expresiei 3^2x + 3^–2x, daca 3^x – 3^–x = 4.

6. Determinati numerele reale x si y astfel incat sa avem egalitatea da matrici

7. Se da triunghiul ABC dreptunghic in B. Din varful unghiului drept este dusa mediana BK. Aflati aria triunghiului BCK, daca AB = 4cm si m(ÐA) = 30^o.

8. Determinati primitiva functiei f : R ® R, f (x) = 4x³ + 2x – 3x² – 1, a carei grafic trece prin punctul A(1,–1).

9. O piesa de fonta in forma trunchiului de con cu razele bazelor de 4cm si 22cm a fost topita si turnata intr-un cilindru echivalent de aceeasi inaltime. Determinati raza bazei cilindrului.

10. Rezolvati ecuatia

Solutii

1. Se utilizeaza proprietatile logaritmului si se obtine:

2. Fie punctul B, simetric punctului A(–1,2) in raport cu originea de coordonate, are coordonatele (x₀, y₀). Atunci, cum O (0,0) este mijlocul segmentului AB, se obtine

de unde x₀ = 1; y₀ = –2.

4. Expresia (5 – n)! are sens daca si numai daca 5 – n Î N, adica de unde n ≤ 5, n Î Z.

5. Cum 3^x – 3^–x = 4, implica 3^2x – 2 × 3^x × 3^–x + 3^–2x = 16, rezulta 3^2x + 3^–2x = 16 + 2 × 3^x+(–x) sau 3^2x + 3^–2x = 16 + 2 × 3⁰ = 16 + 2 = 18.
Asadar, 3^2x + 3^–2x = 18.

6. Se tine seama de definitia egalitatii a doua matrici si se obtine sistemul:

de unde

7.

Fie Ď ABC – dreptunghic in B, AK=KC, Ð BAC = 30^o, AB = 4cm. Atunci BC = AB tg 30^o, . Se calculeaza aria Ď ABC:

Cum mediana BK imparte triunghiul ABC in doua triunghiuri de arie egala, rezulta

8. Fie F(x) o primitiva functiei f (x). Atunci

Cum F(1) = –1, rezulta 1 + 1 – 1 – 1 + C = –1 sau C = –1. Prin urmare, F(x) = x⁴ + x² – x³ – x – 1.

9. Se afla volumul trunchiului de con

unde h – inaltimea conului.
Volumul cilindrului de aceeasi inaltime si raza R:

V₂ = pR²h.

Cum V₁ = V₂, rezulta 196ph = pR²h, de unde R² = 196 si R = 14(cm).

10. DVA: x > 0. Se utilizeaza proprietatile functiei logaritmice si se obtine

   Û    [log_0,5(4x)]² + log₂x² – log₂8 = 8    Û

Û    [– log₂(4x)]² + 2 log₂x – 3 – 8 = 0    Û    (log₂4 + log₂x)² + 2 log₂x – 11 = 0    Û

Û    4 + 4 log₂x + log₂²x + 2 log₂x – 11 = 0    Û    log₂²x + 6 log₂x – 7 = 0    Û

Û       Û

Ambele solutii verifica DVA.

Schema de notare Scor maxim
    Nr. 1 – 4 puncte
    Nr. 2 – 2 puncte
    Nr. 3 – 3 puncte
    Nr. 4 – 4 puncte
    Nr. 5 – 4 puncte
    Nr. 6 – 5 puncte
    Nr. 7 – 5 puncte
    Nr. 8 – 5 puncte
    Nr. 9 – 6 puncte
    Nr. 10 – 8 puncte
    total: 46 puncte

Nota
    "10" – 45-46 puncte
    "9" – 41-44 puncte
    "8" – 34-40 puncte
    "7" – 27-33 puncte
    "6" – 21-26 puncte
    "5" – 15-20 puncte
    "4" – 10-14 puncte
    "3" – 6-9 puncte
    "2" – 2-5 puncte
    "1" – 1 punct