46 olimpiada, zi 3

1. Fie sirul numerelor triunghiulare
a) Daca a_n este ultima cifra a numarului T_n, sa se arate ca sirul (a_n)_{n Î N^*} este periodic si sa se calculaze perioada lui principala.
b) Daca s_n este suma primilor n termeni ai sirului (T_n), sa se demonstreze ca pentru orice numar natural n ≥ 3 intre nuimerele s_n-1 si s_n exista cel putin un patrat perfect.

2. Fie multimea A = { 1³, 2³, ..., 2000³}. Sa se demonstreze ca exista o partitie a multimii A in 19 submultimi nevide astfel, incat suma elementelor fiecarei submultimi sa fie divizibila cu 2001².

3. Cercurile C₁(O₁), C₂(O₂) si C₃(O₃) sunt tangente exterior doua cate doua, astfel ca C₁ÇC₂ = {A}, C₁ÇC₃ = {B} si C₂ÇC₃ = {C}. Punctele A₁ si B₁ sunt puncte diametral opuse arbitrare ale cercului C₁, situate in exteriorul triunghiului ABC astfel, incat AB₁ÇC₂ = {M}, BA₁ÇC₃ = {N} si AA₁ÇBB₁ = {P}. Sa se demonstreze ca punctele M, N si P sunt coliniare.

4. Fie sirul de polinoame (P_n(X))_{n Î N} definit astfel: P₀(X) = X, P₁(X) = 4X³+3X, P_n+1(X) = (4X²+2) P_n(X) – P_n-1(X), (") n ≥ 1. Pentru orice m Î N^* consideram multimea A(m) = {P_n(m) | n Î N}. Sa se demonstreze ca multimile A(m) si A(m+4) nu au elemente comune.