Bacalaureat 2000, Profilul umanist

Timp alocat: 180 minute.

1. Calculati valoarea expresiei numerice:

(7 puncte)

2. Determinati domeniul de valori ale functiei f(x) = - x² + 5x - 3. (7 puncte)

3. Determinati o ecuatie de gradul al doilea cu coeficienti reali, daca se stie ca una din radacini este 1 + i. (7 puncte)

4. In triunghiul ABC, punctul M Î (BD), (BD) este mediana. Aratati ca aria triunghiului ABM este egala cu aria triunghiului CMD. (10 puncte)

5. Rezolvati sistemul de ecuatii:

	4x + y + z = 1,
	x + 4y + z = 2,
	x + y + 4z = 3.

(12 puncte)

6. Scrieti ecuatia tangentei la graficul functiei f : R\{1} ® R, in punctul de intersectie a graficului cu axa ordonatelor. (13 puncte)

7. Rezolvati inecuatia . (14 puncte)

8. Din mijlocul inaltimii unei piramide patrulatere regulate este coborata o perpendiculara, egala cu a, pe muchia laterala a piramidei. Aflati volumul piramidei, daca se stie ca unghiul format de perpendiculara si inaltimea piramidei este a. (15 puncte)

9. Pentru ce valori reale ale lui a, ecuatia are radacina mai mare ca 2. (15 puncte)

Solutii

1. Se utilizeaza proprietatile functiei exponentiale si se obtine

2. Se separa un patrat perfect

Cum domeniul de valori al functiei date este .

Nota: Domeniul de valori a unei functii generate de un trinom patrat poate fi determinat stabilind valoarea functiei in varful parabolei respective, si tinand seama de semnul coeficientului superior.

3. Cum numarul complex z = 1 + i este radacina a ecuatiei

x² + px + q = 0, {p,q} Ì R

(1)

conjugatul lui, z = 1 - i la fel este radacina a ecuatiei (1). Utilizand teorema lui Viette se obtine

-p = (1 + i) + 1 - i = 2,

q = (1 + i)(1 - i) = 2,

si ecuatia devine x² - 2x + 2 = 0.

Fie BK - inaltimea in DABC, BK^AC. Atunci (AD = DC)

S_DABD = S_DBDC =

AD·BK

(2)

Similar,

S_DAMD = S_DCMD =

AD·MN

(3)

(MN - inaltimea in DAMC, MN^AC).

Cum

S_DABM = S_DABD - S_DAMD,

S_DBMC = S_DBDC - S_DMDC,

tinand seama de relatiile (2), (3) se obtine S_DABM = S_DCMB.

5. Se utilizeaza regula Cramer de rezolvare a sistemelor de ecuatii liniare.

D =

4	1	1
1	4	1
1	1	4

= 54 ≠ 0,

prin urmare, sistemul are solutie unica.

D_x =

1	1	1
2	4	1
3	1	4

= 0,

D_y =

4	1	1
1	2	1
1	3	4

= 18,

D_z =

4	1	1
1	4	2
1	1	3

= 36.

Conform regulei Cramer,

Nota. Sistemul poate fi rezolvat si prin metoda Gauss.

6. Se determina punctul de intersectie a graficului functiei cu axa ordonatelor:

f(0) =

= -2.

Ecuatia tangentei la graficul functiei f(x) in punctul x₀ se determina prin formula

y = f(x₀) + f ¢(x₀)(x - x₀).

(4)

Cum

rezulta

7.
de unde, utilizand metoda intervalelor, se obtine

x Î [-1,0)È[2,+¥).

8. Fie SABCD - piramida patrulatera regulata (ABCD - patrat), h = SO - inaltimea piramidei, piciorul careia se afla in punctul O - centul patratului ABCD. SK = KO si KN^SB, ÐSKN = a, KN = a.