Bacalaureat 2005, Profilul real

Ministerul Educatiei al Republicii Moldova
Examenul de bacalaureat la matematica, iunie 2005
Profilul real

Timp alocat: 180 minute.

I. In itemii 1-4 scrieti raspunsurile in spatiile rezervate.

1. Valoarea produsului numerelor si este .

2. Valoarea expresiei este un numar real pentru x = .

3. Daca sinx + cosx = a, atunci sin2x se exprima prin a astfel: sin2x = .

4. In sistemul de axe ortogonale alaturat sunt reprezentate graficele functiilor f si g derivabile si continue pe R. Folosind desenul, scrieti in caseta unul din semnele <, >, =, astfel incat sa obtineti o propozitie adevarata: .

II. In itemii 5-10 scrieti in spatiile rezervate raspunsurile si argumentarile necesare.

5. Venitul saptamanal al omului de afaceri Moraru este variabil. In diagrama este indicat numarul de saptamani in care el a castigat suma respectiva. Folosind diagrama, determinati care este venitul mediu saptamanal al domnului Moraru.

6. Scrieti o ecuatie de gradul II, forma redusa, cu coeficienti reali, stiind ca una din solutiile ei este . Argumentati raspunsul.

7. Determinati valorile reale ale lui x pentru care .

8. Termenul al treilea in dezvoltarea la putere a binomului (1 − i)ⁿ este egal cu −28. Determinati A_n³.

9. Determinati valorile reale ale lui x pentru care .

10. In desen, laturile triunghiului OAB au dreptele suport y = x, y = 0 si 2x + y = 12. Determinati aria maxima pe care o poate avea dreptunghiul inscris in acest triunghi si care are o latura situata pe axa Ox.

III. Rezolvati problemele 11-14 si scrieti rezolvarile complete.

11. O bila din metal cu raza de 8 cm a fost retopita sub forma de con circular drept. Stiind ca aria suprafetei laterale a conului obtinut este de trei ori mai mare decat aria bazei lui, determinati inaltimea conului.

12. Determinati valorile parametrului real n pentru care sistemul este incompatibil.

13. Determinati valorile parametrilor reali a si b pentru care graficul functiei f : M → R (M ⊂ R), , are asimptota verticala x = 1 si admite un extrem local in punctul de abscisa x₀ = 3.

14. In sistemul de axe ortogonale xOy, dreapta verticala l imparte triunghiul ABC, cu varfurile B(0, 0), A(1, 1), C(9, 1), in doua figuri de arii egale. Folosind desenul, scrieti ecuatia dreptei l.

Solutii

1. .

2. Daca x ∈ R, atunci, cum din domeniul de definitie al expresiei avem −(x + 1)² ≥ 0 sau (x + 1)² ≤ 0, de unde x = −1.
Daca x ∈ C, atunci avem o infinitate de solutii: de exemplu, orice numar complex de forma −1 + α i, α ∈ R, transforma expresia intr-un numar real.
Observatie! Evident, formularea imprecisa a itemului este vina autorilor testului. Asa probe conduc la pierderi considerabile de timp pretios (timp alocat 180 minute), ceea ce in final micsoreaza nota liceistului.

3. Cum sinx + cosx = a implica sin²x + cos²x + 2sinxcosx = a² sau 1 + sin2x = a², se obtine sin2x = a² &minus 1.

4. Cum pentru orice x ∈ [0; 4], f(x) < g(x) din proprietatile integralei Riemann se obtine

5. Utilizand formula pentru media aritmetica ponderata, se obtine:

= 20 ⋅ 193 = 3860 (lei).

6. Cum una din radacinile ecuatiei cu coeficienti reali este , atunci la fel va fi radacina a ecuatiei date (a se vedea tema "Radacinile polinoamelor cu coeficienti reali"). Conform teoremei inverse Viete, ecuatia data va fi:

sau x² − 4x + 9 = 0.

8. Utilizand formula pentru termenul de rang k se obtine:

Cum T₃ = −28, rezulta

Atunci .

10. Avem:
Atunci si aria dreptunghiului MNCP:

Studiem functia S la maxim:

de unde 6 − 3x = 0 si x = 2. Cum S ''(2) = −3 < 0, rezulta x = 2 punct de maxim. Atunci

11. Volumul bilei (cm³).
Din relatia S_lat = 3S_baz se obtine

πRG = 3πR², G = 3R, unde R - raza bazei conului, G - generatoarea lui.
Atunci

iar volumul conului

Din V_bila = V_con se obtine

de unde

Atunci

12. Conform regulei Cramer, sistemul este incompatibil, daca determinantul principal Δ = 0 si cel putin unul din determinantii auxiliari Δ_x, Δ_y, Δ_z este diferit de zero.
Δ = = n³ + 1, Δ = 0 ⇒ n³ + 1 = 0, n = −1.
Cum Δ_x = = n² − n + 1 ≠ 0 pentru orice n, deoarece D = 1 − 4 < 0. Deci, daca n = −1 sistemul este incompatibil.

13. Cum x = 1 asimptota verticala, rezulta 1 + a + b = 0, adica a + b = −1.
Cum f '(3) = 0 se obtine

sau 9 + 3a + b − 4(6+a) = 0, adica −a + b = 15.
Din

rezulta a = −8, b = 7.

14. Determinam aria ΔABC:

Ecuatia dreptei BC:

Fie M(l, 1). Atunci cum N ∈ [BC],

.
Aria

si, in plus,

Prin urmare,

, de unde (l − 9)² = 36 ⇔ |l − 9| = 6 ⇔ l − 9=

6 ⇔

. Cum 0 < l < 9, ramane l = 3.
Raspuns: x = 3.

Schema de notare Scor maxim
    Nr. 1 – 2 puncte
    Nr. 2 – 2 puncte
    Nr. 3 – 2 puncte
    Nr. 4 – 2 puncte
    Nr. 5 – 3 puncte
    Nr. 6 – 5 puncte
    Nr. 7 – 5 puncte
    Nr. 8 – 5 puncte
    Nr. 9 – 6 puncte
    Nr. 10 – 7 puncte
    Nr. 11 – 6 puncte
    Nr. 12 – 6 puncte
    Nr. 13 – 6 puncte
    Nr. 14 – 9 puncte
    total: 66 puncte