Progresii aritmetice si geometrice

Progresia aritmetica.

Definitia 1. Sirul numeric (a_{n})_{n∈N} se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat

a_{n+1} − a_{n} = d, (∀n ∈ N)  (1)

adica daca fiecare termen al sirului (incepand cu al doilea) este egal cu precedentul plus unul si acelasi numar (ratia).

Elementul a_{n} se numeste termen general al progresiei sau termen de rang n.

Exemplul 1. Sa se verifice daca sirurile ce urmeaza formeaza o progresie aritmetica

a) a_{n} = 2n − 1,  b) 3, 6, 9, …, 3k, …  c) a_{n} = \frac{1}{n}.

Rezolvare. a) Cum diferenta a_{n+1} − a_{n} reprezinta un numar constant

a_{n+1} − a_{n} = 2(n + 1) − 1 − (2n − 1) = 2

pentru orice n ∈ N, rezulta ca sirul dat de termenul general a_{n} = 2n − 1 reprezinta o progresie aritmetica cu ratia 2, si anume

1, 3, 5, …, 2n − 1, …

b) Similar exemplului a) se obtine

a_{n+1} − a_{n} = 3(n + 1) − 3n = 3, (∀n ∈ N)

si prin urmare sirul dat formeaza o progresie aritmetica cu ratia 3.

c) Se scriu primii trei termeni ai sirului a_{1} = 1, a_{2} = \frac{1}{2}, a_{3} = \frac{1}{3} si se observa ca a_{2} − a_{1} =

−\frac{1}{2} ≠ a_{3} − a_{2} = −\frac{1}{6}, adica sirul dat nu formeaza o progresie aritmetica.

Altfel, se considera diferenta a_{n+1}−a_{n} = \frac{1}{n + 1} − \frac{1}{n} = −\frac{1}{(n + 1)n} si se observa ca ea depinde

de n (nu este un numar constant) si prin urmare sirul dat nu este o progresie aritmetica.

Proprietati ale progresiei aritmetice

Demonstratiile proprietatilor ce urmeaza, pot fi gasite, de exemplu, in [1]. P1. Termenul general al progresiei aritmetice se poate determina prin formula

a_{n} = a_{1} + (n − 1)d,  (2)

unde a_{1} - primul termen al progresiei, d - ratia ei.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

P2. (Proprietatea caracteristica a progresiei aritmetice). Termenul de rang n este media aritmetica a termenilor echidistanti de el:

a_{n−k} + a_{n+k} = 2 · a_{n}, k = \overline{1, n − 1}  (3)

Nota. Din propretatea P2 rezulta ca conditia necesara si suficienta ca

a) trei numere a, b, c (in ordinea data) sa formeze o progresie aritmetica este

2b = a + b,  (4)

b) trei numere a, b, c (fara precizarea consecutivitatii) sa formeze o progresie aritmetica este

(2b − a − c)(2c − a − b)(2a − b − c) = 0.  (5)

P3. Daca a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, … este o progresie aritmetica si k + n = m + p (k, n, m, p ∈ N), atunci

a_{k} + a_{n} = a_{m} + a_{p}.  (6)

P4. Formula sumei S_{n} primilor n termeni ai progresiei aritmetice:

S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} · n,  (7)

sau tinand seama de (2)

S_{n} = \frac{2a_{1} + (n − 1)d}{2} · n.  (8)

Definitia 2. Progresia aritmetica este un sir crescator (descrescator), daca si numai daca ratia ei este un numar pozitiv (negativ). Daca ratia progresiei este zero avem un sir constant.

In continuare sa anlizam cateva exemple.

Exemplul 2. Sa se determine progresia aritmetica, daca a_{3} = 2 si a_{5} = −2. Rezolvare. Se aplica formula teremenul general al progresiei aritmetice si se obtine sistemul

\{ \begin{matrix}a_{3} = a_{1} + 2d, \\ a_{5} = a_{1} + 4d, \end{matrix}

sau, tinand seama de conditiile problemei obtinem

\{ \begin{matrix}a_{1} + 2d = 2, \\ a_{1} + 4d = −2, \end{matrix}

de unde se obtine primul termen al progresiei a_{1} = 6 si ratia progresiei d = −2.

Exemplul 3. Sa se determine numarul x, astfel ca numerele a − x, x, b (a, b fiind date), luate in aceasta ordine sa formeze o progresie aritmetica.

Rezolvare. Se utilizeaza proprietatea caracteristica a progresiei aritmetice si se obtine ecuatia liniara

2x = a − x + b,

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

cu solutia x = \frac{a + b}{3}.

Exemplul 4. Sa se determine progresia aritmetica, suma primilor n termeni ai careia se exprima prin formula

S_{n} = 3n^{2} + 6n (n ≥ 1).

Rezolvare. Cum suma primilor (n − 1) termeni este

S_{n−1} = 3(n − 1)^{2} + 6(n − 1) = 3n^{2} − 3, (n ≥ 2)

si cum S_{n} − S_{n−1} = a_{n}, rezulta

a_{n} = 3n^{2} + 6n − 3n^{2} + 3 = 6n + 3.

Substituind in formula termenului general, consecutiv n = 1, 2, 3, … se obtine a_{1} = 9, a_{2} = 15, a_{3} = 21, …

Exemplul 5. Sa se determine suma primilor nouasprezece termeni ai progresiei aritmetice a_{1}, a_{2}, a_{3}, …, daca

a_{4} + a_{8} + a_{12} + a_{16} = 224.

Rezolvare. Se observa ca 4+16 = 8+12 si, prin urmare, (a se vedea (6)) a_{4}+a_{16} = a_{8}+a_{12}. Se tine seama ca suma acestor termeni este 224, si se obtine a_{4} + a_{16} = 112.

Cum (a se vedea (7)) S_{19} = \frac{a_{1} + a_{19}}{2} · 19 si a_{1} + a_{19} = a_{4} + a_{16} = 112 (1+19=4+16), rezulta

S_{19} = \frac{112}{2} · 19 = 1054.

Exemplul 6. Pentru ce valori ale parametrului a exista asa valori ale variabilei x astfel incat numerele

5^{1+x} + 5^{1−x}, \frac{a}{2}, 25^{x} + 25^{−x}

sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Rezolvare. Conform proprietatii caracteristice a progresiei aritmetice, se obtine ecuatia

a = 5^{1+x} + 5^{1−x} + 25^{x} + 25^{−x}.

Se observa ca pentru a ≤ 0 ecuatia nu are solutii (membrul din dreapta, ca suma de termeni pozitivi, este un numar pozitiv).

Cum a^{x+y} = a^{x} · a^{y}, a^{−x} = \frac{1}{a^{x}} (a > 0, a ≠ 1), ecuatia se scrie

5^{2x} + \frac{1}{5^{2x}} + 5 (5^{x} + \frac{1}{5^{x}} ) = a.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Se noteaza 5^{x} + \frac{1}{5^{x}} = t, t ≥ 2 (suma a doua marimi pozitive inverse), atunci

5^{2x} + \frac{1}{5^{2x}} = (5^{x} + \frac{1}{5^{x}} )^{2} − 2 = t^{2} − 2,

si ecuatia devine

t^{2} + 5t − (a + 2) = 0.

Cel putin o radacina a acestei ecuatii urmeaza a fi mai mare ca doi (ecuatia data are doua radacini reale distincte, deoarece pentru a > 0, −(a + 2) < 0 si coeficientul de pe langa t^{2}, 1 > 0), pentru ce este suficient ca sa se verifice sistemul

\{ \begin{matrix}−\frac{b}{2a} < 2, \\ f(2) ≤ 0, \end{matrix} sau \{ \begin{matrix}−\frac{5}{2} < 2, \\ 4 + 10 − (a + 2) ≤ 0, \end{matrix} de unde a ≥ 12.

Exemplul 7. Sa se determine suma tuturor numerelor pare de trei cifre, divizibile la 3. Rezolvare. Primul numar par de trei cifre, divizibil la 3 este 102. Cum numarul par,

divizibil la 3 se divide si la 6, se obtine progresia

102, 108, 114, …, 996,

cu a_{1} = 102, d = 6 si ultimul termen a_{x} = 996 (x ∈ N).

Se tine seama ca a_{x} = a_{1} + (x − 1)d sau

102 + (x − 1) · 6 = 996,

de unde, numarul tuturor numerelor pare de trei cifre divizibile prin trei, x = 150. Astfel, utilizand formula (7) se obtine

S_{150} = \frac{102 + 996}{2} · 150 = 74850.

Exemplul 8. Fie S_{n}, S_{m} si S_{p} suma primilor n, respectiv m si p, termeni ai progresiei aritmetice a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . .. Sa se arate ca

\frac{S_{n}}{n} (m − p) + \frac{S_{m}}{m} (p − n) + \frac{S_{p}}{p} (n − m) = 0.  (9)

Rezolvare. Se tine seama de formula (8) si egalitatea (9) devine

\frac{2a_{1} + (n − 1)d}{2}(m − p) + \frac{2a_{1} + (m − 1)d}{2}(p − n) + \frac{2a_{1} + (p − 1)d}{2}(n − m) = 0

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

sau

2a_{1}[m − p + p − n + n − m] + [(n − 1)(m − p) + (m − 1)(p − n) + (p − 1)(n − m)]d = 0.

Cum

(n−1)(m−p)+(m−1)(p−n)+(p−1)(n−m) = nm−np−m+p+mp−mn−p+n+pn−pm−n+m = 0

se obtine

2a_{1} · 0 + 0 · d = 0, adica 0 = 0,

si prin urmare, egalitatea este demonstrata.

Exemplul 9. Sa se determine numerele, ce sunt termeni comuni ai progresiilor aritmetice 2, 5, 8, …, 332 si 7, 12, 17, …, 157.

Rezolvare. Fie b este termenul de rang n in prima progresie si, prin urmare, b = 2+(n−1)·3 si in acelasi timp, este termenul de rang m in a doua progresie, adica b = 7+(m−1)·5. Asadar se obtine ecuatia

2 + (n − 1) · 3 = 7 + (m − 1) · 5,

sau

3(n − 1) = 5m

de unde, tinand seama ca m, n sunt numere naturale, se obtine n = 5k + 1 si m = 3k, k ∈ N, adica termenii a_{6}, a_{11}, a_{16}, …, a_{5k+1} din prima progresie coincid cu termenii c_{3}, c_{6}, c_{9}, …, c_{3k}, din a doua progresie. Asadar, termenii comuni sunt: 17, 32, 47, 62, 77, 92, 107, 122, 137 si 152.

Exemplul 10. Suma a trei numere pozitive α, β si γ este egala cu \frac{π}{2} . Sa se determine produsul ctg α · ctg γ daca ctg α, ctg β, ctg γ formeaza o progresie aritmetica.

Rezolvare. Se tine seama de proprietatea caracteristica a progresiei aritmetice si se obtine relatia

2 ctg β = ctg α + ctg γ.

Cum α+β+γ = \frac{π}{2} implica β = \frac{π}{2} −(α+γ), se utilizeaza formula de reducere ctg (\frac{π}{2} − x) = tg x si se obtine

2 tg(α + β) = ctg α + ctg β

sau, folosind formulea tangentei sumei a doua unghiuri

2\frac{tg α + tg γ}{1 − tg α tg γ} = \frac{1}{tg α} + \frac{1}{tg γ}

de unde,

2\frac{tg α + tg γ}{1 − tg α tg γ} = \frac{tg γ + tg α}{tg α tg γ}

sau, tinand seama ca α, β si γ sunt numere pozitive si suma lor este \frac{π}{2} (tg α tg γ ≠ 1, tg α ≠ 0, tg γ ≠ 0) se obtine

2 tg α tg γ = 1 − tg α tg γ

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

de unde rezulta tg α tg γ = \frac{1}{3} si, prin urmare, ctg α ctg γ = 3.

Exemplul 11. Fie ecuatia patrata x^{2} + px + q = 0 cu radacinile reale x_{1} si x_{2}. Sa se determine p si q astfel incat q, x_{1}, p, x_{2} (in ordinea indicata) sa formeze o progresie aritmetica crescatoare.

Rezolvare. Se utilizeaza proprietatea caracteristica a progresiei aritmetice, teorema lui Viete si se obtine sistemul

\{ \begin{matrix}2x_{1} = q + p, \\ 2p = x_{1} + x_{2}, \\ x_{1} + x_{2} = −p, \\ x_{1}x_{2} = q, \end{matrix}

cu solutiile

\{ \begin{matrix}q = −4, \\ x_{1} = −2, \\ p = 0, \\ x_{2} = 2, \end{matrix} si \{ \begin{matrix}q = 0, \\ x_{1} = 0, \\ p = 0, \\ x_{2} = 0 \end{matrix}

Cum progresia urmeaza a fi crescatoare, ramane q = −4, x_{1} = −2, p = 0, x_{2} = 2 si prin urmare ecuatia patrata ce verifica conditiile problemei date este x^{2} − 4 = 0 cu p = 0 si q = −4.

Exemplul 12. Sa se determine primii trei termeni ai unei progresii aritmetice, descrescatoare, daca a_{1} + a_{3} + a_{5} = −24 si a_{1}a_{3}a_{5} = 640.

Rezolvare. Se utilizeaza proprietatea P3 si se determina a_{3} = −8, dupa ce se obtine sistemul

\{ \begin{matrix}a_{1} + a_{5} = −16, \\ a_{1}a_{5} = −80, \end{matrix}

cu solutiile a′_{1} = −20, a′_{5} = 4 si a′′_{1} = 4, a′′_{5} = −20. Cum progresia este descrescatoare (d < 0)

ramane a_{1} = 4 si a_{5} = −20. Se utilizeaza P3 si se obtine a_{2} = \frac{a_{1} + a_{3}}{2} = \frac{4 + (−8)}{2} = −2. Asadar primii trei termeni ai progresiei sunt 4, −2 si −8.

Progresia geometrica

Definitia 3. Sirul numeric (b_{n})_{n∈N} se numeste progresie geometrica, daca exista asa un numar q, numit ratia progresiei, astfel incat

b_{n+1} = b_{n} · q, (∀n ∈ N)  (10)

adica daca fiecare termen al sirului (incepand cu al doilea) este egal cu produsul dintre termenul precedent si unul si acelasi numar (ratia).

Elementul b_{n} se numeste termen general al progresiei de rang n.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Urmatoarele siruri reprezinta progresii geometrice:

2, 4, 8, …, 2^{n}, … cu b_{1} = 2 si q = 2,
3; −1; \frac{1}{3}; −\frac{1}{3}, … cu b_{1} = 3 si q = −\frac{1}{3},
a, a, a, …  cu b_{1} = a si q = 1,
a, 0, 0, …  cu b_{1} = a si q = 0

Tinem sa mentionam, ca daca unul din termenii progresiei geometrice este egal cu zero, atunci sau b_{1} = 0 sau q = 0.

Proprietatile progresiei geometrice

P5. Termenul de rang n al progresiei geometrice se determine prin formula

b_{n} = b_{1} · q^{n−1}, (∀n ∈ N).  (11)

P6. (Proprietatea caracteristica a unei progresii geometrice). Patratul termenului de rang n este egal cu produsul termenilor echidistanti de el:

b_{n}^{2} = b_{n−k} · b_{n+k}, (n ≥ 2, k = 1, 2, …, n − 1)  (12)

in caz particular, pentru orice trei termeni consecutivi

b_{n}^{2} = b_{n−1} · b_{n+1}.  (13)

Nota. Formulele (12), (13) se pot scrie si astfel

|b_{n}| = \sqrt{b_{n−k} · b_{n+k}},  (14)
|b_{n}| = \sqrt{b_{n−1} · b_{n+1}},  (15)

adica modulul termenului de rang n este media geometrica a termenilor echidistanti de el. In cazul progresiei cu termeni pozitivi insasi termenul de rang n este media geometrica a termenilor echidistanti de el

b_{n} = \sqrt{b_{n−k} · b_{n+k}} (b_{i} > 0, i = 1, 2, …).  (16)

P7. Daca k + n = m + p (k, n, m, p ∈ N), atunci

b_{k} · b_{n} = b_{m} · b_{p},  (17)

unde b_{k}, b_{n}, b_{m}, b_{p} - termeni ai progresiei geometrice b_{1}, b_{2}, . . ..

P8. Trei numere a, b, c formeaza o progresie geometrica (fara a preciza consecutivitatea lor) daca si numai daca verifica relatia:

(a^{2} − bc)(b^{2} − ac)(c^{2} − ab) = 0,  (18)

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

iar numerele a, b, c formeaza o progresie geometrica (in ordinea indicata) daca si numai daca

b^{2} = ac.

P9. Suma primilor n termeni S_{n} ai unei progresii geometrice se determina prin formula

S_{n} = \frac{b_{1} − b_{n}q}{1 − q} , (q ≠ 1)  (19)

unde b_{1} - primul termen, q - ratia, si b_{n} - termenul general al progresiei geometrice. In caz q = 1 suma primilor n termeni se determina prin formula

S_{n} = b_{1} · n.  (20)

P10. Suma S a tuturor termenilor ai progresiei geometrice infinit descrescatoare (|q| < 1) se determina prin formula

S = \frac{b_{1}}{1 − q} .  (21)

In continuare sa analizam cateva exemple.

Exemplul 13. Produsul primilor trei termeni ai unei progresii geometrice este egal cu 1728, iar suma lor este egala cu 63. Sa se determine primul termen si ratia progresiei.

Rezolvare. Fie primii termeni ai progresiei b_{1}, b_{2} si b_{3}. Atunci din conditia b_{1}b_{2}b_{3} = 1728 rezulta (a se vedea (12)) b_{2}^{3} = 1728 si b_{2} = 12. Astfel se obtine sistemul:

\{ \begin{matrix}b_{1}b_{3} = 144, \\ b_{1} + b_{3} = 51, \end{matrix}

solutiile caruia sunt si solutiile (a se vedea teorema reciproca a lui Viete) ecuatiei patrate

z^{2} − 51z + 144 = 0.

Se rezolva ecuatia si se obtine z_{1} = 3 si z_{2} = 48, adica b_{1} = 3, b_{3} = 48 sau b_{1} = 48, b_{3} = 3.

Cum b_{1} = 3, b_{2} = 12 sau b_{1} = 48 si b_{2} = 12 se obtine q = 4 sau q = \frac{1}{4}. Asadar solutiile

problemei sunt b_{1} = 3 si q = 4 sau b_{1} = 48 si q = \frac{1}{4}.

Exemplul 14. Intr-o progresie geometrica cu termeni pozitivi termenul de rangul (m + n) este egal cu p, iar termenul de rangul (m − n) (m > n) este s. Sa se determine termenul de rang m si termenul de rang n.

Rezolvare. Cum (a se vedea (11))

b_{m−n} · b_{m+n} = b_{m}^{2}

rezulta b_{m}^{2} = ps si cum b_{m} > 0, se obtine b_{m} = \sqrt{ps}.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Conform conditiilor problemei si formulei (10) avem

\{ \begin{matrix}b_{1}q^{m+n−1} = p, \\ b_{1}q^{m−n−1} = s, \end{matrix}

de unde q^{2n} = \frac{p}{s} si prin urmare q = ^{2n} \sqrt{\frac{p}{s}}. Cum

b_{1}q^{m+n−1} = b_{1}q^{n−1} · q^{m} = b_{n} · q^{m} = p,

rezulta

b_{n} = \frac{p}{q^{m}} = \frac{p}{\sqrt[2n]{(\frac{p}{s})m}} = p · ^{2n} \sqrt{(\frac{s}{p})^{m}}.

Exemplul 15. Sa se calculeze suma

S_{n} = 7 + 77 + 777 + … + \underbrace{777 … 77}_{n cifre} .

Rezolvare. Avem

S_{n} = 7(1 + 11 + 111 + … + \underbrace{111 … 11}_{n cifre}),

9S_{n} = 7(9 + 99 + 999 + … + \underbrace{999 … 99}_{n cifre})

sau

\frac{9}{7}S_{n} = (10 − 1) + (100 − 1) + (10^{3} − 1) + … + (10^{n} − 1)

de unde

\frac{9}{7}S_{n} = (10 + 10^{2} + 10^{3} + … + 10^{n}) − n.

Cum in paranteze se afla suma primilor n termeni ai progresiei geometrice cu primul termen b_{1} = 10 si ratia q = 10 se utilizeaza formula (19) si se obtine

\frac{9}{7}S_{n} = \frac{10 − 10^{n+1}}{1 − 10} − n

de unde

S_{n} = \frac{7}{9} (\frac{10 − 10^{n+1} + 9n}{−9}) = \frac{7}{9} (\frac{10^{n+1} − 9(n + 1) − 1}{9}) = \frac{7}{9} (\frac{10^{n+1} − 1}{9} − (n + 1)) .

Exemplul 16. Sa se arate ca numerele 9, 10, 11 nu pot fi termeni ai unei progresii geometrice.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Rezolvare. Fie ca numerele date sunt termeni ai progresiei geometrice cu primul termen b_{1} si ratia q. Atunci 9 = b_{1}q^{k−1}, 10 = b_{1}q^{n−1} si 11 = b_{1}q^{m−1}, de unde rezulta

(\frac{9}{10}) = q^{k−n}, (\frac{11}{10}) = q^{m−k} sau (\frac{9}{10})^{m−n} = q^{(k−n)(m−n)}, (\frac{11}{10})^{k−n} = q^{(m−n)(k−n)}.

Asadar

(\frac{9}{10})^{(m−n)} = (\frac{11}{10})^{(k−n)}

de unde

\frac{9^{m−n}}{11^{k−n}} = 10^{m−k}.

Cum m, n, k sunt numere naturale diferite, aceasta egalitate nu are loc si, prin urmare, numerele 9, 10, si 11 nu pot fi termeni ai unei progresii geometrice.

Exemplul 17. Numerele a, b, c, d formeaza o progresie geometrica. Sa se arate ca (a−c)^{2} + (b − c)^{2} + (b − d)^{2} = (a − d)^{2}.

Rezolvare. Se dezvolta membrul din stanga egalitatii

A = a^{2} − 2ac + c^{2} + b^{2} − 2bc + c^{2} + b^{2} − 2bd + d^{2}.

Se tine seama ca b^{2} = ac, c^{2} = bd si bc = ad (a se vedea (12) si (17)), si se obtine

A = a^{2} − 2b^{2} + c^{2} + b^{2} − 2bc + c^{2} + b^{2} − 2c^{2} + d^{2} = a^{2} − 2bc + d^{2} = a^{2} − 2ad + d^{2} = (a − d)^{2}.

Exemplul 18. Suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescatoare este egal cu 4, iar suma cuburilor termenilor ei este egala cu 192. Sa se determine termenul de rang 5.

Rezolvare. Fie b_{1} si q - primul termen si ratia progresiei geometrice date. Atunci |q| < 1 si

S = \frac{b_{1}}{1 − q} = 4.

Se observa ca cuburile termenilor progresiei initiale la fel formeaza o progresie geometrica

infinit descrescatoare cu primul termen b_{1}^{3} si ratia q^{3}. In adevar, cum \frac{b_{n+1}}{b_{n}} = q, n ∈ N,

rezulta \frac{b_{n+1}^{3}}{b_{n}^{3}} = (\frac{b_{n+1}}{b_{n}} )^{3} = q^{3}, n ∈ N. Astfel se obtine sistemul

\{ \begin{matrix}\frac{b_{1}}{1 − q} = 4, \\ \frac{b_{1}^{3}}{1 − q^{3}} = 192. \end{matrix}

Se determina b_{1} din prima ecuatie: b_{1} = 4(1 − q) si se substituie in a doua:

\frac{64(1 − q)^{3}}{(1 − q)(1 + q + q^{2})} = 192

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

de unde (|q| < 1) rezulta ecuatia

(1 − q)^{2} = 3(1 + q + q^{2})

sau

2q^{2} + 5q + 2 = 0

cu solutiile q_{1} = −2 si q_{2} = −\frac{1}{2}. Cum |q| < 1 ramane q = −\frac{1}{2} si prin urmare b_{1} = 6. Se utilizeaza formula termenului de rang n si se obtine

b_{5} = b_{1}q^{4} = 6 · (−\frac{1}{2})^{4} = \frac{3}{8}.

Exemplul 19. Sa se rezolve ecuatia:

\frac{1 + tg x + tg^{2} x + … + tg^{n} x + …}{1 − tg x + tg^{2} x − … + (−1)^{n} tg x + …} = 1 + sin 2x, | tg x| < 1.

Rezolvare. Se observa ca in numaratorul membrului din stanga se afla suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescatoare cu primul termen b_{1} = 1 si ratia q_{1} = tg x, iar in numitorul membrului din stanga - suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescatoare cu primul termen 1 si ratia (− tg x). Cum | tg x| < 1 ecuatia se scrie

\frac{\frac{1}{1 − tg x}}{\frac{1}{1 + tg x}} = 1 + sin 2x

sau

\frac{tg x + 1}{1 − tg x} = 1 + sin 2x.

Cum \frac{tg x + 1}{1 − tg x} = \frac{tg x + tg \frac{π}{4}}{1 − tg x tg \frac{π}{4}} = tg (x + \frac{π}{4} ) = \frac{sin(x + \frac{π}{4})}{cos(x + \frac{π}{4})}, iar 1 + sin 2x = (sin x + cos x)^{2} =

(\sqrt{2} (sin x cos \frac{π}{4} + cos x sin \frac{π}{4} ))^{2} = 2 sin^{2} (x + \frac{π}{4} ), ecuatia devine

\frac{sin(x + \frac{π}{4})}{cos(x + \frac{π}{4})} = 2 sin^{2}(x + \frac{π}{4} )

de unde rezulta totalitatea

sin (x + \frac{π}{4} ) = 0,

2 sin (x + \frac{π}{4} ) cos (x + \frac{π}{4} ) = 1,

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

sau

[ \begin{matrix}x + \frac{π}{4} = πk, k ∈ Z, \\ sin (2x + \frac{π}{2} ) = 1, \end{matrix} sau [ \begin{matrix}x = πk − \frac{π}{4} , k ∈ Z, \\ x = πn, n ∈ Z. \end{matrix}

Cum | tg x| < 1, ramane x = πn, n ∈ Z.

Probleme combinate

Exemplul 20. Sa se determine numerele a, b si c daca se stie ca a, b, c sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii geometrice; a, b + 2, c formeaza o progresie aritmetica, iar a, b + 2, c + 9 formeaza o progresie geometrica.

Rezolvare. Se utilizeaza proprietatile caracteristice ale progresiilor geometrice si aritmetice si se obtine sistemul

\{ \begin{matrix}b^{2} = ac, \\ 2(b + 2) = a + c, \\ (b + c)^{2} = a(c + 9), \end{matrix}

cu solutiile a = 4, b = 8, c = 16 sau a = \frac{4}{25}, b = −\frac{16}{25} si c = \frac{64}{25}.

Exemplul 21. Sa se arate, ca daca numerele pozitive a, b, c sunt respectiv termenii de rang m, n, p atat a unei progresii aritmetice cat si geometrice, atunci a^{b−c} · b^{c−a} · c^{a−b} = 1.

Rezolvare. Conform conditiilor

\begin{matrix}a = a_{1} + (m − 1)d, \\ b = a_{1} + (n − 1)d, \\ c = a_{1} + (p − 1)d, \end{matrix}  (22)

unde a_{1} si d desemneaza primul termen si ratia progresiei aritmetice.

Din egalitatile (22) rezulta

b − c = (n − p)d, c − a = (p − m)d si a − b = (m − n)d.  (23)

In acelasi timp

a = b_{1}q^{m−1}, b = b_{1}q^{n−1}, c = b_{1}q^{p−1},  (24)

unde b_{1} si q sunt primul termen si ratia progresiei geometrice.

Se tine seama de egalitatile (23) si (24) si se obtine

a^{b−c}b^{c−a}c^{a−b} = a^{(n−p)d} · b^{(p−m)d} · c^{(m−n)d} =
= (b_{1}q^{m−1})^{(n−p)d} · (b_{1}q^{n−1})^{(p−m)d} · (b_{1}q^{p−1})^{(m−n)d} =
= b_{1}^{d[(n−p)+(p−m)+(m−n)]} · q^{d[(m−1)(n−p)+(n−1)(p−m)+(p−1)(m−n)]} =
= b_{1}^{0} · q^{0} = 1.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Exemplul 22. Sa se determine triunghiurile, lungimile laturilor carora formeaza o progresie geometrica, iar marimile unghiurilor - o progresiei aritmetica.

Rezolvare. Fie α, β, γ - unghiurile interioare ale unui triunghi, opuse laturilor a, b si c. Cum α + β + γ = 180^{∘} si α = β − d, γ = β + d unde d - ratia progresiei aritmetice, se obtine

β − d + β + β + d = 180^{∘}

de unde β = 60^{∘}.

Conform teoremei cosinusurilor

b^{2} = a^{2} + c^{2} − 2ac cos β.

Cum b^{2} = ac, si cos β = \frac{1}{2}, rezulta

ac = a^{2} + c^{2} − ac

de unde a^{2} − 2ac + c^{2} = 0 sau (a − c)^{2} = 0 si a = c.

Astfel se obtine un triughi isoscel (a = c) cu unghiul cuprins intre aceste laturi egal cu 60^{∘}, adica un triuhgi echilateral.

Exemplul 23. Sirul de numere pozitive a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, … formeaza o progresie aritmetica, iar sirul b_{1}, b_{2}, …, b_{n}, … - o progresie geometrica. Sa se arate ca pentru orice n natural, n > 2

a_{n} < b_{n},

daca a_{1} ≠ a_{2}, a_{1} = b_{1} si a_{2} = b_{2}.

Rezolvare. Fie d - ratia progresiei aritmetice si q - ratia progresiei geometrice. Cum a_{1} = b_{1} si a_{2} = b_{2} se obtine

a_{1} + d = a_{1} · q,

de unde q = \frac{a_{1} + d}{a_{1}} = 1 + \frac{d}{a_{1}} > 1 si d = a_{1}(q − 1) > 0. Asadar,

\begin{matrix}a_{n} = a_{1} + (n − 1)d = a_{1} + (n − 1)a_{1}(q − 1) = a_{1}(1 + (n − 1)(q − 1)) \\ b_{n} = b_{1}q^{n−1} = a_{1}q^{n−1} \end{matrix}

si urmeaza sa demonstram inegalitatea

a_{1}(1 + (n − 1)(q − 1)) < a_{1}q^{n−1}

sau, cum a_{1} > 0,

1 + (n − 1)(q − 1) < q^{n−1}.

Ultima inegalitate rezulta nemijlocit din inegalitatea lui Bernoulli (a se vedea tema ”Principiul Inductiei Matematice” sau ”Inegalitati”).

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Altfel, se considera diferenta

1+(n−1)(q −1)−q^{n−1} = (1−q) [\frac{1 − q^{n−1}}{1 − q} − (n − 1)] = (1−q)(1+q +q^{2} +…+q^{n−2} −(n−1))

(s-a tinut seama ca \frac{1 − q^{n−1}}{1 − q} reprezinta suma primilor n − 2 termeni ai progresiei geometrice

cu b′_{1} = 1 si q′ = q).

Cum q > 1 si, prin urmare q^{k} > 1, k ∈ N, se obtine

1 + q + q^{2} + … + q^{n−2} − (n − 1) > 0

iar produsul (1−q)(1+q+q^{2}+…+q^{n−2}−(n−1)) < 0. Prin urmare si 1+(n−1)(q−1)−q^{n−1} < 0, adica a_{n} < b_{n}, n > 2.

Exemplul 24. Sa se determine progresiile ce sunt concomitent si aritmetice si geometrice. Rezolvare. Fie a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, … progresiile aritmetica si geometrica. Atunci 2a_{k+2} =

a_{k+1} + a_{k+3}, si 2a_{1}q^{k+1} = a_{1}q^{k} + a_{1}q^{k+2} sau a_{1}q^{k} − 2a_{1}q^{k+1} + a_{1}q^{k+2} = 0, de unde se obtine

a_{1}q^{k}(1 − 2q + q^{2}) = 0, a_{1}q^{k}(1 − q)^{2} = 0.

Asadar, daca a_{1}q ≠ 0 rezulta q = 1, adica progresia reprezinta un sir constant a_{1}, a_{1}, …, a_{1}, … (d = 0, q = 1).

Daca a = 0, se obtine sirul constant 0, 0, …, 0, … (d = 0, q ∈ R), iar daca q = 0, a ≠ 0 solutii nu sunt.

Probleme recapitulative

1. Fie a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, … - o progresie aritmetica cu termeni pozitivi. Sa se arate ca

\frac{1}{\sqrt{a_{1}} + \sqrt{a_{2}}} + \frac{1}{\sqrt{a_{2}} + \sqrt{a_{3}}} + … + \frac{1}{\sqrt{a_{n}} + \sqrt{a_{n+1}}} = \frac{\sqrt{a_{n+1}} − \sqrt{a_{1}}}{d} .

2. Sa se arate ca

\frac{1}{a_{1}a_{2}} + \frac{1}{a_{2}a_{3}} + … + \frac{1}{a_{n}a_{n+1}} = \frac{n}{a_{1}a_{n+1}}

unde a_{1}, a_{2}, …, a_{n+1}, … sunt termeni nenuli ai unei progresii aritmetice.

3. Sa se determine numerele de trei cifre, divizibile prin 45, cifrele carora formeaza o progresie aritmetica.

4. Sa se rezolve ecuatiile

2 + 5 + 8 + 11 + … + x = 155

5. Sa se determine suma tuturor numerelor pare de doua cifre.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

6. Sa se afle a_{1} + a_{6} + a_{11} + a_{16} daca a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, … o progresie aritmetica si a_{1} + a_{4} + a_{7} + … + a_{16} = 1447.

7. Sa se determine valorile lui x pentru care numerele lg 2, lg(2^{x}−1), lg(2^{x}+3) sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice.

8. Sa se arate ca numerele \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5} nu pot fi termeni ai unei progresii aritmetice.

9. Fie S_{n}, S_{2n}, S_{3n} respectiv sumele primilor n, 2n, 3n termeni ai aceleiasi progresii geometrice. Sa se arate ca este justa relatia

S_{n}(S_{3n} − S_{2n}) = (S_{2n} − S_{n})^{2}.

10. Sa se determine patru numere in progresie aritmetica stiind ca suma lor este 48, iar

raportul dintre produsul termenilor extremi si produsul la ceilalti doi termeni este \frac{27}{35}.

11. Sa se determine o progresie geometrica, continand sapte termeni, daca suma primilor trei termeni este egala cu 26, iar suma ultimilor trei este egala cu 2106.

12. Sa se arate ca numerele α = ^{n} \sqrt{a^{x−y}}, β = ^{2n} \sqrt{a^{z−y}}, γ = ^{n} \sqrt{a^{z−x}} formeaza o progresie geometrica.

13. Sa se determine trei numere, ce formeaza o progresie geometrica, daca suma lor este egala cu 62, iar suma patratelor acestor numere este egala cu 2604.

14. Numerele a_{1}, a_{2}, a_{3} formeaza o progresie aritmetica, iar patratele lor o progresie geometrica. Sa se determine aceste numere, daca suma lor este egala cu 21.

15. Sa se determine progresia aritmetica, daca suma primilor ei zece termeni este egala cu 300, iar primul termen, termenul de rang doi si termenul de rang cinci formeaza o progresie geometrica.

Referinte

1. P.Cojuhari si altii. Progresii aritmetice si geometrice. Mica biblioteca a elevului. Seria Matematica, informatica. Chisinau, Editura ASRM, 1995.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md