Ecuatii si inecuatii de gradul al doilea si reductibile la gradul al doilea

Ecuatii de gradul al doilea

Ecuatia de forma

ax^{2} + bx + c = 0,  (1)

unde a, b, c ∈ R, a ≠ 0, x - variabila, se numeste ecuatie de gradul al doilea (ecuatia patrata).

Numerele a, b si c din (1) se numesc coeficienti ai ecuatiei de gradul al doilea, iar numarul Δ = b^{2} − 4ac se numeste discriminant al ecuatiei de gradul al doilea.

Exemplul 1. Ecuatiile ce urmeaza sunt ecuatii de gradul al doilea:

a) 6x^{2} + 5x + 1 = 0, cu a = 6, b = 5, c = 1 si Δ = 5^{2} − 4 · 6 · 1 = 1;

b) 9x^{2} − 12x + 4 = 0, cu a = 9, b = −12, c = 4 si Δ = (−12)^{2} − 4 · 9 · 4 = 0;

c) x^{2} − x − 2 = 0, cu a = 1, b = −1, c = −2 si Δ = (−1)^{2} − 4 · 1 · (−2) = 9;

d) − \frac{1}{2}x^{2} + \sqrt{3}x − 4 = 0, cu a = −\frac{1}{2}, b = \sqrt{3}, c = −4 si Δ = (\sqrt{3})^{2} − 4 (−\frac{1}{2}) (−4) = −5.

Ecuatiile de gradul al doilea pot fi rezolvate conform urmatoarei afirmatii: Afirmatia 1. Daca

a) discriminantul ecuatiei (1) este pozitiv, atunci ecuatia (1) are doua radacini distincte:

x_{1} = \frac{−b − \sqrt{Δ}}{2a} si x_{2} = \frac{−b + \sqrt{Δ}}{2a};  (2)

b) discriminantul ecuatiei (1) este egal cu zero, atunci ecuatia (1) are doua radacini egale (o radacina de multiplicitatea doi):

x_{1} = x_{2} = −\frac{b}{2a};  (3)

c) discriminantul ecuatiei (1) este negativ, atunci ecuatia (1) nu are radacini reale.

Asadar, (a se vedea exemplul 1):

1. ecuatia a) are doua radacini distincte x_{1} = −\frac{1}{2} si x_{2} = −\frac{1}{3};

2. ecuatia b) are doua radacini egale x_{1} = x_{2} = \frac{2}{3};

3. ecuatia c) are doua radacini distincte x_{1} = −1 si x_{2} = 2;

4. ecuatia d) nu are radacini reale.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Ecuatia de gradul al doilea cu a = 1 se numeste ecuatie patrata redusa si se noteaza de regula

x^{2} + px + q = 0  (4)

si formulele (2) si (3) de calcul ale radacinilor devin

x_{1,2} = −\frac{p}{2} ± \sqrt{(\frac{p}{2})^{2} − q}, (Δ > 0)  (5)
x_{1} = x_{2} = −\frac{p}{2}, (Δ = 0).  (6)

Ecuatiile de forma

ax^{2} + bx = 0,  (7)
ax^{2} + c = 0.  (8)

se numesc ecuatii de gradul al doilea incomplete. Ecuatiile (7), (8) pot fi rezolvate cu ajutorul afirmatiei 1 sau altfel, mai simplu:

ax^{2} + bx = 0 ⇔ x(ax + b) = 0 ⇔ [ \begin{matrix}x_{1} = 0; \\ x_{2} = −\frac{b}{a}. \end{matrix}

ax^{2} + c = 0 ⇔ x^{2} = −\frac{c}{a} ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}x_{1,2} = ±\sqrt{−\frac{c}{a}}, \\ ac ≤ 0, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}x ∈ ∅, \\ ac > 0. \end{matrix} \end{matrix}

Exemplul 2. Sa se rezolve ecuatiile

a) 2x^{2} − 7x = 0;  b) 9x^{2} − 25 = 0;  c) \sqrt{2}x^{2} + 3 = 0.

Rezolvare. a) 2x^{2} − 7x = 0 ⇔ x(2x − 7) = 0 ⇔ [ \begin{matrix}x_{1} = 0, \\ x_{2} = \frac{7}{2}; \end{matrix}

b) 9x^{2} − 25 = 0 ⇔ 9x^{2} = 25 ⇔ x^{2} = \frac{25}{9} ⇔ x_{1,2} = ±\frac{5}{3};

c) \sqrt{2}x^{2} + 3 = 0 ⇔ x^{2} = −\frac{3}{\sqrt{2}}, de unde rezulta ca ecuatia nu are radacini (membrul din

stanga egalitatii este nenegativ, iar cel din dreapta - negativ).

In continuare vom analiza cateva exemple de ecuatii ce se reduc la rezolvarea ecuatiilor de gradul al doilea.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Ecuatii bipatrate.

Ecuatia de forma

ax^{4} + bx^{2} + c = 0  (9)

unde a, b, c ∈ R, a ≠ 0, x - variabila, se numeste ecuatie bipatrata. Prin substitutia x^{2} = t (atunci x^{4} = t^{2}) ecuatia bipatrata se reduce la o ecuatie de gradul al doilea.

Exemplul 3. Sa se rezolve ecuatiile

a) x^{4} − 29x^{2} + 100 = 0;  b) x^{4} + x^{2} − 6 = 0;  c) 2x^{4} − 3x^{2} + 4 = 0.

Rezolvare. a) Se noteaza x^{2} = t, atunci x^{4} = t^{2} si se obtine o ecuatie de gradul al doilea in t:

t^{2} − 29t + 100 = 0

cu solutiile t_{1} = 4 si t_{2} = 25. Astfel se obtine totalitatea de ecuatii

[ \begin{matrix}x^{2} = 4, \\ x^{2} = 25, \end{matrix}

de unde rezulta solutiile x = ±2 si x = ±5.

b) Se procedeaza similar exemplului precedent si se obtine ecuatia patrata t^{2} + t − 6 = 0 cu solutiile t = −3 si t = 2. Cum t = x^{2} ≥ 0, ramane t = 2 sau x^{2} = 2, de unde x = ±\sqrt{2}.

c) Se utilizeaza substitutia t = x^{2}, si se obtine ecuatia de gradul al doilea in t, 2t^{2}−3t+4 = 0 care nu are solutii reale. Prin urmare, si ecuatia enuntata nu are solutii reale.

Ecuatii simetrice de gradul patru.

Ecuatiile de forma

ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + bx + a = 0  (10)

unde a, b, c ∈ R, a ≠ 0 se numesc ecuatii simetrice de gradul patru.

Prin intermediul substitutiei t = x + \frac{1}{x} acest tip de ecuatii se reduce la ecuatii de gradul al

doilea. In adevar, cum x = 0 nu este solutie a ecuatiei (10) (a ≠ 0), multiplicand cu \frac{1}{x^{2}} ambii membri ai ecuatiei, se obtine ecuatia echivalenta

ax^{2} + bx + c + \frac{b}{x} + \frac{a}{x^{2}} = 0

sau

a (x^{2} + \frac{1}{x^{2}} ) + b (x + \frac{1}{x}) + c = 0.

Se noteaza x + \frac{1}{x} = t atunci |t| ≥ 2 si cum x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} − 2 = t^{2} − 2, ecuatia devine

a(t^{2} − 2) + bt + c = 0,

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

adica o ecuatie de gradul al doilea, rezolvarea careia nu prezinta greutati.

Nota. Ecuatia ax^{4} ∓ bx^{3} ± cx^{2} ± bx + a = 0 se reduce la o ecuatie utilizand substitutia

t = x − \frac{1}{x}.

Exemplul 4. Sa se rezolve ecuatiile

\begin{matrix}a) x^{4} + 5x^{3} + 2x^{2} + 5x + 1 = 0, \\ b) 2x^{4} + 3x^{3} − 4x^{2} − 3x + 2 = 0. \end{matrix}

Rezolvare. a) Ecuatia data este o ecuatie simetrica de gradul patru. Cum x = 0 nu e solutie, ecuatia este echivalenta cu ecuatia (se divide la x^{2} ≠ 0 si se grupeaza convenabil)

x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 5 (x + \frac{1}{x}) + 2 = 0.

Se noteaza t = x + \frac{1}{x}, |t| ≥ 2, atunci x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = t^{2} − 2 si ecuatia devine

t^{2} − 2 + 5t + 2 = 0

sau t^{2} + 5t = 0, cu solutiile t_{1} = −5, t_{2} = 0 (nu se verifica conditia |t| ≥ 2). Prin urmare,

x + \frac{1}{x} = −5,

de unde rezulta ecuatia patrata x^{2} + 5x + 1 = 0 cu solutiile x_{1} = \frac{−5 − \sqrt{21}}{2} si x_{2} = \frac{−5 + \sqrt{21}}{2}.

b) Cum x = 0 nu este solutie a ecuatiei date, se divide cu x^{2} si se obtine ecuatia

2 (x^{2} + \frac{1}{x^{2}} ) + 3 (x − \frac{1}{x}) − 4 = 0.

Se noteaza t = x − \frac{1}{x}, atunci x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x − \frac{1}{x})^{2} + 2 = t^{2} + 2 si se obtine ecuatia patrata

2(t^{2} + 2) + 3t − 4 = 0 sau 2t^{2} + 3t = 0,

cu solutiile t_{1} = 0 si t_{2} = −\frac{3}{2}. Prin urmare

[ \begin{matrix}x − \frac{1}{x} = 0, \\ x − \frac{1}{x} = −\frac{3}{2}. \end{matrix}

Din prima ecuatie a sistemului se obtine x_{1} = −1 si x_{2} = 1, iar din a doua x_{3} = −2 si x_{4} = \frac{1}{2}.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Ecuatii reversibile

Ecuatia

ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e = 0,  (11)

unde \{a, b, c, d\} ⊂ R, a ≠ 0, b ≠ 0 si \frac{e}{a} = (\frac{d}{b})^{2} se numeste ecuatie reversibila de gradul patru. Acest tip de ecuatii se reduc la ecuatii de gradul al doilea utilizand substitutia t = x + \frac{d}{bx}. Exemplul 5. Sa se rezolve ecuatia

x^{4} + x^{3} − 6x^{2} − 2x + 4 = 0.

Rezolvare. Se observa ca (\frac{4}{1}) = (\frac{−2}{1})^{2} si prin urmare ecuatia este o ecuatie reversibila de gradul patru. Cum x = 0 nu este soltuie, se divide la x^{2} (si nu se pierd solutii), si se obtine ecuatia

x^{2} + \frac{4}{x^{2}} + x − \frac{2}{x} − 6 = 0.

Se noteaza t = x − \frac{2}{x}, atunci t^{2} = x^{2} + \frac{4}{x^{2}} − 4, de unde x^{2} + \frac{4}{x^{2}} = t^{2} + 4 si se obtine ecuatia de gradul al doilea

t^{2} + 4 + t − 6 = 0 sau t^{2} + t − 2 = 0

cu solutiile t_{1} = −2 si t_{2} = 1. Astfel se obtine totalitatea

[ \begin{matrix}x − \frac{2}{x} = −2, \\ x − \frac{2}{x} = 1, \end{matrix}

sau, echivalent (x ≠ 0)

[ \begin{matrix}x^{2} + 2x − 2 = 0, \\ x^{2} − x − 2 = 0, \end{matrix}

de unde se obtin solutiile x = −1 ± \sqrt{3}, x = −1 si x = 2.

Ecuatii de forma

(x + a)^{4} + (x + b)^{4} = c.  (12)

Se utilizeaza substitutia t = x + \frac{a + b}{2} si se reduce la o ecuatie bipatrata in raport cu t. Exemplul 6. Sa se rezolve ecuatia

(x + 3)^{4} + (x − 1)^{4} = 82.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Rezolvare. Se utileaza substitutia t = x+ \frac{3 + (−1)}{2} = x+1 si se obtine ecuatia echivalenta in t:

(t + 2)^{4} + (t − 2)^{4} = 82

sau

t^{4} + 8t^{3} + 24t^{2} + 32t + 16 + t^{4} − 8t^{3} + 24t^{2} − 32t + 16 − 82 = 0

de unde rezulta ecuatia bipatrata

t^{4} + 24t^{2} − 25 = 0

cu solutia t^{2} = 1, de unde t = ±1 si x + 1 = ±1 conduce la solutiile x = −2 si x = 0.

Ecuatia de forma

(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m  (13)

unde a + b = c + d.

Acest tip de ecuatii se reduce la ecuatii de gradul doi utilizand esential conditia a+b = c+d. In adevar,

\begin{matrix}(x + a)(x + b) = x^{2} + (a + b)x + ab \\ (x + c)(x + d) = x^{2} + (c + d)x + cd = x^{2} + (a + b)x + cd \end{matrix}

si notand x^{2}+(a+b)x = t (sau x^{2}+(a+b)x+ab = t) se obtine ecuatia patrata (t+ab)(t+cd) = m (respectiv t(t + cd − ab) = m).

Exemplul 7. Sa se rezolve ecuatia

(x − 2)(x + 1)(x + 4)(x + 7) = 19.

Rezolvare. Se observa ca −2 + 7 = 1 + 4, se grupeaza convenabil

[(x − 2)(x + 7)] · [(x + 1)(x + 4)] = 19

si se deschid parantezele rotunde

[x^{2} + 5x − 14][x^{2} + 5x + 4] = 19.

Se noteaza t = x^{2} + 5x − 14, atunci x^{2} + 5x + 4 = t + 18 si ecuatia devine

t(t + 18) = 19 sau t^{2} + 18t − 19 = 0

cu solutiile t = −19 si t = 1. Asadar, se obtine totalitatea de ecuatii

[ \begin{matrix}x^{2} + 5x − 14 = −19, \\ x^{2} + 5x − 14 = 1, \end{matrix}

cu solutiile x_{1,2} = \frac{−5 ± \sqrt{5}}{2} si x_{3,4} = \frac{−5 ± \sqrt{85}}{2}.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Ecuatii fractionar-rationale

Exemplul 8. Sa se rezolve ecuatiile:

a) \frac{3x + 4}{5x − 4} − \frac{2x − 1}{x + 3} = 0;

b) \frac{x − 1}{(x − 2)(x − 3)} + \frac{1}{x − 2} + 1 = 0;

c) \frac{1}{x − 6} + \frac{1}{x − 4} + \frac{1}{x − 5} + \frac{1}{x − 3} = 0;

d) \frac{x + 1}{x − 1} + \frac{x + 5}{x − 5} = \frac{x + 3}{x − 3} + \frac{x + 4}{x − 4}.

Rezolvare. a) DVA al ecuatiei este R \ \{−3; \frac{4}{5}\}. In DVA ecuatia este echivalenta cu

ecuatia (se multiplica ambii membri ai ecuatiei cu (5x − 4)(x + 3)):

(3x + 4)(x + 3) − (2x − 1)(5x − 4) = 0

de unde, deschizand parantezele, se obtine ecuatia patrata

7x^{2} − 26x − 8 = 0

cu solutiile x_{1} = −\frac{2}{7} si x_{2} = 4. Ambele solutii verifica DVA.

b) DVA al ecuatiei este R \ {2; 3}. Se multiplica ambii membri ai ecuatiei cu (x − 2)(x − 3) (in DVA acest produs este diferit de zero) si se obtine ecuatia

x − 1 + (x − 2)(x − 3) + x − 3 = 0

sau

x^{2} − 3x + 2 = 0

cu solutiile x_{1} = 1 si x_{2} = 2. Cum ultima radacina nu verifica DVA ramane x = 1. c) DVA al ecuatiei este R \ {3; 4; 5; 6}. Se grupeaza convenabil

(\frac{1}{x − 6} + \frac{1}{x − 3}) + (\frac{1}{x − 4} + \frac{1}{x − 5}) = 0

si se aduce la numitor comun in fiecare paranteza

\frac{2x − 9}{(x − 6)(x − 3)} + \frac{2x − 9}{(x − 4)(x − 5)} = 0.

Se multiplica cu (x − 6)(x − 3)(x − 4)(x − 5) (≠ 0 pe DVA) si se obtine ecuatia

(2x − 9)(x − 4)(x − 5) + (2x − 9)(x − 6)(x − 3) = 0

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

sau

(2x − 9)[(x − 4)(x − 5) + (x − 6)(x − 3)] = 0,

de unde rezulta totalitatea de ecuatii

[ \begin{matrix}2x − 9 = 0, \\ x^{2} − 9x + 19 = 0 \end{matrix}

cu solutiile x = \frac{9}{2}, x = \frac{9 ± \sqrt{5}}{2}.

d) DVA al ecuatiei este R \ {1; 3; 4; 5}. Se evidentiaza partea intreaga a fiecarui termen al ecuatiei:

\frac{x − 1 + 2}{x − 1} + \frac{x − 5 + 10}{x − 5} = \frac{x − 3 + 6}{x − 3} + \frac{x − 4 + 8}{x − 4}

sau

1 + \frac{2}{x − 1} + 1 + \frac{10}{x − 5} = 1 + \frac{6}{x − 3} + 1 + \frac{8}{x − 4}

de unde

\frac{1}{x − 1} + \frac{5}{x − 5} = \frac{3}{x − 3} + \frac{4}{x − 4}

sau

\frac{1}{x − 1} − \frac{3}{x − 3} = \frac{4}{x − 4} − \frac{5}{x − 5}.

Se aduce in fiecare membru la numitor comun si se obtine

\frac{−2x}{(x − 1)(x − 3)} = \frac{−x}{(x − 4)(x − 5)}

sau

2x(x − 4)(x − 5) − x(x − 1)(x − 3) = 0,

de unde rezulta totalitatea de ecuatii

[ \begin{matrix}x = 0, \\ x^{2} − 14x + 37 = 0, \end{matrix}

cu solutiile x_{1} = 0 si x_{2,3} = 7 ± 2\sqrt{3} (toate solutiile sunt din DVA).

Ecuatii de forma

\frac{px}{ax^{2} + bx + c} + \frac{qx}{ax^{2} + dx + c} = r, (r ≠ 0).  (14)

Acest tip de ecuatii se reduc la ecuatii patrate utilizand substitutia t = ax + \frac{c}{x}.

Exemplul 9. Sa se rezolve ecuatia

\frac{2x}{2x^{2} − 5x + 3} + \frac{13x}{2x^{2} + x + 3} = 6.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Rezolvare. DVA al ecuatiei este R \ \{1; \frac{3}{2}\}. Cum x = 0 nu este solutie a acestei ecuatii, ecuatia se scrie

\frac{2}{2x − 5 + \frac{3}{x}} + \frac{13}{2x + 1 + \frac{3}{x}} = 6

(numaratorul si numitorul fractiilor din membrul stang al ecuatiei se divid cu x). Se noteaza t = 2x + \frac{3}{x} si ecuatia devine

\frac{2}{t − 5} + \frac{13}{t + 1} = 6

sau 2(t + 1) + 13(t − 5) = 6(t − 5)(t + 1), de unde rezulta ecuatia patrata

6t^{2} − 39t + 33 = 0 sau 2t^{2} − 13t + 11 = 0

cu solutiile t_{1} = 1 si t_{2} = \frac{11}{2} (ambele solutii verifica restrictiile t ≠ 5 si t ≠ −1). Prin urmare, se obtine totalitatea de ecuatii

[ \begin{matrix}2x + \frac{3}{x} = 1, \\ 2x + \frac{3}{x} = \frac{11}{2}, \end{matrix} sau [ \begin{matrix}2x^{2} − x + 3 = 0, \\ 4x^{2} − 11x + 6 = 0 \end{matrix}

cu solutiile x_{1} = \frac{3}{4} si x_{2} = 2.

Ecuatii ce contin expresii reciproc inverse

Ecuatiile de forma

a · \frac{f(x)}{g(x)} + b · \frac{g(x)}{f(x)} + c = 0 (ab ≠ 0),  (15)

se reduc la ecuatii patrate prin substitutia t = \frac{f(x)}{g(x)}, atunci \frac{g(x)}{f(x)} = \frac{1}{t} si ecuatia (15) se scrie at^{2} + ct + b = 0.

Exemplul 10. Sa se rezolve ecuatiile

a) \frac{2x + 1}{x} + \frac{4x}{2x + 1} = 5, b) 20 (\frac{x − 2}{x + 1})^{2} − 5 (\frac{x + 2}{x − 1})^{2} + 48\frac{x^{2} − 4}{x^{2} − 1} = 0.

Rezolvare. a) DVA al ecuatiei este R \ \{−\frac{1}{2}; 0\}. Se noteaza t = \frac{2x + 1}{x}, atunci \frac{4x}{2x + 1} =

4 · \frac{1}{t} si ecuatia devine

t + \frac{4}{t} = 5

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

de unde rezulta ecuatia t^{2} − 5t + 4 = 0 cu solutiile t_{1} = 1 si t_{2} = 4. Astfel se obtine totalitatea de ecuatii de gradul intai

[ \begin{matrix}\frac{2x + 1}{x} = 1, \\ \frac{2x + 1}{x} = 4, \end{matrix}

cu solutiile x = −1 si x = \frac{1}{2} (ambele solutii verifica DVA).

b) DVA al ecuatiei este R \ {±1}. Se observa, ca x = ±2 nu verifica ecuatia data si prin

urmare multiplicand ecuatia cu \frac{x^{2} − 1}{x^{2} − 4} se obtine ecuatia echivalenta

20\frac{(x − 2)(x − 1)}{(x + 1)(x + 2)} − 5\frac{(x + 2)(x + 1)}{(x − 1)(x − 2)} + 48 = 0.

Se noteaza t = \frac{(x − 2)(x − 1)}{(x + 1)(x + 2)} si ecuatia devine

20t − \frac{5}{t} + 48 = 0 sau 20t^{2} + 48t − 5 = 0

cu solutiile t_{1} = \frac{1}{10} si t_{2} = −\frac{5}{2}. Astfel se obtine totalitatea de ecuatii

[ \begin{matrix}\frac{(x − 2)(x − 1)}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{1}{10}, \\ \frac{(x − 2)(x − 1)}{(x + 1)(x + 2)} = −\frac{5}{2}, \end{matrix} sau [ \begin{matrix}3x^{2} − 11x + 6 = 0, \\ 7x^{2} + 9x + 14 = 0, \end{matrix}

cu solutiile x_{1} = 3, x_{2} = \frac{2}{3} (ambele solutii sunt din DVA).

In unele cazuri este comod de separat un patrat complet.

Exemplul 11. Sa se rezolve ecuatiile

\begin{matrix}a) x^{4} − 2x^{3} − x^{2} + 2x + 1 = 0; \\ b) x^{2} + (\frac{x}{2x − 1})^{2} = 2. \end{matrix}

Rezolvare. a) Se separa un patrat complet

\begin{matrix}x^{4} − 2x^{2} · x + x^{2} − x^{2} − x^{2} + 2x + 1 = 0, \\ (x^{2} − x)^{2} − 2(x^{2} − x) + 1 = 0. \end{matrix}

Se noteaza t = x^{2} − x si se obtine ecuatia patrata

t^{2} − 2t + 1 = 0

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

de unde t = 1, sau x^{2} − x − 1 = 0, cu solutiile x = \frac{1 ± \sqrt{5}}{2}.

b) DVA al ecuatiei este R \ \{\frac{1}{2}\}. Se aduna in ambii membri ai ecuatiei expresia

2x · \frac{x}{2x − 1}

si se obtine

x^{2} + 2x\frac{x}{2x − 1} + (\frac{x}{2x − 1})^{2} = 2 + 2x\frac{x}{2x − 1}

sau

(x + \frac{x}{2x − 1})^{2} = 2 + 2\frac{2x^{2}}{2x − 1}

de unde rezulta ecuatia

(\frac{2x^{2}}{2x − 1})^{2} − \frac{2x^{2}}{2x − 1} − 2 = 0.

Se noteaza t = \frac{2x^{2}}{2x − 1} si ecuatia devine

t^{2} − t − 2 = 0.

Solutiile acestei ecuatii sunt t = −1 si t = 2, prin urmare se obtine totalitatea de ecuatii

[ \begin{matrix}\frac{2x^{2}}{2x − 1} = −1, \\ \frac{2x^{2}}{2x − 1} = 2, \end{matrix} sau [ \begin{matrix}2x^{2} + 2x − 1 = 0, \\ x^{2} − 2x + 1 = 0, \end{matrix}

cu solutiile x_{1,2} = \frac{1 ± \sqrt{3}}{2} si x_{3} = 1.

Inecuatii de gradul doi si inecuatii reductibile la cele se gradul doi Prin inecuatie de gradul al doilea se intelege una din urmatoarele inecuatii

ax^{2} + bx + c > 0,  (16)
ax^{2} + bx + c ≥ 0,  (17)
ax^{2} + bx + c < 0,  (18)
ax^{2} + bx + c ≤ 0,  (19)

unde a, b, c ∈ R, a ≠ 0.

Inecuatiile de gradul al doilea se rezolva utilizand urmatoarele afirmatii.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Afirmatia 2. Daca a > 0 si discriminantul trinomului ax^{2} + bx + x este pozitiv, atunci:

1. inecuatia (16) are solutiile x ∈ (−∞; x_{1}) ∪ (x_{2}; +∞);

2. inecuatia (17) are solutiile x ∈ (∞; x_{1}] ∪ [x_{2}; +∞);

3. inecuatia (18) are solutiile x ∈ (x_{1}, x_{2});

4. inecuatia (19) are solutiile x ∈ [x_{1}, x_{2}] unde x_{1} si x_{2} (x_{1} < x_{2}) sunt radacinile trinomului ax^{2} + bx + c.

Afirmatia 3. Daca a > 0 si discriminantul trinomului ax^{2} + bx + c este egal cu zero, atunci 1. inecuatia (16) are solutiile x ∈ R \ {x_{1}};

2. inecuatia (17) are solutiile x ∈ R;

3. inecuatia (18) nu are solutii;

4. inecuatia (18) are o solutie unica: x = x_{1}, unde x_{1} este radacina dubla a trinomului ax^{2} + bx + c.

Afirmatia 4. Daca a > 0 si dscriminantul trinomului ax^{2} + bx + c este negativ, atunci 1. inecuatiile (16) si (17) au solutiile x ∈ R;

2. inecuatiile (18) si (19) nu au solutii. Daca a < 0 inecuatile (16)-(19) se multiplica prin (-1) si schimband semnul inecuatiei in

opusul lui se obtine o inecuatie cu a > 0 si se aplica afirmatiile 2-4. Exemplul 12. Sa se rezolve inecuatiile

\begin{matrix}a) x^{2} − x − 90 > 0; & d) x^{2} − x + 2 > 0; \\ b) 4x^{2} − 12x + 9 ≤ 0; & e) − 6x^{2} + 5x − 1 ≤ 0; \\ c) x^{2} − 6x < 0; & f) 4x^{2} − x + 5 ≤ 0. \end{matrix}

Rezolvare. a) Cum radacinile trinomului x^{2} − x − 90 sunt x_{1} = −9 si x_{2} = 10, a = 1 > 0, solutiile inecuatiei x^{2} − x − 90 > 0 sunt x ∈ (−∞; −9) ∪ (10; +∞).

b) Cum discriminatul trinomului 4x^{2} − 12x + 9 este egal cu zero, a = 4 > 0, unica solutie a inecuatiei 4x^{2} − 12x + 9 ≤ 0 este x = \frac{3}{2}.

c) Radacinile trinomului x^{2} − 6x sunt x_{1} = 0 si x_{2} = 6. Cum a = 1 > 0, solutiile inecuatiei x^{2} − 6x < 0 sunt x ∈ (0; 6).

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

d) Discriminantul trinomului x^{2} − x + 2 este negativ, a = 1 > 0, prin urmare, orice numar real este solutie a inecuatiei x^{2} − x + 2 > 0.

e) Se multiplica ambii membri ai inecuatiei cu −1 si se obtine inecuatia 6x^{2} − 5x + 1 ≥ 0 cu solutiile x ∈ (−∞; \frac{1}{3}] ∪ [\frac{1}{2}; +∞).

f) Inecuatia data nu are solutii.

Metodele de reducere ale ecuatiilor de grad superior la ecuatii de gradul al doilea raman valabile si in cazul inecuatiilor. In unele cazuri se utilizeaza in plus metoda intervalelor (a se vedea [1]-[4]).

Exemplul 13. Sa se rezolve inecuatiile

a) 6x^{4} + 5x^{3} − 38x^{2} + 5x + 6 ≤ 0;

b) x(x − 2)(x − 4)(x − 6) ≥ 9;

c) x^{4} − 4x^{3} + 8x + 3 < 0;

d) \frac{x − 2}{x − 3} − \frac{2}{x − 1} − \frac{8}{x^{2} − 4x + 3} < 0;

e) 50x^{4} − 105x^{3} + 74x^{2} − 21x + 2 ≥ 0;

f) \frac{2x}{x^{2} − 4x + 7} + \frac{3x}{2x^{2} − 10x + 14} > 1;

g) (x + 5)^{4} + (x + 3)^{4} < 272.

Rezolvare. a) Se rezolva ecuatia (a se vedea (10))

6x^{4} + 5x^{3} − 38x^{2} + 5x + 6 = 0

si se determina zerourile membrului din stanga inecuatiei:

6x^{4} + 5x^{3} − 38x^{2} + 5x + 6 = 0 ⇔ 6 (x^{2} + \frac{1}{x^{2}} ) + 5 (x + \frac{1}{x}) − 38 = 0 ⇔

⇔ 6 [(x + \frac{1}{x})^{2} − 2] + 5 (x + \frac{1}{x}) − 38 = 0 ⇔ \{ \begin{matrix}6t^{2} + 5t − 50 = 0, \\ t = x + \frac{1}{x}, \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}t_{1} = −\frac{10}{3}, \\ t_{2} = \frac{5}{2}, \end{matrix} \\ t = x + \frac{1}{x}, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x + \frac{1}{x} = −\frac{10}{3}, \\ x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}3x^{2} + 10x + 3 = 0, \\ 2x^{2} − 5x + 2 = 0, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x_{1} = −3, \\ x_{2} = −\frac{1}{3}, \\ x_{3} = \frac{1}{2}, \\ x_{4} = 2. \end{matrix}

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Prin urmare

6x^{4} + 5x^{3} − 38x^{2} + 5x + 6 ≤ 0 ⇔ 6(x + 3) (x + \frac{1}{3}) (x − \frac{1}{2}) (x − 2) ≤ 0

de unde, utilizand metoda intervalelor, se obtine multime solutiilor inecuatiei initiale x ∈ [−3; −\frac{1}{3}] ∪ [\frac{1}{2}; 2].

b) Se tine seama de metoda de rezolvare a ecuatiilor de tip (13) si se obtine

x(x − 2)(x − 4)(x − 6) ≥ 9 ⇔ x(x − 6)(x − 2)(x − 4) − 9 ≥ 0 ⇔

⇔ (x^{2} − 6x)(x^{2} − 6x + 8) − 9 ≥ 0 ⇔ \{ \begin{matrix}t(t + 8) − 9 ≥ 0, \\ t = x^{2} − 6x, \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}t^{2} + 8t − 9 ≥ 0, \\ t = x^{2} − 6x, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}t ≤ −9, \\ t ≥ 1 \end{matrix} \\ t = x^{2} − 6x, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x^{2} − 6x ≤ −9, \\ x^{2} − 6x ≥ 1, \end{matrix} ⇔

⇔ [ \begin{matrix}x^{2} − 6x + 9 ≤ 0, \\ x^{2} − 6x − 1 ≥ 0, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x = 3, \\ x ∈ (−∞; 3 − \sqrt{10}] ∪ [3 + \sqrt{10}; +∞), \end{matrix} ⇔

⇔ x ∈ (−∞; 3 − \sqrt{10}] ∪ \{3\} ∪ [3 + \sqrt{10}; +∞).

c) Se separa un patrat complet,

x^{4} − 4x^{3} + 8x + 3 < 0 ⇔ (x^{2})^{2} − 2 · 2 · x^{2} · x + 4x^{2} − 4x^{2} + 8x + 3 < 0 ⇔

⇔ (x^{2} − 2x) − 4(x^{2} − 2x) + 3 < 0 ⇔ \{ \begin{matrix}t^{2} − 4t + 3 < 0, \\ t = x^{2} − 2x, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}1 < t < 3, \\ t = x^{2} − 2x, \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}x^{2} − 2x < 3, \\ x^{2} − 2x > 1, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x^{2} − 2x − 3 < 0, \\ x^{2} − 2x − 1 > 0, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}−1 < x < 3, \\ [ & \begin{matrix}x > 1 + \sqrt{2}, \\ x < 1 − \sqrt{2}, \end{matrix} \end{matrix} ⇔

⇔ x ∈ (−1; 1 − \sqrt{2}) ∪ (1 + \sqrt{2}; 3).

d) Se utilizeaza metoda intervalelor

\frac{x − 2}{x − 3} − \frac{2}{x − 1} − \frac{8}{x^{2} − 4x + 3} < 0 ⇔

⇔ \frac{(x − 2)(x − 1) − 2(x − 3) − 8}{(x − 3)(x − 1)} < 0 ⇔ \frac{x^{2} − 5x}{(x − 3)(x − 1)} < 0 ⇔ \frac{x(x − 5)}{(x − 3)(x − 1)} < 0

⇔ x ∈ (0; 1) ∪ (3; 5).

e) Se rezolva ecuatia (a se vedea (11))

50x^{4} − 105x^{3} + 24x^{2} − 21x + 2 = 0

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

si se determina zerourile membrului din stanga inecuatiei (se tine seama ca x = 0 este solutie a inecuatiei).

50x^{4} − 105x^{3} + 74x^{2} − 21x + 2 = 0 ⇔ 2 (25x^{2} + \frac{1}{x^{2}} ) − 21 (5x + \frac{1}{x}) + 74 = 0 ⇔

2 [(5x + \frac{1}{x})^{2} − 10] − 21 (5x + \frac{1}{x}) + 74 = 0 ⇔ \{ \begin{matrix}2t^{2} − 21x + 54 = 0, \\ t = 5x + \frac{1}{x}, \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}t = 6, \\ t = \frac{9}{2}, \end{matrix} \\ t = 5x + \frac{1}{x}, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}5x + \frac{1}{x} = 6, \\ 5x + \frac{1}{x} = \frac{9}{2}, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}5x^{2} − 6x + 1 = 0, \\ 10x^{2} − 9x + 2 = 0, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x = \frac{1}{5}, \\ x = 1, \\ x = \frac{1}{2}, \\ x = \frac{2}{5}. \end{matrix}

Prin urmare

50x^{4} − 105x^{3} + 74x^{2} − 21x + 2 ≥ 0 ⇔ 50 (x − \frac{1}{5}) (x − 1) (x − \frac{1}{2}) (x − \frac{2}{5}) ≥ 0.

Se utilizeaza metoda intervalelor si se obtine x ∈ (−∞; \frac{1}{5}] ∪ [\frac{2}{5}; \frac{1}{2}] ∪ [1; +∞).

f) Cum x = 0 nu este solutie a inecuatiei (0 > 1) inecuatia enuntata este echivalenta cu inecuatia

\frac{2}{x − 4 + \frac{7}{x}} + \frac{3}{2x − 10 + \frac{14}{x}} > 1.

Se noteaza t = x + \frac{7}{x}, atunci 2x + \frac{14}{x} = 2 (x + \frac{7}{x}) = 2t si inecuatia devine

\frac{2}{t − 4} + \frac{3}{2t − 10} > 1.

Se rezolva cu ajutorul metodei intervalelor si se obtine

\frac{2(2t − 10) + 3(t − 4) − (2t − 10)(t − 4)}{(t − 4)(2t − 10)} > 0 ⇔ \frac{2t^{2} − 25t + 72}{(t − 2)(2t − 10)} < 0 ⇔

⇔ \frac{2 (t − \frac{9}{2}) (t − 8)}{(t − 4)(2t − 10)} < 0 ⇔ t ∈ (4; \frac{9}{2}) ∪ (5; 8).

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

[ \begin{matrix}4 < x + \frac{7}{x} < \frac{9}{2}, \\ 5 < x + \frac{7}{x} < 8, \end{matrix} de unde [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}\frac{x^{2} − 4x + 7}{x} > 0, \\ \frac{2x^{2} − 9x + 14}{x} < 0, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}\frac{x^{2} − 5x + 7}{x} > 0, \\ \frac{x^{2} − 8x + 7}{x} < 0, \end{matrix} \end{matrix} sau

[ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}x > 0, \\ x < 0, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}x > 0, \\ [ & \begin{matrix}x < 0, \\ 1 < x < 7, \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x ∈ ∅, \\ x ∈ (1; 7), \end{matrix} ⇔ x ∈ (1; 7).

g) Se grupeaza t = x + \frac{5 + 3}{2}, t = x + 4 (a se vedea (12)) si inecuatia devine

(t + 1)^{4} + (t − 1)^{4} < 272

sau

t^{4} + 6t^{2} − 135 < 0

de unde rezulta

(t^{2} − 9)(t^{2} + 15) < 0 sau |t| < 3.

Prin urmare |x + 4| < 3. Se utilizeaza proprietatile modulului si se obtine |x + 4| < 3 ⇔ −3 < x + 4 < 3 ⇔ −7 < x < −1.

Exercitii pentru autoevaluare

I. Sa se rezolve ecuatiile 1. x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24.

2. (1 − x)(2 − x)(x + 3)(x + 3) = 84.

3. (x + 2)^{4} + x^{4} = 82.

4. (2x^{2} + 5x − 4)^{2} − 5x^{2}(2x^{2} + 5x − 4) + 6x^{4} = 0.

5. (\frac{x}{x + 1})^{2} + (\frac{x}{x − 1})^{2} = 6.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

6. \frac{2x}{2x^{2} − 5x + 3} + \frac{13x}{2x^{2} + x + 3} = 6.

7. \frac{x^{2}}{2} + \frac{18}{x^{2}} = \frac{13}{5} (\frac{x}{2} + \frac{3}{x}).

8. \frac{x^{2}}{3} + \frac{48}{x^{2}} = 10 (\frac{x}{3} − \frac{4}{x}).

9. x^{4} − 4x^{3} + 2x^{2} + 4x + 2 = 0.

10. x^{4} + 6x^{3} + 5x^{2} − 12x + 3 = 0.

11. \frac{x + 1}{x − 1} − \frac{x + 2}{x + 3} + \frac{4}{(x − 1)(x + 3)} = 0.

12. \frac{3}{(x + 2)(x − 1)} = \frac{1}{x(x − 1)^{2}} + \frac{3}{x(x − 3)}.

13. (x^{2} + x + 1)(x^{2} + x + 2) = 12.

14. \frac{24}{x^{2} − 2x} = \frac{12}{x^{2} − x} + x^{2} − x.

15. 6x^{4} − 5x^{2} + 1 = 0. II. Sa se rezolve inecuatiile

1. x + \frac{6}{x} < 7.

2. x^{4} − 8x^{3} + 14x^{2} + 8x − 15 ≤ 0.

3. \frac{x^{2} + 2x − 63}{x^{2} − 8x + 7} > 7.

4. \frac{3}{x + 1} + \frac{7}{x + 2} < \frac{6}{x − 1}.

5. \frac{3}{6x^{2} − x − 12} + \frac{3}{3x + 4} < \frac{25x − 47}{10x − 15}.

6. x^{4} + x^{3} − 12x^{2} − 26x − 24 < 0.

7. \frac{x^{2} + 5x + 4}{x^{2} − 6x + 5} < 0.

8. (x − 1)(x − 2)(x + 3)(x + 4) ≥ 84.

9. (x − 1)^{4} + (x + 1)^{4} ≥ 82.

10. (\frac{x + 1}{x + 2})^{2} + (\frac{x + 1}{x})^{2} ≥ 2.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Bibliografie:

1. P.Cojuhari. Ecuatii si inecuatii. Teorie si practica. Chisinau, Universitas, 1993.

2. P.Cojuhari, A.Corlat. Ecuatii si inecuatii algebrice. Mica biblioteca a elevului. Chisinau, Editura ASRM, 1995.

3. F.Iavemciuk, P.Rudenko. Alghebra i elementarnii funktii. Kiev, Naukova Dumka, 1987 (ucr.).

4. Gh.Andrei si altii. Exercitii si probleme de algebra pentru concursuri si olimpiade scolare. Partea I, Constanta, 1990.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md