Examenul de bacalaureat la matematica, sesiunea iunie, 1999
Profilurile: chimie-biologie, chimie-fizica
Varianta II
1. Sa se determine carei multimi de numere apartine valoarea expresiei numerice
Solutie. Se rationalizeaza numitorii si se obtine
Raspuns: Multimii numerelor naturale.
Nota: Se tine seama ca N Ì
Z Ì
Q Ì
R Ì
C...
2. Dati exemplu de o ecuatie de gradul doi care admite radacini reale de semne diferite.
Solutie. Fie x1 = 1, x2 = -2. Se utilizeaza teorema reciproca a lui Viette, si se obtine
3. Sa se rezolva ecuatia 
.
Solutie.
|
|
 |
 = 0, |
Û |
|
x = -1, | Û |
|
||||
| x2-4 = 0, | x = 2, x = -2, | |||||||||||
| x ³ -1, | x ³ -1, |
4. Sa se determine p,q Î R astfel incat polinomul 3x4-4x3+px2+q sa se divida cu (x-1)2.
Solutie. Cum x=1 este radacina de multiplicitatea doi a polinomului p(x)=3x4-4x3+px2+q rezulta ca p(x0)=0 si p'(x0)=0. De aici se obtine sistemul
|
p(x0)=0, | sau | |
p+q-1=0, | Þ | |
q=1, |
| p'(x0)=0, | 2p=0, | p=0. |
5. Fie functiile 
,
g(x) = xe-x.
Demonstrati ca f ¢(2)
este radacina a ecuatiei g¢(x) = 0.
Solutie. Se determina f ¢(x), f ¢(2) si g ¢(x):
|
|
| g¢(x) = (xe-x)¢ = x¢·e-x+x·(e-x)¢ = e-x+xe-x·(-1) = e-x(1-x). |
Ecuatia g¢(x) = 0
are unica solutie x = 1, care coincide cu
f ¢(2).
6. Fie ABC un triunghi oarecare cu inaltimea AA¢ si mediana AM. Daca AA¢ = 12cm, AM = 13cm, BC = 30cm, sa se calculeze lungimile laturilor AB si AC a triunghiului.
Solutie. Se considera triunghiul dreptunghic AA¢M (AA¢^BC) si utilizand teorema lui Pitagora se determina A¢M:
.
BC = 15(cm) si
BA¢ =
BM-A¢M = 10(cm);
A¢C =
A¢M+MC = 20(cm).
Din triunghiul AA¢B (dreptunghic) se determina AB:
.
Din triunghiul AA¢C (dreptunghic) se determina AC:
.
7. Pentru ce valori ale parametrului real a, dreapta y = -10x+a este tangenta la graficul functiei f(x) = 3x2-4x-2.
8. Determinati aria multimii marginite de graficul functiei f(x) = 2x-2 si graficul primitivei functiei F(x), daca F(0) = 1.
Solutie. Se determina primitiva functiei f(x) = 2x-2:
(2x-2)dx =
x2-2x+C.
Se determina limitele de integrare rezolvand ecuatia f(x) = F(x) sau
(un.arie).
Nota: Problema data nu e formulata corect. Formularea corecta:
Determinati aria multimii marginite de graficul functiei
f(x) = 2x-2 si
graficul functiei F(x), unde F(x)
este primitiva functiei f(x) si
F(0) = 1.
9. Rezolvati inecuatia log|2-x|(x2-x-2) ³ log|2-x|(x+6).
Solutie. Inecuatia este echivalenta cu totalitatea
|
|
|
|2-x| > 1, | Û | |
| x2-x-2 ³ x+6, | |||||
| x+6 > 0, | |||||
|
|
0 < |2-x| < 1, | ||||
| x2-x-2 < x+6, | |||||
| x2-x-2 > 0, |
Rezolvarea primului sistem:
|
Û | |
|
x < 1, | Û x Î (-6;-2]È[4;+¥). | ||||||||
| x > 3, | |||||||||||||
|
x ³ 4, | ||||||||||||
| x £ -2, | |||||||||||||
| x > -6, |
Rezolvarea ultimului sistem al totalitatii
|
Û | |
1 < x < 3, | Û x Î (2;3). | ||||||
| x ¹ 2, | ||||||||||
| -2 £ x £ 4, | ||||||||||
|
x < -1, | |||||||||
| x > 2, |
10. Aria bazei unui con circular drept este 9p(cm2), iar aria suprafetei totale este 24p(cm2). Aflati volumul conului circular drept.
Solutie. Fie r = OB raza bazei conului, l = SB-generatoarea lui si h = SO-inaltimea.
Din ipoteza:
|
pr2 = 9p, |
| pr2+prl = 24p, |
Asadar
