Bacalaureat 1999, Profilul chimie-biologie, varianta I

1. Fie functia

Calculati f(log₂3).

Solutie.

Utilizand proprietatile logaritmului se obtine:

Astfel f(log₂3) = ³/₈.

2. Scrieti o ecuatie de gradul doi cu radacini reale, astfel incat produsul radacinilor sa fie egal cu 4.

Solutie. Fie x₁ = 1, x₂ = 4. Atunci x₁·x₂ = 1·4 = 4, x₁+x₂ = 5 si utilizand teorema reciproca a lui Viete, se obtine ecuatia patrata

x² - 5x + 4 = 0.

3. Fie perechea de numere reale (x;y) ce verifica egalitatea x - i = yi. Sa se determine valorile reale ale lui a pentru care aceasta pereche de numere reale verifica si egalitatea x - i² = 2a - y.

Solutie. Avem x - i = yi Ű x-i(y+1) = 0. Se utilizeaza definitia egalitatii a doua numere complexe: Rez₁ = Rez₂ si Imz₁ = Imz₂ si se obtine sitemul:

	x = 0,
	y+1 = 0,

de unde x = 0 si y = -1.

Cum i² = -1,

x - i² = 2a - y Ű x + 1 = 2a - y, sau tinand seama ca x = 0 si y = -1, obtinem 1 = 2a + 1, de unde a = 0.

4. Care termen din dezvoltarea binomului nu-l contine pe a.

Solutie. Cum binomul se scrie Utilizand formula coeficientului binomial

se obtine ecuatia

sau -8(17 - k) + 9k = 0, de unde k = 8.

Asadar

5. Pentru ce valori ale parametrului real p functia f (x) = cos x - px + 2 este monoton crescatoare pe R.

Solutie. f ˘(x) = (cos x - px + 2)˘ = -sin x - p. Functia f este monoton crescatoare pe R, daca

-sin x - p ł 0 pentru "x Î R.

Cum -1 Ł sin x Ł 1 pentru x Î R inecuatia sin x Ł -p va avea solutiile x Î R, daca si numai daca -p ł 1 sau p Ł -1.

6. Un trapez isoscel are baza mica egala cu laturile neparalele egale cu 16 cm, iar diagonala perpendiculara pe latura neparalela. Sa se afle lungimea diagonalei si aria trapezului.

Solutie. Fie ĐCDA = ĐBCA = a (trapez isoscel). Din triunghiul ACD-dreptunghic (AC^CD) rezulta ĐCAD = 90^°-a si ĐCAD = ĐBCA (ca unghiuri alterne interne). Cum AB = BC = 16 (ipoteza) rezulta ca triunghiul ABC este isoscel si ĐBAC = ĐBCA = 90^°-a.

Asadar AC - bisectoarea unghiului BAC si

a = 2(90^°-a), de unde a = 60^°. Din triunghiul ACD (dreptunghic) se obtine: AD = 2·CD = 2·16 = 32(cm) (CD = 16(cm) este cateta opusa unghiului de 30^°) si

Se determina inaltimea trapezului CE

si aria trapezului:

7. Pentru ce valori ale parametrului real a se verifica egalitatea

2f ˘˘˘(x) + 3f ˘˘(x) - 8f ˘(x) + 3f (x) = 0, unde f (x) = e^ax.

Solutie. Se determina primele trei derivate ale functiei f :

f ˘(x) = ae^ax, f ˘˘(x) = a²e^ax, f ˘˘˘(x) = a³e^ax si se obtine ecuatia 2a³e^ax + 3a²e^ax - 8ae^ax + 3e^ax = 0, sau, cum e^ax š 0, 2a³ + 3a² - 8a + 3 = 0. Se grupeaza convenabil, (2a³ + 6a²) - (3a² + 9a) + a + 3 = 0, 2a²(a + 3) - 3a(a + 3) + (a + 3) = 0, si se obtine (a + 3)(2a² - 3a + 1) = 0 sau (a + 3)(a - 1)(2a - 1) = 0, de unde a = -3, a = 1, a = ¹/₂.

8. Determinati primitiva functiei graficul careia trece prin punctul A(0;4).

Solutie. Utilizand proprietatile integralei nedefinite se obtine:

Se determina constanta C (se tine seama ca F(0) = 4)

de unde C = 3. Asadar

9. Rezolvati inecuatia , unde a este un parametru real, a > 0.

Solutie.

Ű		a - x < 0,
		2ax - x² ł 0,
		a - x ł 0,
		2ax - x² ł (a-x)².

Rezolvand primul sistem al totalitatii, se obtine

	a - x < 0,
	x(2a-x) ł 0

	x > a,
	0 Ł x Ł 2a

Ű x Î (a;2a]

(s-a tinut seama ca a > 0).

Rezolvand al doilea sistem al totalitatii, se obtine

	a-x ł 0,
	2ax - x² ł a² - 2ax + x²

	x Ł a,
	2x² - 4ax + a² Ł 0

Asadar, inecuatia data are solutiile

10. Marimea unghiului dintre inaltimea piramidei triunghiulare regulate si apotema fetei laterale este 30^°. Aflati volumul piramidei, daca se stie ca lungimea apotemei este egala cu 12cm.

Solutie. Fie SO inaltimea piramidei, SD-apotema (SD^BC). Atunci AD^BC si SO^AD (teorema celor trei perpendiculare). Din triunghiul SOD (dreptunghic):

OD = SD sin 30^° = 12· ¹/₂ = 6(cm). Cum inaltimea intr-o piramida triunghiulara regulata cade in punctul de intersectie al bisectoarelor (in acest caz si al medianelor) OD = ¹/₃AD Ţ AD = 18. Din triunghiul ABD (dreptunghic)

Atunci aria bazei piramidei

si volumul piramidei