Ministerul Educatiei al Republicii Moldova
Examenul de bacalaureat la matematica, 2 iunie 2003 Profilul real
Timp alocat: 180 minute.
1. Scrieti in forma algebrica numarul complex z, a carui reprezentare geometrica este punctul B.
2. Pe desen este reprezentat graficul functiei f: [−6; 4] ® R. Pentru ce valori ale lui a
ecuatia f(x) = a admite 3 radacini reale distincte? 3. Scrieti ecuatia cercului cu diametrul AB, daca A(3;2), B(−1; 6). 4. Se arunca o moneda de 3 ori. Care este probabilitatea ca pajura sa cada de 2 ori? 5. Termenul al noualea al dezvoltarii binomului nu contine x. Calculati An2. 6. Calculati . 7. Rezolvati inecuatia (sin2)x2-x ≥ sin2 2. 8. Aria sectiunii axiale a unui cilindru este Q. Determinati aria suprafetei laterale a cilindrului. 9. Determinati radacinile polinomului P(X) = X 3 + 2aX 2 −5X − a − 9, aÎR, daca se stie ca restul impartirii lui P(X) la binomul (X − 2) este egal cu restul impartirii lui P(X) la binomul X+1. 10. Determinati aria triunghiului format de bisectoarele unghiurilor de coordonate si tangenta la graficul functiei f:[; ¥) ® R, f(x)= in punctul M(3;2). 11. Rezolvati ecuatia log2 (x2 − x + b) = log2 (−3x + b) pentru orice parametrul real b. 12. In triunghiul ABC mediana AM (MÎ(BC)) este
perpendiculara pe mediana BN (NÎ(AC)). Deternimati aria
triunghiului, daca se stie ca AM = a, BN = b.
1. Cum reprezentarea geometrica a numarului complex
z = a + bi este punctul B(a;b) si cum punctul B are coordonate
(−2;−3), rezulta z = −2 −3i.
2. Ecuatia f(x) = a, aÎR admite trei
radacini reale distincte pentru aÎ(−2; 2), deoarece numai
pentru aceste valori ale lui a dreapta y = a intersecteaza
graficul functiei f(x) in trei puncte distincte.
3. Cum segmentul AB este diametru, coordonatele mijlocului acestui segment sunt coordonatele centrului cercului. Utilizand formulele pentru determinarea coordonatelor (x0; y0) mijlocului segmentului cu extremitatile A(x1; y1) si B(x2; y2) Aplicand formula distantei dintre doua puncte date A(x1; y1) si B(x2; y2),
(x − x0)2 + (y − y0)2 = R2.
Substituind x0 = 1, y0 = 4 si R = ,
se obtine (x − 1)2 + (y − 4)2 = 8.
Raspuns: (x − 1)2 + (y − 4)2 = 8. 4. Se aplica schema binomiala (Bernoulli):
pn(k) = Cnk pk qn − k,
unde n numarul de experiente independente;k numarul de realizari a evenimentului A (0 ≤ k ≤ n); p probabilitatea realizarii evenimentului A intr-o experienta aparte (aceeasi la fiecare experienta); q=1 − p; pn(k) probabilitatea realizarii evenimentului A de k ori in n experiente independente. Probabilitatea aparitiei pajurei p in fiecare din cele trei (n=3) aruncari (evenimente independente) este aceeasi si egala cu 1/2. Prin urmare, 5. Utilizand formula pentru al (k+1)-lea termen al
dezvoltarii binomului la putere Cum termenul al noualea nu contine x, rezulta , de unde n=20. Prin urmare, 6. Se observa ca si, utilizand formula Newton-Leibnitz, se obtine: 7. Cum 0 < sin2 < 1, functia (sin2)x este o
functie descrescatoare. Prin urmare, 8. Fie h inaltimea si d diametrul bazei cilindrului. Cum sectiunea axiala a unui cilindru este un
dreptunghi cu laturile h si d avem Q=dh. Cum aria
suprafetei laterale a cilindrului Slat. = pdh si dh=Q,
se obtine Slat. = pQ.
9. Utilizand teorema lui Bezout, se obtine relatia P(2) = P(−1), adica
8 + 8a − 10 − a − 9 = −1 + 2a + 5 − a − 9,
de unde a=1.
Prin urmare,
P(X) = X 3 + 2X 2 − 5X − 10.
Radacinile polinomului P(X) se determina rezolvand ecuatia P(X) = 0.X 3 + 2X 2 − 5X − 10 = 0 Û (X 3−5X) + (2X 2−10) = 0 Û X(X 2−5) + 2(X 2−5) = 0 Û Û (X 2−5)(X+2) = 0 Û (X−5)(X+5)(X+2) = 0, de unde X1 = , X2 = −, X3 = −2. Raspuns: radacinile polinomului sunt P(X) sunt −, −2, . 10. Ecuatia tangentei la graficul functiei f(x) in punctul (x0; f(x0)) este
y = f '(x0)(x−x0) + f(x0).
In cazul dat
si ecuatia tangentei la graficul functiei f in punctul M(3;2) este
sau
Determinam coordonatele varfurilor triunghiului format de
bisectoarele unghiurilor de coordonate (y=x si y=−x) si
tangenta la graficul functiei f, rezolvand sistemele de ecuatii
liniare:
11. log2(x2−x+b) = log2(−3x+b)
Û
Û
12.
SĎABC = 2 ·
=
(un. p.)
Raspuns: S = (un. p.)
Nr. 1 – 3 puncte Nr. 2 – 3 puncte Nr. 3 – 3 puncte Nr. 4 – 4 puncte Nr. 5 – 5 puncte Nr. 6 – 5 puncte Nr. 7 – 5 puncte Nr. 8 – 4 puncte Nr. 9 – 7 puncte Nr. 10 – 8 puncte Nr. 11 – 8 puncte Nr. 12 – 6 puncte total: 61 puncte Nota "10" – 60-61 puncte "9" – 55-59 puncte "8" – 48-54 puncte "7" – 39-47 puncte "6" – 30-38 puncte "5" – 21-29 puncte "4" – 13-20 puncte "3" – 6-12 puncte "2" – 2-5 puncte "1" – 0-1 puncte |