| Pagina principala | Ghidul utilizatorului | Rubrica candidatului | Curriculumurile scolare |
| Matematica competitiva | Matematica distractiva| Formule, dictionare | Avizuri |
|Pagini din istorie | Examene, teste | Bibliografie | Link-uri | Site map |


Ministerul Educatiei al Republicii Moldova
Examenul de bacalaureat la matematica, 2 iunie 2003
Profilul real

Timp alocat: 180 minute.

1. Scrieti in forma algebrica numarul complex z, a carui reprezentare geometrica este punctul B.

2. Pe desen este reprezentat graficul functiei f: [−6; 4] ® R. Pentru ce valori ale lui a ecuatia f(x) = a admite 3 radacini reale distincte?

3. Scrieti ecuatia cercului cu diametrul AB, daca A(3;2), B(−1; 6).

4. Se arunca o moneda de 3 ori. Care este probabilitatea ca pajura sa cada de 2 ori?

5. Termenul al noualea al dezvoltarii binomului nu contine x. Calculati An2.

6. Calculati .

7. Rezolvati inecuatia (sin2)x2-x ≥ sin2 2.

8. Aria sectiunii axiale a unui cilindru este Q. Determinati aria suprafetei laterale a cilindrului.

9. Determinati radacinile polinomului P(X) = X 3 + 2aX 2 −5Xa − 9,   aÎR, daca se stie ca restul impartirii lui P(X) la binomul (X − 2) este egal cu restul impartirii lui P(X) la binomul X+1.

10. Determinati aria triunghiului format de bisectoarele unghiurilor de coordonate si tangenta la graficul functiei f:[; ¥) ® R, f(x)= in punctul M(3;2).

11. Rezolvati ecuatia log2 (x2x + b) = log2 (−3x + b) pentru orice parametrul real b.

12. In triunghiul ABC mediana AM (MÎ(BC)) este perpendiculara pe mediana BN (NÎ(AC)). Deternimati aria triunghiului, daca se stie ca AM = a, BN = b.

Solutii

1. Cum reprezentarea geometrica a numarului complex z = a + bi este punctul B(a;b) si cum punctul B are coordonate (−2;−3), rezulta z = −2 −3i.
Raspuns: z = −2 −3i.

2. Ecuatia f(x) = a,   aÎR admite trei radacini reale distincte pentru aÎ(−2; 2), deoarece numai pentru aceste valori ale lui a dreapta y = a intersecteaza graficul functiei f(x) in trei puncte distincte.
Raspuns: aÎ (−2;2).

3. Cum segmentul AB este diametru, coordonatele mijlocului acestui segment sunt coordonatele centrului cercului. Utilizand formulele pentru determinarea coordonatelor (x0; y0) mijlocului segmentului cu extremitatile A(x1; y1) si B(x2; y2)

se obtine x0 = 1 si y0 = 4.
Aplicand formula distantei dintre doua puncte date A(x1; y1) si B(x2; y2),
se obtine lungimea diametrului AB:
Cum raza cercului R este egala cu jumatate din diametru, rezulta R = . Ecuatia cercului de raza R cu centrul in punctul O(x0;y0) este
(xx0)2 + (yy0)2 = R2.
Substituind x0 = 1, y0 = 4   si   R = , se obtine (x − 1)2 + (y − 4)2 = 8.
Raspuns: (x − 1)2 + (y − 4)2 = 8.

4. Se aplica schema binomiala (Bernoulli):

pn(k) = Cnk pk qn − k,
unde n – numarul de experiente independente;
  k – numarul de realizari a evenimentului A (0 ≤ kn);
  p – probabilitatea realizarii evenimentului A intr-o experienta aparte (aceeasi la fiecare experienta);
  q=1 − p;
  pn(k) – probabilitatea realizarii evenimentului A de k ori in n experiente independente.
Probabilitatea aparitiei pajurei p in fiecare din cele trei (n=3) aruncari (evenimente independente) este aceeasi si egala cu 1/2. Prin urmare,
Raspuns: p3(2) = 3/8.

5. Utilizand formula pentru al (k+1)-lea termen al dezvoltarii binomului la putere
Tk+1 = Cnkan−k bk se obtine:


Cum termenul al noualea nu contine x, rezulta , de unde n=20. Prin urmare,
Raspuns: A202 = 380.

6. Se observa ca     si, utilizand formula Newton-Leibnitz, se obtine:


Raspuns:

7. Cum 0 < sin2 < 1, functia (sin2)x este o functie descrescatoare. Prin urmare,
(sin2)x2x ≥ sin2 2   Û   x2x ≤ 2   Û   x2x−2 ≤ 0   Û   (x+1)(x−2) ≤ 0   Û   −1 ≤ x ≤ 2.
Raspuns: x Î [−1;2].

8. Fie h – inaltimea si d – diametrul bazei cilindrului. Cum sectiunea axiala a unui cilindru este un dreptunghi cu laturile h si d avem Q=dh. Cum aria suprafetei laterale a cilindrului Slat. = pdh si dh=Q, se obtine Slat. = pQ.
Raspuns: Slat. = pQ.

9. Utilizand teorema lui Bezout, se obtine relatia P(2) = P(−1), adica

8 + 8a − 10 − a − 9 = −1 + 2a + 5 − a − 9,
de unde a=1. Prin urmare, P(X) = X 3 + 2X 2 − 5X − 10. Radacinile polinomului P(X) se determina rezolvand ecuatia P(X) = 0.
X 3 + 2X 2 − 5X − 10 = 0   Û   (X 3−5X) + (2X 2−10) = 0   Û   X(X 2−5) + 2(X 2−5) = 0   Û
Û   (X 2−5)(X+2) = 0   Û   (X−5)(X+5)(X+2) = 0,
de unde   X1 = ,   X2 = −,   X3 = −2.
Raspuns: radacinile polinomului sunt P(X) sunt   −,   −2,   .

10. Ecuatia tangentei la graficul functiei f(x) in punctul (x0; f(x0)) este

y = f '(x0)(xx0) + f(x0).
In cazul dat     si ecuatia tangentei la graficul functiei   f   in punctul M(3;2) este
  sau  
Determinam coordonatele varfurilor triunghiului format de bisectoarele unghiurilor de coordonate (y=x si y=−x) si tangenta la graficul functiei f, rezolvand sistemele de ecuatii liniare:





Aplicand formula pentru aria triunghiului cu varfurile date A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3):
se obtine
Raspuns: S = 5 (un.p.).

11. log2(x2x+b) = log2(−3x+b)   Û     Û  

Raspuns:

12.

Fie {AM}Ç{BN}={O}. Cum BN^AM si AO= a (medianele triunghiului in punctul de intersectie se impart in raportul 2:1 socotind de la varf), SĎABN = BN·AO = b· a = .
Cum SĎ ABC = 2SĎABN (proprietatea medianei), rezulta

SĎABC = 2 · = (un. p.)
Raspuns: S = (un. p.)

Schema de notare
Scor maxim
    Nr. 1 – 3 puncte
    Nr. 2 – 3 puncte
    Nr. 3 – 3 puncte
    Nr. 4 – 4 puncte
    Nr. 5 – 5 puncte
    Nr. 6 – 5 puncte
    Nr. 7 – 5 puncte
    Nr. 8 – 4 puncte
    Nr. 9 – 7 puncte
    Nr. 10 – 8 puncte
    Nr. 11 – 8 puncte
    Nr. 12 – 6 puncte
    total: 61 puncte

Nota
    "10" – 60-61 puncte
    "9" – 55-59 puncte
    "8" – 48-54 puncte
    "7" – 39-47 puncte
    "6" – 30-38 puncte
    "5" – 21-29 puncte
    "4" – 13-20 puncte
    "3" – 6-12 puncte
    "2" – 2-5 puncte
    "1" – 0-1 puncte




| Pagina principala | Ghidul utilizatorului | Rubrica candidatului | Curriculumurile scolare |
| Matematica competitiva | Matematica distractiva| Formule, dictionare | Avizuri |
|Pagini din istorie | Examene, teste | Bibliografie | Link-uri | Site map |