| Pagina principala | Ghidul utilizatorului | Rubrica candidatului | Curriculumurile scolare |
| Matematica competitiva | Matematica distractiva| Formule, dictionare | Avizuri |
|Pagini din istorie | Examene, teste | Bibliografie | Link-uri | Site map |

Ecuatii Diofantice

In continuare convenim urmatoarele notatii

N = {0,1,2,...} - multimea numerelor naturale;

N* = {1,2,...} - multimea numerelor naturale pozitive;

Z = {0,±1,±2,...} - multimea numerelor intregi;

Q = {m/n   |   m Î Z, n Î N*} - multimea numerelor rationale;

R - multimea numerelor reale.

Initial vom prezenta unele definitii si afirmatii uzuale, necesare pentru expunerile de mai departe.

Divizibilatea

Definitie. Fie a,b Î Z si b ¹ 0. Numerele q Î Z si r Î {0,1,...,|b|-1} se numesc catul si respectiv restul de la impartirea numarului a prin b daca
a = bq + r. (1)

In plus, daca r = 0, atunci se zice ca numarul a este divizibil prin b, sau b divide a, sau b este divizor al numarului a, si se noteaza a b sau b|a.

Se demonstreaza ca pentru orice numere intregi a, b;   b ¹ 0, exista unicele numere intregi q, r,   r Î {0,...,|b| - 1} astfel incat are loc descompunerea (1).

Definitie. Cel mai mic multiplu comun al numerelor intregi nenule a1, a2, ..., an se numeste cel mai mic numar natural pozitiv care se divide la fiecare numar ak   (k = 1,...,k).

Pentru cel mai mic multiplu comun al numerelor a1, a2, ..., an vom utiliza notatia [a1, a2, ..., an].

Definitie. Cel mai mare divizor comun al numerelor intregi a1, a2, ..., an (nu toate nule), se numeste numarul natural maximal prin care se divide fiecare dintre numerele a1, a2, ..., an.

Pentru cel mai mare divizor comun al numerelor intregi a1, a2, ..., an vom utiliza notatia (a1, a2, ..., an).

Definitie. Numerele intregi a,b Î Z se numesc reciproc prime sau prime intre ele daca (a,b) = 1.

Proprietati. Fie a,b,c Î Z.

  1. Daca a|b,   b|c, atunci a| c (proprietatea de tranzitivitate).
  2. Daca a|b,   a|c, atunci a|b + c.
  3. Daca a|b, atunci pentru orice intregi c are loc a|bc.
  4. Daca ac|bc si c ¹ 0, atunci a|b.
  5. Fie a|bc si (a,c) = 1. Atunci a|b.
  6. Daca a|c,   b|c si (a,b) = 1, atunci ab|c.
  7. (a,b)·[a,b] = a·b.
  8. (a,b±a) = (a,b).

Congruente

Definitie. Fie a,b Î Z si c Î Z\{0}. Vom spune ca numarul a este congruent cu numarul b modulo c, notand a º b (mod c), daca c|a - b. In caz contrar se spune ca numarul a nu este congruent cu b modulo c (notatie a b(mod c)).

Proprietati.

  1. a º a(mod d).
  2. Daca a º b(mod d), atunci b º a(mod d).
  3. Daca a º b(mod d),   b º c(mod d), atunci a º c(mod d).
  4. Daca a1 º b1(mod d) si a2 º b2(mod d), atunci a1 + a2 º b1 + b2(mod d).
  5. Daca a1 º b1(mod d) si a2 º b2(mod d), atunci a1a2 º b1b2(mod d).
  6. Daca ac º bc(mod dc), atunci a º b(mod d).
  7. Daca a º b(mod dc), atunci a º b(mod d).
  8. Daca a º b(mod d),   a º b(mod c) si (d,c) = 1, atunci a º b(mod dc).
  9. Daca a º b(mod d), atunci pentru orice c Î Z ac º bc (mod d).
  10. Daca ac º bc(mod d) si (c,d) = 1, atunci a º b(mod d).

Numere prime

Definitie. Numarul natural pozitiv mai mare decat unu se numeste prim daca acest numar este divizibil numai prin 1 si el insusi. Celelalte numere naturale mai mare ca 1 se numesc compuse.

Numarul natural 1 nu se considera fiind nici prim nici compus.

Teorema de baza aritmeticii.

Orice numar natural mai mare ca 1 poseda descompunerea in factori primi (nu neaparat diferiti). Mai mult, aceasta descompunere este unica cu precizie de ordinea factorilor.

Teorema mica a lui Fermat.

Fie p un numar prim. Pentru orice numar intreg a este adevarata relatia

a p º a(mod p).

Despre ecuatii difantice

Se numeste ecuatie diofantica ecuatia de forma

P(x1, x2, ..., xn) = 0,
unde P(x1, ..., xn) este un polinom cu coeficienti intregi.

In cadrul cercetarii ecuatiilor diofantice, de regula, se abordeaza urmatoarele intrebari:

  1. poseda ecuatia radacini intregi;
  2. este finita sau infinita multimea radacinilor intregi;
  3. sa se rezolve ecuatia in multimea Z, adica sa se determine toate solutiile intregi ale ecuatiei;
  4. sa se rezolve ecuatia peste N;
  5. sa se rezolve ecuatia peste Q.

Mentionam ca problema solutionarii ecuatiilor in numere intregi este complet solutionata numai pentru ecuatiile cu o singura necunoscuta, pentru ecuatii de ordinul intai si pentru ecuatii de ordinul doi cu doua necunoscute. In caz general este suficient dificila chiar problema existentei solutiei intregi. De exemplu, nu se cunoaste daca ecuatia

x3 + y3 + z3 = 30
poseda solutii intregi. Mai mult, este demonstrat ca nu exista un algoritm unic, prin intermediul caruia, intr-un numar finit de pasi, sa fie rezolvata o ecuatie diofantica arbitrara.

Ecuatii Diofantice cu o singura necunoscuta

Consideram ecuatia
a0 + a1x + ... + anxn = 0, (2)
unde aj Î Z   (j = 0,...,n),   an ¹ 0.

Vom arata cum se rezolva ecuatia (2) in numere rationale. In particular, aceasta metoda va permite de solutionat ecuatia (2) peste Z. Fara restrictia generalitatii, se presupune ca a0 ¹ 0. Fie r o radacina rationala a ecuatiei (2), r = p/q, unde p Î Z,   q Î N*,   (p,q) = 1 si are loc egalitatea

Se multiplica ambele parti a ultimei egalitati cu qn si se obtine
a0qn + a1p·qn-1 + ... + an-1pn-1q + anpn = 0.
Prin urmare
p|a0qn   si   q|anpn. (3)
Cum (p,q) = 1, rezulta ca (p,qn) = 1, (q,pn) = 1. De aici, si din relatiile (3) deducem ca p|a0 si q|an. Deoarece numere rationale de forma r = p/q, astfel incat (p,q) = 1,   p|a0,   q|an, sunt o multume finita, rezulta ca intr-un numar finit de pasi pot fi selectate acele numere care sunt radacini ale ecuatiei (2). In baza rationamentelor anterioare, ecuatia (2) alte radacini nu are.

Probleme

Problema 1. Sa se rezolve in multimea Q ecuatia
2x4 + 7x3 - 12x2 - 38x + 21 = 0. (4)

Solutie. Termenul liber are urmatorii divizori

±1,   ±3,   ±7,   ±21.
La fel determinam toti divizorii pozitivi ai coeficientului superior, si anume: 1, 2. Conform metodei indicate anterior, solutiile rationale ale ecuatiei (4) sunt printre numerele

In urma verificarii nemijlocite (substitutii in ecuatia (4)) se determina ca din aceasta multime numai numerele -3 si 1/2 sunt radacini ale ecuatiei (4).

Problema 2. Sa se rezolve in numere intregi ecuatia
x8 + x7 + x + 1 = 0. (5)

Solutie. Cum ±1 sunt toti divizorii termenului liber si 1 este unicul divizor al coeficientului superior, rezulta ca toate radacinile intregi ale ecuatiei (5) apartin multimii {-1,1}. Substituind x = ±1 in (5) conchidem ca numai x = -1 este radacina.

Ecuatii diofantice de gradul intai

In cadrul acestei sectiuni vom discuta problema rezolvarii in numere intregi a ecuatiilor de gradul unu, sau altfel numite, ecuatii liniare, adica a ecuatiilor de forma
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b, (6)
unde aj Î Z   (j = 1,2,...,n),   b Î Z.

Presupunem ca nu toate numerele aj   (j = 1,...,n) sunt nule. Evident ca pentru existenta unei radacini intregi ale ecuatiei (6) este necesar ca (a1,...,an)|b. Vom demonstra ca aceasta conditie este si suficienta.

Fie

si cosideram urmatoarea ecuatie echivalenta cu (6)
a1¢x1 + ... + an¢xn = b¢, (7)
in care (a1¢, ..., an¢) = 1. Fie ai¢,   aj¢ numere nenule astfel incat |ai¢| ¹ |aj¢|. Pentru determinare consideram ca i < j si |ai¢| > |aj¢|. In baza prezentarii (1), exista numerele q si r astfel incat
ai¢ = aj¢q + r,
si substituind ai¢ in (7) se obtine ecuatia
a1¢x1 + ... + rxi + ... + aj¢(xj + qxi) + ... + an¢xn = b¢. (8)

Ecuatia (8) se scrie sub forma
a1¢¢x1 + ... + an¢¢xn¢¢ = b¢, (9)
unde

ak¢¢ =
ak¢,   k ¹ i
r, k = i
 ,       xk¢¢ =
xk, k ¹ j
xj + qxi,   k = j.

Usor se observa ca exista o corespondenta biunivoca intre solutiile ecuatiilor (7) si (9). Mai mult, cunoscand radacinile ecuatiei (9), tinand seama de transformarile anterioare pot fi indicate si radacinile ecuatiei (7).

Mentionam ca pentru orice k, i Î {1,...,n},   k ¹ i au loc relatiile

ak¢¢ = ak¢,     |ai¢¢| < |ai¢|.

In plus

(a1¢¢, ..., an¢¢) = (a1¢, ..., ai¢ - aj¢·q, ..., an¢) = (a1¢, ..., an¢) = 1.

Sumand toate cele mentionate anterior conchidem ca ecuatia (7) intr-un numar finit de pasi poate fi redusa la forma
(10)
unde   (i = 1,...,n) sunt numere nenule valorile absolute ale carora sunt diferite doua cate doua. Tinand seama ca deducem ca numerele  (i = 1,...,n) pot obtine doar valorile 0,±1 si nu toate sunt nule. Fara restrictia generalitatii, se presupune ca . Atunci ecuatia (10) are urmatoarele radacini

unde t2, t3, ..., tn sunt numere intregi arbitrare. Utilizand transformarile efectuate pe parcursul rationamentelor, se obtin si radacinile ecuatiei (7).

Tinem sa mentionam ca la rezolvarea ecuatiei (10) sa utilizat esential numai faptul ca , si deci, in cazul in care la un pas al algoritmului indicat se obtine o ecuatie cu cel putin un coeficient egal cu ±1, se scrie solutia ecuatiei respective similara cu solutia ecuatiei (10).

Problema 3. Sa se rezolve in numere intregi ecuatia

4x - 6y + 11z = 7.

Solutie. Impartind -6 la 4 se obtine -6 = 4(-2) + 2, si ecuatia initala se scrie sub forma

4(x - 2y) + 2y + 11z = 7.
Fie x¢ = x - 2y si atunci se obtine ecuatia
4x¢ + 2y + 11z = 7.
Cum 11 = 2·5 + 1, scriem ultima ecuatie sub forma
4x¢ + 2(y + 5z) + z = 7.
Considerand y¢ = y + 5z din ecuatia precedenta deducem
4x¢ + 2y¢ + z = 7.
Solutiile acestei ecuatii sunt de forma z = 7 - 4x¢ - 2y¢,   x¢ si y¢ numere intregi arbitrare.

Prin urmare y = y¢ - 5z = 20x¢ + 11y¢ - 35, x = x¢ + 2y = 41x¢ + 22y¢ - 70.

Asadar solutia ecuatiei initiale are forma

x = 41x¢ + 22y¢ - 70
y = 20x¢ + 11y¢ - 35
z = 7 - 4x¢ - 2y¢,
unde x¢,   y¢ numere intregi arbitrare.

Ecuatii doifantice de grad superior

1. Metoda descompunerii in factori

Problema 4. Sa se rezolve in numere intregi ecuatia

x + y = xy.

Solutie. Ecuatia initiala se scrie sub forma

(x - 1)(y - 1) = 1.
Deoarece produsul a doua numere intregi este egal cu 1 daca si numai daca ambele numere sunt egale cu 1 sau ambele sunt -1, se obtine totalitatea de sisteme
x - 1 = 1,
y - 1 = 1,
x - 1 = -1,
y - 1 = -1,
cu solutiile (0,0) si (2,2).

Problema 5. Sa se arate ca ecuatia

x5 + 3x4y - 5x3y2 - 15x2y3 + 4xy4 + 15y5 = 33
nu are solutii intregi.

Solutie. Partea stanga a ecuatiei se scrie sub forma

(x - 2y)(x - y)(x + y)(x + 2y)(x + 3y).
Daca y ¹ 0 atunci factorii ultimului produs sunt diferiti doi cate doi. Altfel, numarul 33 poate fi descompus cel mult in patru factori distincti. Prin urmare, ecuatia initiala nu are radacini intregi x, y daca y ¹ 0. In cazul y = 0 ecuatia initiala devine
x5 = 33,
echivalenta cu Cum rezulta ca ecuatia initiala nu are solutii intregi nici in cazul y = 0.

Problema 6. Sa se demonstreze ca ecuatia

(x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 30
nu are solutii in Z.

Solutie. Similar cazului precedent, se factorizeaza partea stanga a ecuatiei si se obtine

(x - y)(y - z)(z - x) = 10.
Se observa ca (x - y) + (y - z) + (z - x) = 0. Scriem toti divizorii numarului 10, adica: ±1, ±2, ±5, ±10. Se verifica nemijlocit ca suma oricaror trei divizori a numarului 10, produsul carora este egal cu 10, este diferite de 0.

Problema 7. Sa se rezolve in Z ecuatia

y3 - x3 = 91.

Solutie. Ecuatia initiala se scrie sub forma

(y - x)(y2 + xy + x2) = 91.
Divizorii numarului 91 sunt numerele ±1, ±91. Deoarece y2 + yx + x2 ³ y2 - 2|y||x| + x2 = (|y| - |x|)2 ³ 0, ecuatia initiala este echivalenta cu totalitatea
y - x = 1,
y2 + yx + x2 = 91,
y - x = 91,
y2 + yx + x2 = 1,
   Û  
y = x + 1,
x2 + x - 30 = 0,
y = x + 91,
x2 + 91x + 30·99 = 0,
   Û  
y = x + 1,
x = -6,
x = 5,
x Î Æ.

Asadar, solutiile intregi a ecuatiei sunt perechile (-6,-5) si (5,6).

Problema 8. Sa se rezolve in numere naturale ecuatia

y2 - x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 1.

Solutie. Cum

x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 = (x(x + 3))((x + 1)(x + 2)) + 1 =
= ((x2 + 3x - 1) - 1)((x2 + 3x + 1) + 1) + 1 = (x2 + 3x+1)2,
rezulta ca ecuatia initiala este echivalenta cu urmatoarea ecuatie
y2 = (x2 + 3x + 1)2
sau
y = x2 + 3x + 1.
Astfel multimea tuturor solutiilor este {(x , x2 + 3x + 1)  |  x Î N}.

Paritatea

Problema 9. Sa se determine toate numerele prime x,y care verifica egalitatea
x2 - 2y2 = 1. (11)

Solutie. Vom discuta doua cazuri, in dependenta de paritatea numarului x.

a) Fie x este un numar impar. Atunci x = 2t + 1 si substituind in (11) se obtine

(2t + 1)2 - 2y2 = 1,
echivalenta cu
2y2 = 4t(t + 1).
Prin urmare 2 | y2. Cum y numar prim, rezulta ca y = 2, deci

b) Daca x este par, atunci, cum x prim, conchidem x = 2, si din (11) rezulta ca

Astfel ecuatia (11) are in clasa numerelor prime o singura solutie (3;2).

Problema 10. Sa se rezolve in Z ecuatia
x2 + y2 + z2 = 2xyz. (12)

Solutie. Solutia x = y = z = 0 este evidenta. Sa demonstram ca alte solutii nu sunt. Presupunem contrariul. Cum x2 + y2 + z2 este un numar par, atunci cel putin unul dintre numerele x, y, z este par. Tinand seama de simetria ecuatiei (12), consideram ca x este par, si fie x = 2x1. Atunci 4|y2 + z2, si aceasta are loc numai in cazul in care y si z sunt pare. Intr-adevar, daca y par si z impar, atunci 4 y2 + z2. Daca ambele sunt impare, atunci

y2 + z2 = (2u + 1)2 + (2v + 1)2 = 4(u2 + v2 + u + v) + 2 º 2(mod 4),
si deci 4 y2+z2.

Asadar, x = 2x1,   y = 2y1,   z = 2z1 si tinand seama de (12), determinam

x12 + y12 + z12 = 22x1y1z1.

Prin argumente similare, celor anterioare, din ultima egalitate se deduce ca 2|x1,   2|y1,   2|z1, si deci, 22|x,   22|y,   22|z. Prin urmare se poate de aratat ca 2n|x,   2n|y,   2n|z pentru orice n Î N. Contradictie.

In concluzie, ecuatia (12) poseda o singura solutie (0,0,0).

Problema 11. Sa se arate ca ecuatia
x3 + 2y3 + 4z3 - 6xyz = 0, (13)
nu are solutii nenule in Z.

Solutie. Fie x, y, z sunt solutie a ecuatiei (13) (x2 + y2 + z2 ¹ 0). Usor de observat ca x este par. Substitutia x = 2x1, determina

4x13 + y3 + 2z3 - 6x1yz = 0.
De aici conchidem ca y - par, adica y = 2y1, si astfel se obtine
2x13 + 4y13 + z3 - 6x1y1z = 0.
Din ultima egalitate rezulta ca si numarul z este par si substituind z = 2z1 ecuatia devine
x13 + 2y13 + 4z13 - 6x1y1z1 = 0.
Prin rationamente similare se demonstreaza ca pentru orice n Î N
2n|x,   2n|y,   2n|z.
Contradictie.

Utilizarea congruentelor la demonstrarea incompatibilitatii unor ecuatii

Problema 12. Sa se rezolve in Z ecuatia
x2 + 1 = 3y. (14)

Solutie. Fie x, y verifica (14). Atunci x2 + 1 º 0(mod 3). Examinam cateva cazuri, in dependenta de restul impartirii numarului x prin 3.

a) Fie x º 0(mod 3). Atunci x2 + 1 º 1(mod 3), si deci x2 + 1 0(mod 3).

b) Fie x º 1(mod 3). In acest caz x2 + 1 º 2(mod 3) si prin urmare x2 + 1 0(mod 3).

c) Fie x º 2(mod 3). Similar cazului a) si b) se obtine

x2 + 1 º 5 º 2 0(mod 3).

In consecinta, congruenta x2 + 1 º 0(mod 3) nu are solutii, si astfel ecuatia (14) la fel nu are solutii intregi.

Problema 13. Sa se rezolve in numere intregi ecuatia
x2 - 2y2 + 8z = 3. (15)

Solutie. Fie (x, y, z) solutie in Z a ecuatiei (15). Cum x este un numar impar, rezulta ca

x2 = (2k + 1)2 = 4k(k + 1) + 1 º 1(mod 8).

Atfel ecuatia initiala in modulo 4 devine

1 - 2y2 º 3(mod 4)
sau
y2 º -1(mod 2),
si prin urmare y este impar, si deci, y2 º 1(mod 8). De aici,
1 - 2 º 3(mod 8)   Û   4 º 0(mod 8).

Astfel s-a obtinut contradictie si deci ecuatia initiala nu are radacini in Z.

Problema 14. Sa se arate ca ecuatia

x3 + x + 10y = 20004
nu este compatibila peste Z.

Solutie. Considerand in ecuatia initiala congruenta modulo 5, conchidem
x3 + x º -1(mod 5). (16)
Examinand in (16) cazuri in dependenta de resturile impartirii lui x prin 5, se demonstreaza ca (16) nu este compatibila. Asadar ecuatia initiala nu are solutii in Z.

Diverse metode de rezolvare a ecuatiilor diofantice

Problema 15. Sa se arate ca ecuatia

x3 + y3 + z3 = 2
poseda o infinitate de radacini in Z.

Solutie. Fie x = a + b,   y = a - b. Atunci x3 + y3 = 2a3 + 6ab2 si ecuatia initiala devine

2a3 + 6ab2 + z3 = 2.
In ultima egalitate se considera a = 1 si se obtine z3 = -6b2. Fie b = 6t3, de unde z = -6t2,   x = 1 + 6t3,   y = 1 - 6t3. In consecinta sau obtinut o infinitate de radacini intregi a ecuatiei initiale, corespunzatoare lui t Î Z.

Problema 16. Sa se arate ca ecuatia
x2 - 2y2 = 1 (17)
poseda o inifinitate de radacini (x, y) Î N×N.

Solutie. Se observa cu usurinta ca perechea (3,2) este solutie a ecuatiei initiale. Altfel, din identitatea

(x2 + 2y2)2 - 2(2xy)2 = (x2 - 2y2)2
rezulta ca daca (x, y) este radacina a ecuatiei (17), atunci si perechea (x2 + 2y2 , 2xy) la fel este solutie. Utilizand acest fapt, se determina in mod recurent sirul infinit (xn , yn) de solutii distincte a ecuatiei (17), adica
(x1 , y1) = (3,2)   si   xn+1 = xn2 + 2yn2,     yn+1 = 2xnyn,     n Î N*.

Problema 17. Sa se rezolve peste Z ecuatia

Solutie. Se observa ca termenii sumei din stanga ecuatiei sunt de acelasi semn, si cum suma lor este pozitiva, atunci fiecare termen la fel este pozitiv. In baza egalitatii Cauchy despre medii (a se vedea, "Inegalitati") se obtine

Prin urmare xyz = 1, si astfel solutii pot fi numai tripletele (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,-1,1), (-1,1,-1). Efectuand verificarea se determina ca fiecare din tripletele indicate este solutie.

Problema 18. Sa se arate ca ecutia

x(x + 1) = 4y(y + 1)
este incompatibila in Z+.

Solutie. Usor se observa ca ecuatia initiala este echivalenta cu ecuatia

x2 + x + 1 = (2y + 1)2.
De aici rezulta ca x2 < (2y + 1)2 < (x + 1)2 sau x < 2y + 1 < x + 1. Contradictia obtinuta implica incompatibilitatea in N* a ecuatiei initiale.

Problema 19. Sa se determine solutiile intregi ale ecuatiei

2x3 + xy - 7 = 0.

Solutie. Din enuntul problemei rezulta ca x trebuie sa fie divizor al numarului 7. Deci, valorile posibile ale lui x apartin multiimii {±1, ±7}. Considerand fiecare valoare ale lui x in parte se obtin toate radacinile ecuatiei initiale: (1,5), (-1,-9), (7,-97), (-7,-99).

Problema 20. Sa se arate ca ecuatia

x2 + 1 = py,
unde p - numar prim de forma 4k+3 este incompatibila in Z.

Solutie. Fie ca ecuatia din enuntul problemei este compatibila in Z. Atunci

x2 + 1 º 0(mod p).
In baza teoremei mici Fermat, din ultima relatie rezulta
-1 º (-1)2k+1 º (x2)2k+1 º xp-1 º 1(mod p).
Astfel s-a obtinut o contradictie cu presupunerea initiala si deci ecuatia nu are solutii in Z.

Problema 21. Sa se arate ca ecuatia

x2 - y3 = 7
nu este compatibila peste N*.

Solutie. Daca y este par, atunci x2 º 3(mod 4), dar ultima congruenta nu are loc nici pentru un x Î Z. Asadar, presupunem ca y este un numar impar, adica y = 2k + 1. Atunci,

x2 + 1 = y3 + 8 = (y + 2)((y + 1)2 + 3) = (y + 2)(4(k + 1)2 + 3),
si deci, numarul x2 + 1 are divizori de forma 4n + 3, de unde rezulta ca x2 + 1 are divizor prim de forma 4n + 3. Intr-adevar, daca toti divizorii primi ai numarului 4(k + 1)2 + 3 sunt de forma 4n + 1, atunci si numarul 4(k + 1)2 + 3 va fi de forma 4n + 1. Ultima nu are loc in baza Problemei 20.

Problema 22. Sa se demonstreze ca ecuatia

nu are radacini intregi pozitive.

Solutie. Fie d = (x , y),   x1 = x/d,   y1 = y/d. Cum

x2 + xy + y2 = x2y2,
rezulta ca
x12 + x1y1 + y12 = d2x12y12. (18)

De aici deducem ca

x1|y1,     y1|x1.
Tinand seama ca (x1,y1) = 1, conchidem ca x1 = y1 = 1. Astfel ecuatia (18) devine
d2 = 3,
care implica afirmatia problemei.

Problema 23. Sa se rezolve in numere intregi ecuatia

x + y = x2 - xy + y2.

Solutie. Fie t = x + y. Cum

rezulta ca
de unde t Î [0;4].

Tinand seama de relatia x + y = (x + y)2 - 3xy, consideram cazurile corespunzatoare valorilor intregi a numarului t Î [0;4].

a) t = 0

x + y = 0,
xy = 0,
   Û  
x = 0,
y = 0.

b) t = 1

x + y = 1,
xy = 0,
   Û  
x = 0,
y = 1,
x = 1,
y = 0.

c) t = 2

x + y = 2,
x - y = 2/3,
   Þ   (x , y) Î Æ.

d) t = 3

x + y = 3,
xy = 2,
   Û  
x = 1,
y = 2,
x = 2,
y = 1.

e) t = 4

x + y = 4,
xy = 4,
   Û  
x = 2,
y = 2.

Sumand cele mentionate anterior se obtine multimea tuturor solutiilor: (0,0), (0,1), (1,0), (1,2), (2,1), (2,2).

Probleme pentru lucrul individual

  1. Sa se rezolve in Z ecuatia
    x3 + (x + 1)3 + (x + 2)3 = (x + 3)3.
    Raspuns: x = 3.
  2. Sa se rezolve in numere rationale ecuatia
    x4 - 4x3 - 13x2 + 28x + 12 = 0.
    Raspuns: {-3,2}.
  3. Sa se rezolve in numere intregi ecuatia
    127x - 52y + 1 = 0.
    Raspuns: x = 9 + 52t,   y = 22 + 127t,   t Î Z.
  4. Sa se rezolve in Z ecuatia
    6x + 10y - 7z = 11.
    Raspuns: x = 3u + 7v - 11,   y = u,   z = 4u + 6v - 11,   u, v Î Z.
  5. Sa se rezolve in numere intregi ecuatia
    3x2 + 4xy - 7y2 = 13.
    Indicatie. Sa se descompuna in factori.
    Raspuns: (2,1), (-2,-1).
  6. Sa se rezolve in Z ecuatia
    1 + x + x2 + x3 = 2y.
    Raspuns: (0,0), (1,2).
  7. Sa se rezolve in Z ecuatia
    x4 + 4y4 = 2(z4 + 4t4).
    Indicatie. Se utlizeaza paritatea.
    Raspuns: (0,0,0,0).
  8. Sa se arate ca ecuatia
    y2 = 5x2 + 6
    nu are radacini intregi.
    Indicatie. Sa se examineze ecuatia dupa modulo 4.
  9. Sa se arate ca ecuatia
    x3 = 2 + 3y2
    nu are solutii intregi.
    Indicatie. Sa se compare dupa modulo 9.
  10. Sa se arate ca ecuatia
    x4 + y6 + z12 = t4
    poseda o infinitate de solutii intregi.
    Indicatie. Sa se parametrizeze ecuatia
  11. Sa se arate ca ecuatia
    x2 - 3y2 = 1
    poseda o inifinitate de solutii intregi.
    Indicatie. Sa se utilizezeee o relatie de recurenta pentru radacini.
  12. Sa se rezolve in Z ecuatia
    x2 + x = y4 + y3 + y2 + y.
    Indicatie. Sa se reprezinte sub forma (2x + 1)2 = (2y2 + y + 1)2 - (y2 - 2y).
    Raspuns: (0,-1), (-1,-1), (0,0), (-1,0), (5,2), (-6,2).
  13. Sa se determine radacinile intregi pozitive ale ecuatiei
    Inidicatie. Sa se utilizeze inegalitatea Cauchy despre medii.
    Raspuns: (1,1,1).
  14. Sa se rezolve in numere intregi pozitive ecuatia
    unde p este un parametru si p este un numar prim mai mare decat 2.
    Raspuns:


    | Pagina principala | Ghidul utilizatorului | Rubrica candidatului | Curriculumurile scolare |
    | Matematica competitiva | Matematica distractiva| Formule, dictionare | Avizuri |
    |Pagini din istorie | Examene, teste | Bibliografie | Link-uri | Site map |