| Pagina principala | Ghidul utilizatorului | Rubrica candidatului | Curriculumurile scolare |
| Matematica competitiva | Matematica distractiva| Formule, dictionare | Avizuri |
|Pagini din istorie | Examene, teste | Bibliografie | Link-uri | Site map |

I. In itemii 1-4 scrie pe foaia de test in spatiul indicat numai rezultatele. Poti folosi Maculatorul pentru efectuari de calcule.

1. Daca x^{− 3} = 64, atunci valoarea numerica a expresiei este egala cu .

2. Functia definita prin formula f(x) = sin(x + π) este crescatoare in cadranele .

3. Tangenta la curba de ecuatie y = xe^−x este orizontala cand x = .

4. Multimea punctelor z = a + bi din planul complex pentru care |z − i| = 1 este cercul de ecuatie: .

II. In itemii 5-11 raspunde la intrebari, scriind argumentarile si raspunsurile in spatiile rezervate.

5. Pe o strada dintr-un oras, la recensamantul numarul de copii din fiecare familie, s-au obtinut urmatoarele rezultate:

Nr. copii (xi)	0	1	2	3	4	5
Nr. familii (ni)	6	16	16	6	4	2
Frecvente relative (fi)
Frecvente procentuale

a) Completeaza casetele libere din tabel;
b) Calculeaza numarul mediu de copii dintr-o familie (aproximare prin rotunjire).

6. In sistemul cartezian de coordonate este reprezentat graficul functiei f: R → R, f(x) = cx² + dx + e. Utilizand desenul determina semnul fiecarui dintre coeficientii c, d, e. Argumenteaza raspunsul.

7. Determina pentru care valori pozitive ale lui x termenul al patrulea in dezvoltarea binomului este egal cu 280.

8. Determina multimea solutiilor intregi ale inecuatiei   .

9. Fie date matricile si . Determina matricea C, astfel incat 2A⁻¹ + C = B.

10. In desenul alaturat bisectoarea AD imparte cateta BC a triunghiului dreptunghic ABC in segmentele de lungime 5 cm si 3 cm. Utilizand datele problemei si desenul determina lungimea catetei AC.

11. Un fermier are 160 m de gard pentru a ingradi un lot din patru parti. Pentru a face suprafata lotului cat e posibil de mare, el poate sa utilizeze si un perete, sau o parte din peretele hambarului (vezi desenul). Determina aria maximala posibila a lotului obtinut, daca lungimea hambarului este de 100 m.

III. Rezolva problemele 12-14 si scrie pe foaia de test rezolvarile complete.

12. Un rezervor de forma cilindrica cu diametrul de 60 cm si lungimea de 50 cm (vezi desenul) a fost umplut partial cu apa. In desen segmental hasurat arata sectiunea transversala a apei. Inaltimea apei este de 15 cm. Determina cati cm³ de apa e necesar de adaugat pentru a umplea pe jumatate rezervorul. (Volumul apei care se afla initial in rezervor este egal cu produsul dintre aria segmentului de cerc si lungimea rezervorului).

13. In sistemul cartezian de coordonate este reprezentat o parte a graficului functiei f(x), ce trece prin punctele (2; 3,5) si (5; 1,4). Derivata functiei date intr-un punct oarecare (x; y) este . Dreapta x = p imparte domeniul hasurat in doua figure congruente A si B. Utilizand datele problemei si desenul determina valoarea lui p.

14. Determina pentru care valori reale ale lui p din punctul B(p; −1) pot fi trasate la graficul functiei f: R → R, f(x) = x³ − 3x² + 3 trei tangente diferite.

1. .

2. Din reprezentarea grafica a functiei f(x) = sin (x + π) se obtine, ca functia f este crescatoare in cadranele II si III.

3. Se utilizeaza interpretarea geometrica a teoremei Fermat (tangenta la graficul functiei f in punctele de extrem este paralela cu axa OX) si se obtine:

4. |z − i| = 1   ⇔   |a + bi − i| = 1   ⇔     ⇔   a² + (b − 1)² = 1.
Rezulta multimea punctelor din planul complex, ce verifica relatia data este cercul de ecuatie x² + (y − 1)² = 1.

5. a) Aflam volumul seriei statistice n = = 6 + 16 + 16 + 6 + 4 + 2 = 50 si frecventele relative:
Frecventele procentuale (definitia lipseste din manualele existente) sunt egale respectiv cu   ω₂ = ω₃ = 32%;   ω₄ = 12%;   ω₅ = 8%;   ω₆ = 10%.
b) Numarul mediu de copii dintr-o familie:

6. Cum f(0) = e, rezulta e > 0. Ramurile parabolei sunt indreptate in jos, prin urmare c < 0. Varful parabolei se afla in punctul de abscisa , de unde d < 0. Asadar, c < 0, d < 0, e > 0.
Raspuns: c < 0, d < 0, e > 0.

7. Utilizand formula termenului de rang k   T_k+1 = C_n^k a^n−k b^k se obtine

8.
Cum x∈Z, ramane x∈{8; 9}.
Raspuns: x∈{8; 9}.

9. 2A⁻¹ + C = B ⇔ C = B − 2A⁻¹. Se determina matricea inversa matricei A:   (A⁻¹ exista) si   . Asadar,

10. Se utilizeaza proprietatea bisectoarei , si se obtine . Din teorema Pitagora rezulta

11. Fie dimensiunile lotului a si b. Atunci lungimea gardului ce ingradeste lotul va fi l = 2a + b. Cum a > 0, b > 0, utilizand inegalitatea dintre media aritmetica si cea geometrica (egalitatea se obtine pentru 2a = b) se obtine

  sau   .

12. Fie R - raza bazei cilindrului, (cm).
Consideram ΔAOB. Cum OP = OQ − QP = 30 − 15 = 15 (cm), AO = 30 cm, rezulta (din ΔAPO, dreptunghic in P) ca ∠OAP = 30^o si, prin urmare,

V₂ = A⋅H = (300π − 225) ⋅50 = (15 000π − 11 250) cm³

V = = 22500π − (15000π − 11250) = (7500π + 11250) cm³.

13. Nota: figurile A si B nu sunt congruente, ci echivalente, adica au arii egale, in conditiile enuntate problema este lipsita de sens.
Determinam functia f(x):

− + p + 3 = − p + 3,   sau   − p = 0,

14. Utilizand ecuatia tangentei la graficul functiei f(x) in punctul x₀

| Pagina principala | Ghidul utilizatorului | Rubrica candidatului | Curriculumurile scolare |
| Matematica competitiva | Matematica distractiva| Formule, dictionare | Avizuri |
|Pagini din istorie | Examene, teste | Bibliografie | Link-uri | Site map |

---