Ecuatii si inecuatii trigonometrice

I. Ecuatii trigonometrice

Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice.

Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul

sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a, a ∈ R.  (1)

Cum rezolvarea ecuatiilor trigonometrice se reduce la rezolvarea ecuatiilor de tipul (1) (utilizand diferite transformari), vom aminti afirmatiile de baza referitor solutiile ecuatiilor (1).

Afirmatia 1. Ecuatia

sin x = a, a ∈ R,  (2)

pentru |a| > 1 solutii nu are, iar pentru |a| ≤ 1 multimea solutiilor ei se contine in formula

x = (−1)^{n} arcsin a + πn, n ∈ Z,  (3)

unde arcsin a ∈ [−\frac{π}{2}; \frac{π}{2}] este unghiul, sinusul caruia este egal cu a, iar Z desemneaza multimea numerelor intregi, sau, echivalent (tinand seama de paritatea lui n), in totaliatea

[ \begin{matrix}x = arcsin a + 2πk, \\ x = π − arcsin a + 2πk, \end{matrix} k ∈ Z.  (4)

Nota 1. Daca in ecuatia (2) a ∈ {0; −1; 1} solutiile ei (3) se scriu mai simplu, si anume

sin x = 0 ⇔ x = πn, n ∈ Z,

sin x = 1 ⇔ x = \frac{π}{2} + 2πn, n ∈ Z,

sin x = −1 ⇔ x = −\frac{π}{2} + 2πn, n ∈ Z.

Exemplul 1. Sa se rezolve ecuatiile

a) sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}; b) sin x = −\frac{1}{3}; c) sin x = \sqrt{11} − 2.

Rezolvare. a) Cum |\frac{\sqrt{3}}{2}| ≤ 1, conform (3) solutiile ecuatiei date sunt

x = (−1)^{n} arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + πn, n ∈ Z,

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

sau tinand seama ca arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{π}{3} , se obtine

x = (−1)^{n} \frac{π}{6} + πn, n ∈ Z.

b) Similar exemplului a) se obtine x = (−1)^{n} arcsin (−\frac{1}{3}) + πn, n ∈ Z sau, tinand seama arcsinus ca functia este o functie impara,

x = (−1)^{n+1} arcsin \frac{1}{3} + πn, n ∈ Z.

c) Cum \sqrt{11} − 2 > 1, rezulta ca ecuatia data nu are solutii. Afirmatia 2. Ecuatia

cos x = a  (5)

pentru |a| > 1 nu are solutii, iar pentru |a| ≤ 1 multimea solutiilor ei se contine in formula

x = ± arccos a + 2πn, n ∈ Z,  (6)

unde arccos a ∈ [0; π] este unghiul, cosinusul caruia este egal cu a.

Nota 2. Daca in ecuatia (5) a ∈ {0; 1; −1} solutiile ei (6) se scriu mai simplu, si anume

cos x = 0 ⇔ x = \frac{π}{2} + πn, n ∈ Z,

cos x = 1 ⇔ x = 2πn, n ∈ Z,

cos x = −1 ⇔ x = π + 2πn, n ∈ Z.

Exemplul 2. Sa se rezolve ecuatiile:

a) cos x = −\frac{1}{2}; b) cos x = \frac{2}{3}; c) cos x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}.

Rezolvare. a) Cum |−\frac{1}{2}| ≤ 1, conform (6) solutiile ecuatiei date sunt x = ± arccos (−\frac{1}{2})+ 2πn, n ∈ N, sau tinand seama ca arccos (−\frac{1}{2}) = \frac{2π}{3} , se obtine x = ±\frac{2π}{3} + 2πn, n ∈ Z.

b) Similar exemplului a) se obtine x = ± arccos \frac{2}{3} + 2πn, n ∈ Z.

c) Cum \frac{\sqrt{3} + 1}{2} > 1, ecuatia data nu are solutii. Afirmatia 3. Ecuatia

tg x = a, a ∈ R  (7)

are solutiile

x = arctg a + πn, n ∈ Z,  (8)

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

unde arctg a ∈ (−\frac{π}{2}; \frac{π}{2}) este unghiul, tangenta caruia este egala cu a.

Afirmatia 4. Ecuatia

ctg x = a, a ∈ R  (9)

are solutiile

x = arcctg a + πn, n ∈ Z,  (10)

unde arcctg a ∈ (0; π) este unghiul, cotangenta caruia este egala cu a.

Exemplul 3. Sa se rezolve ecuatiile

a) tg x = 1; b) tg x = −2; c) ctg x = −1; d) ctg x = 3.

Rezolvare. a) Conform (8) solutiile ecuatiei date sunt x = arctg 1 + πn, n ∈ Z, sau tinand seama ca arctg 1 = \frac{π}{4} , se obtine x = \frac{π}{4} + πn, n ∈ Z.

b) Similar exemplului precedent se obtine x = arctg(−2) + πn, n ∈ Z, sau tinand seama ca arctangenta este o functie impara, x = − arctg 2 + πn, n ∈ Z.

c) Se tine seama de (10) si se obtine

x = arcctg(−1) + πn, n ∈ Z,

sau, cum arcctg(−1) = \frac{3π}{4} , x = \frac{3π}{4} + πn, n ∈ Z.

d) Similar exemplului c) se obtine x = arcctg 3 + πn, n ∈ Z. Observatie. Ecuatiile

sin f(x) = a, cos f(x) = a, tg f(x) = a, ctg f(x) = a  (11)

prin intermediul substitutiei f(x) = t se reduc la rezolvarea ecuatiilor (1).

Exemplul 4. Sa se rezolve ecuatiile

a) sin(2x − 1) = 1; b) cos(x^{2} + 4) = −1; c) tg 2x = \sqrt{3}; d) ctg x^{3} = −2. Rezolvare. a) sin(2x − 1) = 1 ⇔ \{ \begin{matrix}sin t = 1; \\ t = 2x − 1, \end{matrix} ⇔ 2x − 1 = \frac{π}{2} + 2πn, n ∈ Z ⇔

⇔ 2x = \frac{π}{2} + 2πn + 1, n ∈ Z ⇔ x = \frac{π}{4} + πn + \frac{1}{2}, n ∈ Z.

b) cos(x^{2} + 4) = −1 ⇔ \{ \begin{matrix}cos t = −1, \\ t = x^{2} + 4, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x^{2} + 4 = π + 2πn, n ∈ Z, \\ π + 2πn ≥ 4, \end{matrix} ⇔

⇔ x^{2} = π + 2πn − 4, n = 1, 2, 3, … ⇔ x = ±\sqrt{π + 2πn − 4}, n = 1, 2, 3, … (se tine seama ca radicalul de ordin par exista doar din valori nenegative).

c) tg 2x = \sqrt{3} ⇔ 2x = arctg \sqrt{3} + πn, n ∈ Z ⇔ 2x = \frac{π}{3} + πn, n ∈ Z ⇔

x = \frac{π}{6} + \frac{π}{2} n, n ∈ Z.

d) ctg x^{3} = −2 ⇔ x^{3} = arcctg(−2) + πn, n ∈ Z ⇔ x = ^{3} \sqrt{arcctg(−2) + πn}, n ∈ Z.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Ecuatii trigonometrice reductibile la ecuatii de gradul al doilea

Ecuatia

a sin^{2} x + b sin x + c = 0, a, b, c ∈ R, a ≠ 0  (12)

prin intermediul substitutiei t = sin x, (|t| ≤ 1) se reduce la ecuatia patrata at^{2} + bt + c = 0.

Exemplul 5. Sa se rezolve ecuatiile

a) 2 sin^{2} x − 5 sin x + 2 = 0; b) sin^{2} 2x − sin 2x = 0; c) sin^{2} x − sin x + 6 = 0.

Rezolvare. a) Se noteaza sin x = t si ecuatia devine

2t^{2} − 5t + 2 = 0,

de unde t_{1} = \frac{1}{2} si t_{2} = 2. Cum |t| ≤ 1, ramane t = \frac{1}{2} si prin urmare ecuatia initiala este echivalenta cu ecuatia

sin x = \frac{1}{2},

solutiile careia sunt (a se vedea (3)) x = (−1)^{n} \frac{π}{6} + πn, n ∈ Z.

b) Se noteaza sin x = t si se obtine ecuatia patrata t^{2} − t = 0 cu solutiile t_{1} = 0 si t_{2} = 1. Astfel ecuatia initiala este echivalenta cu totalitatea de ecuatii

[ \begin{matrix}sin 2x = 0, \\ sin 2x = 1, \end{matrix}

de unde

[ \begin{matrix}x = \frac{π}{2} n, n ∈ Z, \\ x = \frac{π}{4} + πk, k ∈ Z. \end{matrix}

c) Similar exemplelor precedente se obtine ecuatia patrata t^{2} − t + 6 = 0, care nu are solutii. Rezulta ca si ecuatia trigonometrica nu are solutii.

Ecuatiile

a cos^{2} x + b cos x + c = 0,  (13)
a tg^{2} x + b tg x + c = 0,  (14)
a ctg^{2} x + b ctg x + c = 0,  (15)

unde a, b, c ∈ R, a ≠ 0 se rezolva similar ecuatiei (12).

In cazul ecuatiei (13) se tine seama ca t = cos x in modul urmeaza sa nu intreaca unu, iar pentru t = tg x (t = ctg x) in ecuatia (14) (respectiv (15)) restrictii nu sunt.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Exemplul 6. Sa se rezolve ecuatiile

a) 6 cos^{2} x − 5 cos x + 1 = 0; b) tg^{2} 2x − 4 tg 2x + 3 = 0; c) ctg^{2} \frac{x}{2} − ctg \frac{x}{2} − 2 = 0. Rezolvare. a) Se noteaza cos x = t si se obtine ecuatia patrata

6t^{2} − 5t + 1 = 0

cu solutiile t = \frac{1}{3} si t_{2} = \frac{1}{2}. Cum ambele solutii verifica conditia |t| ≤ 1 se obtine totalitatea

[ \begin{matrix}cos x = \frac{1}{3}, \\ cos x = \frac{1}{2}, \end{matrix}

de unde x = ± arccos \frac{1}{3} + 2πn, n ∈ Z, x = ±\frac{π}{3} + 2πk, k ∈ Z.

b) Se noteaza tg 2x = t si se obtine ecuatia patrata

t^{2} − 4t + 3 = 0

cu solutiile t_{1} = 1 si t_{2} = 3. Prin urmare

[ \begin{matrix}tg 2x = 1, \\ tg 2x = 3, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}2x = \frac{π}{4} + πn, n ∈ Z, \\ 2x = arctg 3 + πk, k ∈ Z, \end{matrix}

de unde x = \frac{π}{8} + \frac{π}{2} n, x = \frac{1}{2} arctg 3 + \frac{π}{2} k, n, k ∈ Z.

c) Se rezolva similar exemplului precedent si se obtine x = \frac{3π}{2} + 2πn, x = 2 arcctg 2 + 2πk, n, k ∈ Z.

Ecuatia

a cos^{2} x + b sin x + c = 0,  (16)

utilizand identitatea trigonometrica de baza sin^{2} x + cos^{2} x = 1, se reduce la rezolvarea unei ecuatii de tipul (12):

a(1 − sin^{2} x) + b sin x + c = 0.

Similar, ecuatia

a sin^{2} x + b cos x + c = 0  (17)

se reduce la rezolvarea unei ecuatii de tipul (13):

a(1 − cos^{2} x) + b cos x + c = 0.

Utilizand formulele

cos 2x = 1 − 2 sin^{2} x, cos 2x = 2 cos^{2} x − 1

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

ecuatiile

a cos 2x + b sin x + c = 0,  (18)
a cos 2x + b cos x + c = 0,  (19)

se reduc la rezolvarea ecuatiilor de tipul (12) si respectiv (13).

Exemplul 7. Sa se rezolve ecuatiile:

a) 2 sin^{2} x + 5 cos x − 5 = 0; b) cos 4x + \sqrt{2} sin 2x − 1 = 0.

Rezolvare. a) Cum sin^{2} x = 1 − cos^{2} x, ecuatia devine

2(1 − cos^{2} x) + 5 cos x − 5 = 0

sau

2 cos^{2} x − 5 cos x + 3 = 0,

de unde cos x = \frac{3}{2} (aceasta ecuatie nu are solutii) sau cos x = 1, cu solutiile x = 2πk, k ∈ Z.

b) Cum cos 4x = 1 − 2 sin^{2} 2x, ecuatia devine

−2 sin^{2} 2x + \sqrt{2} sin 2x = 0,

sau

sin 2x(\sqrt{2} sin 2x − 1) = 0,

de unde

[ \begin{matrix}sin 2x = 0, \\ sin 2x = \frac{1}{\sqrt{2}}, \end{matrix}

si x = \frac{π}{2} k, x = (−1)^{n} \frac{π}{8} + \frac{πn}{2}, k, n ∈ Z.

Ecuatia

a tg x + b ctg x + c = 0  (20)

tinand seama ca tg x · ctg x = 1 (x ≠ \frac{π}{2} · k, k ∈ Z) prin intermediul substitutiei t = tg x (atunci ctg x = \frac{1}{t}) se reduce la o ecuatie trigonometrica de tipul (14).

Exemplul 8. Sa se rezolve ecuatia:

tg x − 5 tg (x − \frac{3π}{2} ) = 6 sin \frac{7π}{2} .

Rezolvare. Cum sin \frac{7π}{2} = 1 si tg (x − \frac{3π}{2} ) = − tg (\frac{3π}{2} − x) = − ctg x, ecuatia devine tg x + 5 ctg x − 6 = 0.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Se noteaza tg x = t, atunci ctg x = \frac{1}{t} (x ≠ \frac{π}{2} k) si se obtine ecuatia patrata

t^{2} − 6t + 5 = 0

cu solutiile t_{1} = 1 si t_{2} = 5. Asadar

[ \begin{matrix}tg x = 1, \\ tg x = 5, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x = \frac{π}{4} + πk, k ∈ Z, \\ x = arctg 5 + πn, n ∈ Z. \end{matrix}

Ecuatii omogene.

Ecuatia

a_{0} sin^{n} x + a_{1} sin^{n−1} x cos x + … + a_{k−1} sin x cos^{n−1} x + a_{n} cos^{n} x = 0,  (21)

unde a_{0} · a_{n} ≠ 0, se numeste ecuatie omogena de gradul n in raport cu sin x si cos x. Cum x = \frac{π}{2} + πk, k ∈ Z nu verifica ecuatia (21) (toti termenii, incepand cu al doilea sunt

nuli, iar primul este diferit de zero) multiplicand ecuatia cu \frac{1}{cos^{n} x} (≠ 0) se obtine ecuatia echivalenta

a_{0} tg^{n} x + a_{1} tg^{n−1} x + … + a_{n−1} tg x + a_{n} = 0

care prin substitutia tg x = t, se reduce la rezolvarea unei ecuatii algebrice de gradul n.

Exemplul 9. Sa se rezolve ecuatiile

a) sin 2x − cos 2x = 0;  c) 5 sin^{2} x + 5 sin x cos x = 3;
b) sin^{2} x + sin 2x − 3 cos^{2} x = 0; d) cos 2x + sin 2x = \sqrt{2}.

Rezolvare. a) Ecuatia a) reprezinta o ecuatie trigonometrica omogena de gradul intai. Se multiplica cu \frac{1}{cos 2x} si se obtine ecuatia liniara in raport cu tg 2x

tg 2x − 1 = 0

de unde tg 2x = 1 si x = \frac{π}{8} + \frac{π}{2} n, n ∈ Z.

b) Cum sin 2x = 2 sin x cos x ecuatia b) se scrie sin^{2} x+2 sin x cos x−3 cos^{2} x = 0 si reprezinta o ecuatie trigonometrica omogena de gradul al doilea. Se multiplica cu \frac{1}{cos^{2} x} si se obtine ecuatia patrata

tg^{2} x + 2 tg x − 3 = 0

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

cu solutiile tg x = −3 si tg x = 1. Prin urmare

[ \begin{matrix}x = − arctg 3 + πn, n ∈ Z, \\ x = \frac{π}{4} + πk, k ∈ Z. \end{matrix}

c) Se scrie 3 = 3 · 1 = 3 · (sin^{2} x + cos^{2} x) si ecuatia devine

5 sin^{2} x + 5 sin x · cos x = 3 sin^{2} x + 3 cos^{2} x

sau

2 sin^{2} x + 5 sin x · cos x − 3 cos^{2} x = 0

adica o ecuatie trigonometrica omogena de gradul al doilea. Se rezolva similar exemplelor precedente si se obtin solutiile x = − arctg 3 + πk, k ∈ Z si x = arctg \frac{1}{2} + πn, n ∈ Z.

d) Cum cos 2x = cos^{2} x − sin^{2} x, sin 2x = 2 sin x cos x, \sqrt{2} = \sqrt{2}(sin^{2} x + cos^{2} x), ecuatia devine

cos^{2} x − sin^{2} x + 2 sin x cos x = \sqrt{2} sin^{2} x + \sqrt{2} cos^{2} x

sau

(\sqrt{2} + 1) sin^{2} x − 2 sin x cos x + (\sqrt{2} − 1) cos^{2} x = 0,

adica este o ecuatie trigonometrica omogena de gradul al doilea. Se multiplica cu \frac{1}{cos^{2} x} si se obtine ecuatia patrata

(\sqrt{2} + 1) tg^{2} x − 2 tg x + \sqrt{2} − 1 = 0

cu solutia tg x = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} sau, rationalizand numitorul, tg x = \sqrt{2} − 1. Asadar, x = arctg(\sqrt{2} − 1) + πn, n ∈ Z.

Metoda transformarii sumei functiilor trigonometrice in produs.

Ecuatiile de forma

sin α(x) ± sin β(x) = 0  (22)
cos α(x) ± cos β(x) = 0  (23)

cu ajutorul formulelor transformarii sumei in produs

sin α(x) ± sin β(x) = 2 sin \frac{α(x) ± β(x)}{2} cos \frac{α(x) ∓ β(x)}{2}  (24)
cos α(x) + cos β(x) = 2 cos \frac{α(x) + β(x)}{2} cos \frac{α(x) − β(x)}{2}  (25)
cos α(x) − cos β(x) = −2 sin \frac{α(x) − β(x)}{2} sin \frac{α(x) + β(x)}{2}  (26)

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

se reduc la ecuatii trigonometrice simple.

Exemplul 10. Sa se rezolve ecuatiile

a) sin 3x + sin x = 0; c) cos 5x = sin 3x;
b) cos x + cos 3x = 0; d) sin x + cos 2x + sin 3x + cos 4x = 0.

Rezolvare. a) sin 3x + sin x = 0 ⇔ 2 sin \frac{3x + x}{2} cos \frac{3x − x}{2} = 0 ⇔ [ \begin{matrix}sin 2x = 0, \\ cos x = 0, \end{matrix} ⇔

⇔ [ \begin{matrix}x = \frac{πn}{2}, n ∈ Z, \\ x = \frac{π}{2} + πk, k ∈ Z \end{matrix} ⇔ x = \frac{πn}{2}, n ∈ Z (se observa ca solutiile x = \frac{π}{2} + πk, k ∈ Z

se contin in solutiile x = \frac{πn}{2}, n ∈ Z - a se desena cercul trigonometric si a se depune pe el solutiile obtinute).

b) cos x + cos 3x = 0 ⇔ 2 cos 2x cos(−x) = 0. Cum functia cosinus este o functie para, se obtine totalitatea

[ \begin{matrix}cos 2x = 0, \\ cos x = 0, \end{matrix}

de unde x = \frac{π}{4} + \frac{π}{2} k, k ∈ Z, x = \frac{π}{2} + πn, n ∈ Z.

c) Cum cos 5x = sin (\frac{π}{2} − 5x) (formulele de reducere) se obtine ecuatia

sin (\frac{π}{2} − 5x) − sin 3x = 0

sau

2 sin (\frac{π}{4} − 4x) cos (\frac{π}{4} − x) = 0,

de unde, tinand seama ca functia sinus este impara, iar functia cosinus este para, se obtine totalitatea

[ \begin{matrix}sin (4x − \frac{π}{4} ) = 0, \\ cos (x − \frac{π}{4} ) = 0, \end{matrix}

sau

[ \begin{matrix}4x − \frac{π}{4} = πk, \\ x − \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + πn, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x = \frac{π}{16} + \frac{π}{4} k, k ∈ Z, \\ x = \frac{3π}{4} + πn, n ∈ Z. \end{matrix}

d) Se grupeaza convenabil: (sin x + sin 3x) + (cos 2x + cos 4x) = 0, se aplica formulele (24) si (25) si se obtine ecuatia

2 sin 2x cos x + 2 cos 3x cos x = 0 sau

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

2 cos x(sin 2x + cos 3x) = 0,

de unde rezulta totalitatea de ecuatii

[ \begin{matrix}cos x = 0, \\ sin 2x + cos 3x = 0. \end{matrix}

Din prima ecuatie se obtine x = \frac{π}{2} + πn, n ∈ Z. Ecuatia secunda a totalitatii se rezolva

similar exemplului c) si se obtine x = \frac{π}{2} + 2πm, m ∈ Z (se contine in solutia deja obtinuta) si

x = \frac{3π}{10} +\frac{2πk}{5} , k ∈ Z. Asadar solutiile ecuatiei initiale sunt x = \frac{π}{2} +πn, x = \frac{3π}{10} +\frac{2πk}{5} , n, k ∈ Z.

Metoda transformarii produsului in suma (utilizarea formulelor sin(α ± β), cos(α ± β)).

Exemplul 11. Sa se rezolve ecuatiile

a) cos x cos 2x − sin x sin 2x = 1; b) cos x cos 3x = cos 4x.

Rezolvare. a) cos x cos 2x − sin x sin 2x = 1 ⇔ cos(x + 2x) = 1 ⇔ cos 3x = 1 ⇔

⇔ 3x = 2πk, k ∈ Z ⇔ x = \frac{2π}{3} k, k ∈ Z.

b) Cum cos x cos 3x = \frac{1}{2}[cos(x + 3x) + cos(x − 3x)] = \frac{1}{2}(cos 4x + cos 2x) se obtine

\frac{1}{2} cos 4x + \frac{1}{2} cos 2x = cos 4x,

sau cos 2x − cos 4x = 0, de unde rezulta

2 sin(−x) sin 3x = 0.

Ultima ecuatie este echivalenta cu totalitatea

[ \begin{matrix}sin x = 0, \\ sin 3x = 0, \end{matrix}

de unde x = \frac{πk}{3} , k ∈ Z (solutiile primei ecuatii se contin in solutiile ecuatiei secunde).

Metoda micsorarii puterii

Aceasta metoda utilizeaza formulele

cos^{2} x = \frac{1 + cos 2x}{2},  (27)

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

sin^{2} x = \frac{1 − cos 2x}{2},  (28)
sin^{4} x + cos^{4} x = 1 − \frac{1}{2} sin^{2} 2x,  (29)
sin^{6} x + cos^{6} x = 1 − \frac{3}{4} sin^{2} 2x,  (30)
sin^{8} x + cos^{8} x = cos^{2} 2x + \frac{1}{8} sin^{4} 2x,  (31)

in scopul micsorarii gradului ecuatiei ce urmeaza a fi rezolvate. Formulele (27) si (28) se utilizeaza si la rezolvarea ecuatiilor

sin^{2} ax + sin^{2} bx = sin^{2} cx + sin^{2} dx,  (32)
cos^{2} ax + cos^{2} bx = cos^{2} cx + cos^{2} dx,  (33)

daca numerele a, b, c si d verifica una din conditiile a + b = c + d sau a − b = c − d.

Exemplul 12. Sa se rezolve ecuatiile

a) cos^{2} x + cos^{2} 2x + cos^{2} 3x = \frac{3}{2};
b) sin^{4} 2x + cos^{4} 2x = sin 2x cos 2x;
c) cos^{6} x + sin^{6} x = cos 2x.

Rezolvare. a) Se utilizeaza formula (27) si se obtine ecuatia echivalenta

\frac{1 + cos 2x}{2} + \frac{1 + cos 4x}{2} + \frac{1 + cos 6x}{2} = \frac{3}{2}

sau cos 2x + cos 4x + cos 6x = 0.

Se grupeaza convenabil si se obtine

(cos 2x + cos 6x) + cos 4x = 0 ⇔ 2 cos 4x cos 2x + cos 4x = 0 ⇔

⇔ cos 4x(2 cos 2x + 1) = 0 ⇔ [ \begin{matrix}cos 4x = 0, \\ cos 2x = −\frac{1}{2}, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x = \frac{π}{8} + \frac{π}{4} n, & n ∈ Z, \\ x = ±\frac{π}{3} + πk, & k ∈ Z. \end{matrix}

b) Cum (a se vedea (29)) sin^{4} 2x + cos^{4} 2x = 1 − \frac{1}{2} sin^{2} 4x, iar sin 2x cos 2x = \frac{1}{2} sin 4x, ecuatia devine

1 − \frac{1}{2} sin^{2} 4x = \frac{1}{2} sin 4x

sau sin^{4} 2x + sin 4x − 2 = 0, de unde rezulta sin 4x = 1 si x = \frac{π}{8} + \frac{π}{2} n, n ∈ Z. c) Cum cos^{6} x + sin^{6} x = 1 − \frac{3}{4} sin^{2} 2x = 1 − \frac{3}{4}(1 − cos^{2} 2x) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} cos^{2} 2x, ecuatia devine

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

\frac{1}{4} + \frac{3}{4} cos^{2} 2x − cos 2x = 0 sau 3 cos^{2} 2x − 4 cos 2x + 1 = 0,

de unde rezulta totalitatea

[ \begin{matrix}cos 2x = 1, \\ cos 2x = \frac{1}{3}, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x = πn, n ∈ Z, \\ x = ±\frac{1}{2} arccos \frac{1}{3} + πk, k ∈ Z. \end{matrix}

Ecuatii de tipul

a sin x + b cos x = c, a · b · c ≠ 0.  (34)

Se propun urmatoarele metode de rezolvare a ecuatiilor de forma (34):

a) Reducerea la o ecuatie omogena de gradul al doilea in raport cu sin \frac{x}{2} si cos \frac{x}{2}.

Se scrie sin x = sin 2\frac{x}{2} = 2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2}, cos x = cos 2\frac{x}{2} = cos^{2} \frac{x}{2} − sin^{2} \frac{x}{2},

c = c · 1 = c · (sin^{2} \frac{x}{2} + cos^{2} \frac{x}{2})

si ecuatia (34) devine

(b + c) sin^{2} \frac{x}{2} − 2a sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2} + (c − b) cos^{2} \frac{x}{2} = 0,

- omogena de gradul 2 daca (c − b)(b + c) ≠ 0, sau, in caz contrar, se reduce la rezolvarea unei ecuatii omogene de gradul 1 si a unei ecuatii de tipul (2) sau (5).

Exemplul 13. Sa se rezolve ecuatiile

a) sin 2x + cos 2x = 1; b) sin x + cos x = \sqrt{2}.

Rezolvare. a) sin 2x + cos 2x = 1 ⇔ 2 sin x cos x + cos^{2} x − sin^{2} x = sin^{2} x + cos^{2} x ⇔ 2 sin x cos x − 2 sin^{2} x = 0 ⇔ 2 sin x(cos x − sin x) = 0 ⇔ [ \begin{matrix}sin x = 0, \\ cos x − sin x = 0, \end{matrix} ⇔

⇔ [ \begin{matrix}sin x = 0, \\ tg x = 1, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x = πk, k ∈ Z, \\ x = \frac{π}{4} + πn, n ∈ Z. \end{matrix}

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

b) sin x + cos x = \sqrt{2} ⇔ 2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2} + cos^{2} \frac{x}{2} − sin^{2} \frac{x}{2} = \sqrt{2} sin^{2} \frac{x}{2} + \sqrt{2} cos^{2} \frac{x}{2} ⇔

⇔ (\sqrt{2}+1) sin^{2} \frac{x}{2} −2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2} +(\sqrt{2}−1) cos^{2} \frac{x}{2} = 0 ⇔ (\sqrt{2}+1) tg^{2} x−2 tg x+\sqrt{2}−1 = 0 ⇔

⇔ tg x = \sqrt{2} − 1 ⇔ x = arctg(\sqrt{2} − 1) + πn, n ∈ Z.

b) Utilizarea formulelor

sin α = \frac{2 tg \frac{α}{2}}{1 + tg^{2} \frac{α}{2}} , cos α = \frac{1 − tg^{2} \frac{α}{2}}{1 + tg^{2} \frac{α}{2}} (α ≠ π + 2πk, k ∈ Z) .  (35)

Cu ajutorul formulelor indicate, ecuatia (34) se reduce al o ecuatie patrata in raport cu tg \frac{x}{2}. Se tine seama ca aplicarea acestor formule aduce la pierderea solutiilor α = π +2πk, k ∈ Z, din ce cauza se verifica (prin substituirea directa in ecuatia initiala), daca ele sunt sau ba solutii ale ecuatiei (34).

Exemplul 14. Sa se rezolve ecuatiile

a) sin 2x + cos 2x = 1; b) \sqrt{3} sin x + cos x = −1.

Rezolvare. a) Cum sin 2x = \frac{2 tg x}{1 + tg^{2} x}, cos 2x = \frac{1 − tg^{2} x}{1 + tg^{2} x}, (x ≠ \frac{π}{2} + πn, n ∈ Z) si cum

x = \frac{π}{2} + πn, n ∈ Z nu verifica ecuatia data, ecuatia este echivalenta cu ecuatia

\frac{2 tg x}{1 + tg^{2} x} + \frac{1 − tg^{2} x}{1 + tg^{2} x} = 1 sau 1 + tg^{2} x = 2 tg x + 1 − tg^{2} x,

de unde rezulta

[ \begin{matrix}tg x = 0, \\ tg x = 1, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x = πk, k ∈ Z, \\ x = \frac{π}{4} + πn, n ∈ Z. \end{matrix}

b) Se aplica formulele (35) si se obtine

\frac{2\sqrt{3} tg \frac{x}{2}}{1 + tg^{2} \frac{x}{2}} + \frac{1 − tg^{2} \frac{x}{2}}{1 + tg^{2} \frac{x}{2}} = −1,

x ≠ π + 2πk, k ∈ Z,

sau

\{ \begin{matrix}2\sqrt{3} tg \frac{x}{2} + 1 − tg^{2} \frac{x}{2} = 1 − tg^{2} \frac{x}{2}, \\ x ≠ π + 2πk, k ∈ Z, \end{matrix}

de unde \{ \begin{matrix}tg \frac{x}{2} = −\frac{1}{\sqrt{3}}, \\ x ≠ π + 2πk, \end{matrix} si x = −\frac{π}{3} + 2πn, n ∈ Z. Verificarea directa arata ca si

x = π + 2πk, k ∈ Z sunt solutii ale ecuatiei date. Asadar solutiile ecuatiei date sunt

x = −\frac{π}{3} + 2πk, x = π + 2πn, k, n ∈ Z.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

c) Metoda unghiului auxiliar.

Cum a · b · c ≠ 0 ecuatia (34) se scrie

\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} sin x + \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} cos x = \frac{c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}  (36)

si cum |\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} | ≤ 1, |\frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} | ≤ 1 si (\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} )^{2} + (\frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} )^{2} = 1 rezulta ca exista

un unghi α, astfel incat

cos α = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} si sin α = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}  (37)

sau un unghi β, astfel incat

sin β = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} si cos β = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} .  (38)

Atunci ecuatia (36) se scrie

sin(x + α) = \frac{c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} ,

sau

cos(x − β) = \frac{c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} .

Ultimile ecuatii nu prezinta greutati in rezolvare.

Nota. Se observa ca ecuatia (34) are solutii daca si numai daca |\frac{c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} | ≤ 1, iar valoarea maxima a functiei f(x) = a sin x + b cos x este \sqrt{a^{2} + b^{2}} si valoarea minima este −\sqrt{a^{2} + b^{2}}.

Exemplul 15. Sa se rezolve ecuatiile

a) sin 2x + cos 2x = 1; b) 3 sin x + 4 cos x = 5; c) sin 2x + cos 2x = \sqrt{3}. Rezolvare. a) sin 2x + cos 2x = 1 ⇔ \frac{1}{\sqrt{2}} sin 2x + \frac{1}{\sqrt{2}} cos 2x = \frac{1}{\sqrt{2}} ⇔

⇔ cos 2x cos \frac{π}{4} +sin 2x sin \frac{π}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} ⇔ cos (2x − \frac{π}{4} ) = \frac{1}{\sqrt{2}} ⇔ 2x− \frac{π}{4} = ±\frac{π}{4} +2πk, k ∈ Z ⇔

⇔ 2x = \frac{π}{4} ± \frac{π}{4} + 2πk, k ∈ Z ⇔ [ \begin{matrix}x = πn, n ∈ Z, \\ x = \frac{π}{4} + πk, k ∈ Z. \end{matrix}

b) 3 sin x + 4 cos x = 5 ⇔ \frac{3}{5} sin x + \frac{4}{5} cos x = 1 ⇔ \{ \begin{matrix}sin x cos α + cos x sin α = 1, \\ sin α = \frac{4}{5}; cos α = \frac{3}{5}, \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}sin(x + α) = 1, \\ tg α = \frac{4}{3}, \end{matrix} ⇔ x = \frac{π}{2} + 2πk − arctg \frac{4}{3}, k ∈ Z.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

c) Cum valoarea maxima a membrului din stanga ecuatiei este \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} si \sqrt{2} < \sqrt{3} rezulta ca ecuatia nu are solutii.

Ecuatii de tipul F (sin x ± cos x, sin x cos x) = 0.

Ecuatiile de asa tip se rezolva cu ajutorul substitutiei t = sin x ± cos x, |t| ≤ \sqrt{2}.

Exemplul 16. Sa se rezolve ecuatiile:

a) 2(sin x + cos x) + sin 2x + 1 = 0;

b) 1 − sin 2x = cos x − sin x;

c) \frac{1}{cos x} + \frac{1}{sin x} + \frac{1}{sin x cos x} = 5.

Rezolvare. a) Se noteaza t = sin x+cos x, atunci t^{2} = (sin x+cos x)^{2} = 1+sin 2x, si ecuatia devine 2t + t^{2} = 0, de unde t = 0 sau t = −2. Cum ecuatia sin x + cos x = −2 nu are solutii, ramane sin x + cos x = 0 - ecuatie omogena de gradul intai cu solutiile x = −\frac{π}{4} + πn, n ∈ Z.

b) Se noteaza cos x − sin x = t, atunci sin 2x = 1 − t^{2} si ecuatia devine t^{2} = t cu solutiile t = 0, t = 1. Asadar

[ \begin{matrix}cos x − sin x = 0, \\ cos x − sin x = 1, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}1 − tg x = 0, \\ cos (x + \frac{π}{4} ) = \frac{1}{\sqrt{2}}, \end{matrix} ⇔

⇔ [ \begin{matrix}x = \frac{π}{4} + πk, k ∈ Z, \\ x = −\frac{π}{4} ± \frac{π}{4} + 2πn, n ∈ Z \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x = \frac{π}{4} + πk, k ∈ Z, \\ x = 2πn, n ∈ Z, \\ x = −\frac{π}{2} + 2πm, m ∈ Z. \end{matrix}

c) DVA al ecuatiei este R \ \{\frac{π}{2} · n, n ∈ Z\}. In DVA ecuatia se scrie

sin x + cos x − 5 sin x cos x + 1 = 0.

Se noteaza t = sin x + cos x si se obtine ecuatia patrata

5t^{2} − 2t − 7 = 0,

cu solutiile t = −1 si t = \frac{7}{5}. Prin urmare sin x+cos x = −1, de unde x = \frac{π}{4} ± \frac{3π}{4} +2πm, m ∈ Z

(nu verifica DVA al ecuatiei) sin x + cos x = \frac{7}{5}, de unde x = \frac{π}{4} ± arccos \frac{7}{5\sqrt{2}} + 2πk, k ∈ Z.

Metoda descompunerii in factori

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Aceasta metoda este una din cele mai frecvente si presupune o cunoastere satisfacatoare a formulelor trigonometrice.

Exemplul 17. Sa se rezolve ecuatiile

a) sin^{3} x − cos^{3} x = cos 2x;

b) sin 3x − sin 2x + 2 cos x = 2 cos^{2} x − sin x;

c) 4 sin x + 2 cos x = 2 + 3 tg x.

Rezolvare. a) sin^{3} x − cos^{3} x = cos 2x ⇔ (sin x − cos x)(sin^{2} x + sin x cos x + cos^{2} x) = = cos^{2} x − sin^{2} x ⇔ (sin x − cos x)(1 + sin x cos x + (cos x + sin x)) = 0 ⇔

⇔ [ \begin{matrix}sin x − cos x = 0, \\ 1 + sin x cos x + (cos x + sin x) = 0, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}tg x = 1, \\ \{ & \begin{matrix}1 + \frac{t^{2} − 1}{2} + t = 0, \\ t = sin x + cos x, \end{matrix} \end{matrix} ⇔

⇔ [ \begin{matrix}x = \frac{π}{4} + πn, n ∈ Z, \\ \{ & \begin{matrix}t^{2} + 2t + 1 = 0, \\ t = sin x + cos x, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x = \frac{π}{4} + πk, k ∈ Z, \\ sin x + cos x = −1, \end{matrix} ⇔

⇔ [ \begin{matrix}x = \frac{π}{4} + πk, k ∈ Z, \\ x = −\frac{π}{2} + 2πn, n ∈ Z, \\ x = π + 2πm, m ∈ Z. \end{matrix}

b) Se trec toti termenii in stanga ecuatiei si se grupeaza convenabil:

(sin 3x + sin x) + 2 cos x − (sin 2x + 2 cos^{2} x) = 0.

Se utilizeaza formulele sumei sinusurilor si sinusului unghiului dublu si se obtine

(2 sin 2x cos x + 2 cos x) − (2 sin x cos x + 2 cos^{2} x) = 0

sau

2 cos x · [(sin 2x + 1) − (sin x + cos x)] = 0.

Se tine seama ca sin 2x + 1 = 2 sin x cos x + sin^{2} x + cos^{2} x = (sin x + cos x)^{2} si ecuatia devine

2 cos x[(sin x + cos x)^{2} − (sin x + cos x)] = 0

sau 2 cos x(sin x + cos x)(sin x + cos x − 1) = 0, de unde se obtine totalitatea

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

cos x = 0,
sin x + cos x = 0,
sin x + cos x − 1 = 0.

Din prima ecuatie a totalitatii se obtine x = \frac{π}{2} +πk, k ∈ Z. Cea secunda reprezinta o ecuatie trigonometrica omogena de gradul intai cu solutiile x = −\frac{π}{4} + πm, m ∈ Z. Ecuatia a treia se rezolva, de exemplu, prin metoda introducerii unghiului auxiliar si are solutiile x = 2πn, n ∈ Z si x = \frac{π}{2} + 2πl, l ∈ Z. Ultimul set de solutii se contine in multimea solutiilor primei ecuatii si prin urmare multimea solutiilor ecuatiei initiale este

x = \frac{π}{2} + πk, x = \frac{π}{4} + πm, x = 2πn, k, m, n ∈ Z.

c) DVA al ecuatiei este R \ \{\frac{π}{2} + πk, k ∈ Z\} (cos x ≠ 0). Ecuatia se scrie

4 sin x + 2 cos x = 2 + 3\frac{sin x}{cos x}

sau

4 sin x cos x + 2 cos^{2} x − 2 cos x − 3 sin x = 0.

Se grupeaza convenabil:

2 cos x(2 sin x − 1) + (2 cos^{2} x − 3 sin x) = 0,

sau, cum 2 cos^{2} x = 2(1 − sin^{2} x) = 2 − 2 sin^{2} x,

2 cos x(2 sin x − 1) + (2 − 3 sin x − 2 sin^{2} x) = 0.

Cum 2 − 3 sin x − 2 sin^{2} x = 2 − 4 sin x + sin x − 2 sin^{2} x = 2(1 − 2 sin x) + sin x(1 − 2 sin x) = = (1 − 2 sin x)(2 + sin x), ecuatia devine

2 cos x(2 sin x − 1) + (1 − 2 sin x)(2 + sin x) = 0,

sau

(2 sin x − 1)(2 cos x − sin x − 2) = 0.

Cum 2 cos x − sin x − 2 = 2(cos x − 1) − sin x = 2 · (−2 sin^{2} \frac{x}{2}) − 2 sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2} =

= −2 sin \frac{x}{2} (2 sin \frac{x}{2} + cos \frac{x}{2}), ecuatia se scrie

−2(2 sin x − 1) sin \frac{x}{2} (2 sin \frac{x}{2} + cos \frac{x}{2}) = 0.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

de unde rezulta sin x = \frac{1}{2}, cu solutiile x = (−1)^{n} \frac{π}{6} + πn, n ∈ Z,

sin \frac{x}{2} = 0, cu solutiile x = 2πm, m ∈ Z, 2 sin \frac{x}{2} + cos \frac{x}{2} = 0, cu solutiile x = −2 arctg \frac{1}{2} + 2πk, k ∈ Z.

Toate solutiile obtinute verifica DVA al ecuatiei.

In incheiere vom prezenta unele metode utile de rezolvare a ecuatiilor trigonometrice.

Exemplul 18. Sa se rezolve ecuatiile:

a) cos x + cos 2x + cos 3x + … + cos nx = n, n ∈ N, n ≥ 1;

b) sin x + sin 2x + sin 3x + … + sin nx = n, n ∈ N, n ≥ 2;

c) sin^{11} x + cos^{11} x = 1;

d) sin^{10} x − cos^{7} x = 1;

e) sin \frac{x}{2} cos 2x = −1;

f) 3 sin 2x + 4 cos 6x cos 2x + 2 sin 10x = 7;

g) sin 2x (cos \frac{x}{2} − 2 sin 2x) + cos 2x (1 + sin \frac{x}{2} − 2 cos 2x) = 0;

h) 4 sin^{2} x − 4 sin^{2} 3x sin x + sin^{2} 3x = 0;

i) \sqrt{\frac{1}{16} + cos^{4} x − \frac{1}{2} cos^{2} x} + \sqrt{\frac{9}{16} + cos^{4} x − \frac{3}{2} cos^{2} x} = \frac{1}{2};

j) cos x cos 2x cos 4x cos 8x = \frac{1}{16}.

Rezolvare. a) Cum pentru orice m natural | cos mx| ≤ 1, membrul din stanga ecuatiei va fi egal cu n daca si numai daca fiecare termen va fi egal cu unu. Asadar rezulta sistemul

\{ \begin{matrix}cos x = 1, \\ cos 2x = 1, \\ … \\ cos nx = 1 \end{matrix}

cu solutiile x = 2πk, k ∈ Z.

b) Se rezolva similar exemplului a) si se obtine sistemul

\{ \begin{matrix}sin x = 1, \\ sin 2x = 1, \\ … \\ sin nx = 1, \end{matrix}

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

care este incompatibil. Intr-adevar, solutiile primei ecuatii: x = \frac{π}{2} + 2πn, n ∈ Z nu verifica a

doua ecuatie a sistemului: sin 2 (\frac{π}{2} + 2πn) = sin(π + 4πn) = 0 ≠ 1. Prin urmare ecuatia nu are solutii.

c) Cum sin^{11} x ≤ sin^{2} x, cos^{11} x ≤ cos^{2} x implica sin^{11} x + cos^{11} x ≤ sin^{2} x + cos^{2} x, sau sin^{11} x + cos^{11} x ≤ 1, iar in ultima inegalitate semnul egalitatii se atinge daca si numai daca

\{ \begin{matrix}sin x = 0, \\ cos x = 1, \end{matrix}
\{ \begin{matrix}sin x = 1, \\ cos x = 0. \end{matrix}

rezulta ca ecuatia are solutiile x = 2πm, m ∈ Z (din primul sistem al totalitatii) si x = \frac{π}{2} + 2πn, n ∈ Z (din sistemul secund).

d) Se utilizeaza acelasi procedeu ca si in exemplul precedent: sin^{10} x ≤ sin^{2} x, − cos^{7} x ≤ cos^{2} x, de unde sin^{10} x − cos^{7} x ≤ 1 si, prin urmare, semnul egalitatii se atinge cand

\{ \begin{matrix}sin^{10} x = sin^{2} x, \\ − cos^{7} x = cos^{2} x, \end{matrix}

adica sin x ∈ \{0; −1; 1\}, iar cos x ∈ \{0; −1\}. Asadar se obtine x = \frac{π}{2} + πn; x = π + 2πm, n, m ∈ Z.

e) Cum |sin \frac{x}{2}| ≤ 1, | cos 2x| ≤ 1, membrul din stanga ecuatiei va fi egal cu minus unu, daca si numai daca

\{ \begin{matrix}sin \frac{x}{2} = 1, \\ cos 2x = −1, \end{matrix}

\{ \begin{matrix}sin \frac{x}{2} = −1, \\ cos 2x = 1. \end{matrix}

Din sin \frac{x}{2} = 1, rezulta x = π + 4πn si atunci cos 2x = cos(2π + 8πn) = 1 ≠ −1, adica

primul sistem al totalitatii este incompatibil. Din sin \frac{x}{2} = −1 rezulta x = −π + 4πk si atunci cos 2(−π + 4πk) = cos 2π = 1, deci x = −π + 4πk, k ∈ Z sunt solutiile sistemului (si ecuatiei enuntate).

f) Cum 3 sin 2x+4 cos 6x cos 2x ≤ 3 sin 2x+4 cos 2x ≤ 5 (a se vedea nota la Metoda unghiului auxiliar), 2 sin 10x ≤ 2 se obtine 3 sin 2x + 4 cos 6x cos 2x + 2 sin 10x ≤ 7, si semnul egalitatii se atinge doar pentru

\{ \begin{matrix}| cos 6x| = 1, \\ sin 10x = 1, \end{matrix} sau \{ \begin{matrix}sin 6x = 0, \\ sin 10x = 1, \end{matrix}

de unde

\{ \begin{matrix}x = \frac{πn}{6}, n ∈ Z, \\ x = \frac{π}{20} + \frac{πm}{10}, m ∈ Z. \end{matrix}

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Ultimul sistem este incompatibil. In adevar

\frac{πn}{6} = \frac{π}{20} + \frac{πm}{10}, n, m ∈ Z

conduce la ecuatia in numere intregi

10n = 3 + 6m sau 10n − 6m = 3

care nu are solutii: diferenta a doua numere pare nu este un numar impar. Prin urmare ecuatia enuntata nu are solutii.

g) Ecuatia se scrie

sin (2x + \frac{x}{2}) − 2(sin^{2} 2x + cos^{2} 2x) + cos 2x = 0

sau

sin \frac{5x}{2} + cos 2x = 2.

Membrul din stanga nu intrece doi (sin \frac{5x}{2} ≤ 1, cos 2x ≤ 1), prin urmare ecuatia are solutii daca si numai daca

\{ \begin{matrix}sin \frac{5x}{2} = 1, \\ cos 2x = 1, \end{matrix} sau \{ \begin{matrix}x = \frac{π}{5} + \frac{4πk}{5} , k ∈ Z \\ x = πn, n ∈ Z. \end{matrix}

Sistemul obtinut (si deci si ecuatia initiala) are solutii daca vor exista asa n, k ∈ Z astfel incat

\frac{π}{5} + \frac{4πk}{5} = πn,

sau

1 + 4k = 5n

de unde 4k = 5n − 1 sau 4k = 4n + (n − 1). Asadar, n − 1 urmeaza a fi divizibil prin 4, adica

n − 1 = 4s, s ∈ Z

de unde n = 4s + 1 si cum 1 + 4k = 5n, adica 4k = 5(4s + 1) − 1 se obtine k = 5s + 1, si

x = π + 4πs, s ∈ Z.

h) Membrul din stanga ecuatiei se considera trinom patrat in raport cu sin x. Discriminantul acestui trinom este

D = 16 sin^{4} 3x − 16 sin^{2} 3x,

de unde rezulta ca ecuatia enuntata va avea solutii doar pentru sin^{2} 3x ≤ 0 sau sin^{2} 3x ≥ 1. Prin urmare (cum sin^{2} α ≥ 0 si sin^{2} β ≤ 1) ecuatia poate avea solutii doar daca sin^{2} 3x = 0 sau sin^{2} 3x = 1 adica x = \frac{πn}{3} respectiv x = \frac{π}{6} + \frac{π}{3} m, n, m ∈ Z.

Se substituie in ecuatie si se obtine 1. 4 sin^{2} \frac{π}{3} · n − 4 sin^{2} πn · sin \frac{π}{3} n + sin^{2} πn = 0. Cum sin^{2} πn = 0, ramane 4 sin^{2} \frac{π}{3} n = 0, de

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

unde n = 3m, m ∈ Z, adica din primul set se obtine solutiile x = πm, m ∈ Z.

2. 4 sin^{2} (\frac{π}{6} + \frac{π}{3} m) − 4 sin^{2} (\frac{π}{2} + πm) sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{3} m) + sin^{2} (\frac{π}{2} + πn) = 0.

Cum sin^{2} (\frac{π}{2} + πm) = cos^{2} πm = 1, se obtine

4 sin^{2} (\frac{π}{6} + \frac{π}{3} m) − 4 sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{3} m) + 1 = 0

adica

(2 sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{3} m) − 1)^{2} = 0,

de unde rezulta x = \frac{π}{6} + πk sau x = \frac{5π}{6} + πk, k ∈ Z adica x = (−1)^{k} \frac{π}{6} + πk, k ∈ Z.

Asadar solutiile ecuatiei date sunt

x = πn, n ∈ Z, x = (−1)^{n} \frac{π}{6} + πk, k ∈ Z.

i) Se noteaza cos^{2} x = t si ecuatia devine

\frac{\sqrt{16t^{2} − 8t + 1}}{4} + \frac{\sqrt{16t^{2} − 24t + 9}}{4} = \frac{1}{2}

sau

\sqrt{(4t − 1)^{2}} + \sqrt{(4t − 3)^{3}} = 2,

de unde

|4t − 1| + |4t − 3| = 2.

Se tine seama ca |4t − 3| = |3 − 4t| si 2 = |2| = |4t − 1 + 3 − 4t| si utilizand proprietatile modulului se obtine inecuatia

(4t − 1)(3 − 4t) ≥ 0,

de unde

\frac{1}{4} ≤ t ≤ \frac{3}{4},

adica \frac{1}{4} ≤ cos^{2} x ≤ \frac{3}{4} sau \frac{1}{2} ≤ | cos x| ≤ \frac{\sqrt{3}}{2}. Din ultima inecuatie se obtine (a se vedea tema Inecuatii trigonometrice) solutiile ecuatiei enuntate

x ∈ \{\frac{π}{6} + πk; \frac{π}{3} + πk\} ∪ \{πk − \frac{π}{3} ; πk − \frac{π}{6} \} , k ∈ Z.

j) Cum x = πk, k ∈ Z nu sunt solutii ale ecuatiei date (cos πk = ±1, cos 2πk = cos 4πk = = cos 8πk = 1) se multiplica ambii membri ai ecuatiei cu 16 sin x si se utilizeaza formula sinusului unghiului dublu

16 sin x cos x cos 2x cos 4x cos 8x = sin x, 8 sin 2x cos 2x cos 4x cos 8x = sin x, 4 sin 4x cos 4x cos 8x = sin x, 2 sin 8x cos 8x = sin x, sin 16x = sin x,

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

sau sin 16x − sin x = 0, 2 sin \frac{15x}{2} cos \frac{17x}{2} = 0, de unde sin \frac{15x}{2} = 0, x = \frac{2πk}{15} , k ∈ Z, k ≠ 15s, s ∈ Z (deoarece x ≠ πm) si cos \frac{17x}{2} = 0, x = \frac{π}{17} + \frac{2πm}{17}, m ∈ Z, m ≠ 17s+8, s ∈ Z.

Exercitii pentru autoevaluare

Sa se rezolve ecuatiile

1. 2 sin^{2} x − 1 = cos x;

2. 7 tg x − 4 ctg x = 12;

3. tg^{2} x − 3 tg x + 2 = 0;

4. 6 cos^{2} x + 5 cos x + 1 = 0;

5. sin^{2} x − cos^{2} x = cos x;

6. 3 cos^{2} x + 4 sin x cos x + 5 sin^{2} x = 2;

7. 3 cos^{2} x − sin^{2} x − 2 sin x cos x = 0;

8. cos 2x cos x = sin 7x sin 6x + 8 cos \frac{3π}{2} ;

9. cos 3x cos 6x = cos 5x cos 8x;

10. sin^{2} x + sin^{2} 2x = sin^{2} 3x + sin^{2} 4x;

11. \frac{1}{2}(sin^{4} x + cos^{4} x) = sin^{2} x cos^{2} x + sin x cos x − \frac{1}{2};

12. cos 3x = cos x;

13. sin 2x = sin x;

14. sin 5x = cos 13x;

15. cos^{2} x + 3| cos x| − 4 = 0;

16. 8 sin^{2} x cos^{2} x + 4 sin 2x − 1 = (sin x + cos x)^{2};

17. sin 3x + sin x = \sqrt{2} cos x;

18. 8 cos^{4} x = 3 + 5 cos^{4} x; 19. 2\sqrt{3} sin 2x(3 + cos 4x) = 7 sin 4x;

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

20. 2 sin 4x − 3 sin^{2} 2x = 1;

21. cos^{2} x + cos^{2} \frac{3x}{4} + cos^{2} \frac{x}{2} + cos^{2} \frac{x}{4} = 2;

22. 6 cos^{2} x + cos 3x = cos x;

23. sin 2x + cos 2x + sin x + cos x + 1 = 0;

24. tg 2x = 4 cos^{2} x − ctg x;

25. \sqrt{1 + sin 2x} − \sqrt{2} cos 3x = 0.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md