Ecuatii logaritmice.

Ecuatia ce contine necunoscuta sub semnul logaritmului sau (si) in baza lui se numeste ecuatie logaritmica.

Cea mai simpla ecuatie logaritmica este ecuatia de tipul

log_{a} x = b.  (1)

Afirmatia 1. Daca a > 0, a ≠ 1, ecuatia (1) pentru orice numar real b are o solutie unica, x = a^{b}.

Exemplul 1. Sa se rezolve ecuatiile:

a) log_{2} x = 3,  b) log_{3} x = −1,  c) log_{\frac{1}{3}} x = 0.

Rezolvare. Se utilizeaza afirmatia 1 si se obtine

a) x = 2^{3} sau x = 8; b) x = 3^{−1} sau x = \frac{1}{3}; c) x = (\frac{1}{3})^{0} sau x = 1. In continuare vom utiliza frecvent urmatoarele proprietati ale logaritmului: P1. Identitatea logaritmica de baza

a^{log_{a} b} = b,

unde a > 0, a ≠ 1 si b > 0.

P2. Logaritmul unui produs de factori pozitivi este egal cu suma logaritmilor factorilor:

log_{a} N_{1} · N_{2} = log_{a} N_{1} + log_{a} N_{2} (a > 0, a ≠ 1, N_{1} > 0, N_{2} > 0).

Nota. Daca N_{1} · N_{2} > 0, atunci proprietatea P_{2} se scrie

log_{a} N_{1} · N_{2} = log_{a} |N_{1}| + log_{a} |N_{2}| (a > 0, a ≠ 1, N_{1} · N_{2} > 0).

P3. Logarimtul raportului a doua numere pozitive este egal cu diferenta logaritmilor deampartitului si impartitorului:

log_{a} \frac{N_{1}}{N_{2}} = log_{a} N_{1} − log_{a} N_{2} (a > 0, a ≠ 1, N_{1} > 0, N_{2} > 0).

Nota. Daca \frac{N_{1}}{N_{2}} > 0 (echivalent cu N_{1}N_{2} > 0) atunci proprietatea P3 se scrie

log_{a} \frac{N_{1}}{N_{2}} = log_{a} |N_{1}| − log_{a} |N_{2}| (a > 0, a ≠ 1, N_{1}N_{2} > 0).

P4. Logaritmul puterii unui numar pozitiv este egal cu produsul dintre exponentul puterii si logaritmul acestui numar

log_{a} N^{k} = k log_{a} N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).

Nota. Daca k este par (k=2s) are loc urmatoarea formula

log_{a} N^{2s} = 2s log_{a} |N| (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

P5. Formula de trecere de la o baza la alta:

log_{a} N = \frac{log_{b} N}{log_{b} a} (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),

in caz particular N = b, se obtine

log_{a} b = \frac{1}{log_{b} a}  (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1).  (2)

Din proprietatile de mai sus rezulta formulele

log_{a^{c}} b^{d} = \frac{d}{c} log_{a} b (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0),  (3)
log_{a^{c}} b^{c} = log_{a} b  (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0),  (4)
log_{a^{c}} b = \frac{1}{c} log_{a} b  (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0)  (5)

si daca in (5) c este par (c = 2n) are loc relatia

log_{a^{2n}} b = \frac{1}{2n} log_{|a|} b (b > 0, a ≠ 0, |a| ≠ 1).  (6)

Vom enumera si proprietatile de baza ale functiei logaritmice f(x) = log_{a} x:

1. Domeniul de definitie al functiei logaritmice este multimea numerelor reale pozitive.

2. Domeniul de valori al functiei logaritmice este multimea numerelor reale.

3. Pentru a > 1 functia logaritmica este strict crescatoare (0 < x_{1} < x_{2} ⇒ log_{a} x_{1} < log_{a} x_{2}), iar pentru 0 < a < 1, este strict descrescatoare (0 < x_{1} < x_{2} ⇒ log_{a} x_{1} > log_{a} x_{2}).

4. log_{a} 1 = 0 si log_{a} a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. Daca a > 1 atunci functia logaritmica primeste valori negative pentru x ∈ (0; 1) si valori pozitive pentru x ∈ (1; +∞), iar daca 0 < a < 1, functia logaritmica ia valori pozitive pentru x ∈ (0; 1) si valori negative pentru x ∈ (1; +∞).

6. Daca a > 1 functia logaritmica este concava, iar pentru a ∈ (0; 1) functia logaritmica este convexa.

Urmatoarele afirmatii (a se vedea, [1]) sunt utile la rezolvarea ecuatiilor logaritmice: Afirmatia 1. Ecuatia log_{a} f(x) = log_{a} g(x) (a > 0, a ≠ 1) este echivalenta cu unul din

sistemele (evident, se alege acel sistem, inecuatia caruia se rezolva mai simplu)

\{ \begin{matrix}f(x) = g(x), \\ f(x) > 0, \end{matrix}  \{ \begin{matrix}f(x) = g(x), \\ g(x) > 0. \end{matrix}

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Afirmatia 2. Ecuatia log_{h(x)} f(x) = log_{h(x)} g(x) este echivalenta cu unul din sistemele

\{ \begin{matrix}f(x) = g(x), \\ h(x) > 0, \\ h(x) ≠ 1, \\ f(x) > 0, \end{matrix}  \{ \begin{matrix}f(x) = g(x), \\ h(x) > 0, \\ h(x) ≠ 1, \\ g(x) > 0. \end{matrix}

Tinem sa mentionam ca in procesul rezolvarii ecuatiilor logaritmice adesea se aplica transformari ce modifica domeniul de valori admisibile (DV A) al ecuatiei initiale. Prin urmare pot aparea solutii ”straine” sau pot fi pierdute unele solutii. De exemplu ecuatiile

f(x) = g(x) si log_{a} f(x) = log_{a} g(x)

sau

log_{a}[f(x) · g(x)] = b si log_{a} f(x) + log_{a} g(x) = b

in general nu sunt echivalente (DV A al ecuatiilor din dreapta este mai ingust).

Prin urmare la rezolvarea ecuatiilor logaritmice este util de folosit in DV A transformari echivalente. In caz contrar verificarea solutiilor este parte componenta a rezolvarii. In plus, se tine seama de transformarile ce pot aduce la pierderea solutiilor.

In continuare vom considera cele mai frecvente metode de rezolvare a ecuatiilor logaritmice.

I. Utilizarea definitiei logaritmului

Exemplul 2. Sa se rezolve ecuatiile:

a) log_{2}(5 + 3 log_{2}(x − 3)) = 3, c) log_{(x−2)} 9 = 2,
b) log_{3} \frac{x − 3}{x + 3} = 1,  d) log_{2x+1}(2x^{2} − 8x + 15) = 2.

Rezolvare. a) Logaritm a numarului pozitiv b in baza a (a > 0, a ≠ 1) se numeste exponentul puterii, la care trebuie ridicat a ca sa obtinem b. Asadar log_{a} b = c ⇔ b = a^{c} si, prin urmare,

5 + 3 log_{2}(x − 3) = 2^{3}

sau

3 log_{2}(x − 3) = 8 − 5, log_{2}(x − 3) = 1.

Iar utilizand definitia, se obtine

x − 3 = 2^{1}, x = 5.

Verificarea este parte componenta a rezolvarii acestei ecuatii:

log_{2}(5 + 3 log_{2}(5 − 3)) = log_{2}(5 + 3 log_{2} 2) = log_{2}(5 + 3) = log_{2} 8 = 3.

Se obtine 3 = 3 si prin urmare x = 5 este solutie a acestei ecuatii. b) Similar exemplului a) se obtine ecuatia

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

\frac{x − 3}{x + 3} = 3.

Se reduce la rezolvarea ecuatiei liniare x − 3 = 3(x + 3) de unde rezulta x = −6. Se efectueaza verificarea si se obtine ca x = −6 este solutia ecuatiei initiale.

c) Similar exemplului a) se obtine ecuatia

(x − 2)^{2} = 9.

Se ridica la patrat si se obtine ecuatia patrata x^{2} − 4x − 5 = 0 cu solutiile x_{1} = −1 si x_{2} = 5. Dupa verificare ramane doar x = 5.

d) Se aplica definitia logaritmului si se obtine ecuatia

(2x^{2} − 8x + 15) = (2x + 1)^{2}

sau, dupa transformari elementare,

x^{2} + 6x − 7 = 0,

de unde x_{1} = −7 si x_{2} = 1. Dupa verificare ramane x = 1.

II. Utilizarea proprietatilor logaritmului

Exemplul 3. Sa se rezolve ecuatiile

a) log_{3} x + log_{3}(x + 3) = log_{3}(x + 24),

b) log_{4}(x^{2} − 4x + 1) − log_{4}(x^{2} − 6x + 5) = −\frac{1}{2},

c) log_{2} x + log_{3} x = 1,

d) 2 log_{3}(x − 2) + log_{3}(x − 4)^{2} = 0,

e) 16^{log_{4}(1−2x)} = 5x^{2} − 5.

Rezolvare. a) DV A al ecuatiei x ∈ (0; +∞) se determina rezolvand sistemul (conditia de existenta a logaritmilor ce sunt prezenti in ecuatie)

\{ \begin{matrix}x > 0, \\ x + 3 > 0, \\ x + 24 > 0. \end{matrix}

Se aplica proprietatea P2 si afirmatia 1 si se obtine

log_{3} x + log_{3}(x + 3) = log_{3}(x + 24) ⇔ \{ \begin{matrix}log_{3} x(x + 3) = log_{3}(x + 24), \\ x > 0, \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}x(x + 3) = x + 24, \\ x > 0, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x^{2} + 2x − 24 = 0, \\ x > 0, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x_{1} = −6, \\ x_{2} = 4, \end{matrix} \\ x > 0, \end{matrix} ⇔ x = 4.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

b) Se utilizeaza proprietatea P3 si se obtine o consecinta a ecuatiei initiale

log_{4} \frac{x^{2} − 4x + 1}{x^{2} − 6x + 5} = −\frac{1}{2},

apoi, conform definitiei logaritmice, se obtine ecuatia algebrica

\frac{x^{2} − 4x + 1}{x^{2} − 6x + 5} = 4^{− \frac{1}{2}}

sau

x^{2} − 4x + 1 = \frac{1}{2}(x^{2} − 6x + 5),

de unde

x^{2} − 2x − 3 = 0

si x_{1} = −1 si x = 3. Dupa verificare ramane x = −1.

c) DV A : x ∈ (0; +∞). Se utilizeaza proprietatea P5 si se obtine ecuatia

log_{2} x + \frac{log_{2} x}{log_{2} 3} = 1

sau log_{2} x (1 + \frac{1}{log_{2} 3}) = 1, log_{2} x(1 + log_{3} 2) = 1, de unde log_{2} x = \frac{1}{1 + log_{3} 2} sau

log_{2} x = \frac{1}{log_{3} 6}, sau log_{2} x = log_{6} 3 . Asadar, x = 2^{log_{6} 3}.

d) DV A al ecuatiei se obtine rezolvand sistemul \{ \begin{matrix}x − 2 > 0, \\ (x − 4)^{2} ≠ 0, \end{matrix} si este x ∈ (2; 4)∪(4; +∞).

Se aplica proprietatea P4 (se tine seama de nota la ea si se obtine ecuatia echivalenta

2 log_{3}(x − 2) + 2 log_{3} |x − 4| = 0

sau log_{3}(x − 2) + log_{3} |x − 4| = 0 Se utilizeaza proprietatea P2 si pe DV A se obtine ecuatia echivalenta

log_{3}(x − 2)|x − 4| = 0 (x − 2)|x − 4| = 1.

Cum in DV A x − 2 = |x − 2| ecuatia se scrie

|x − 2||x − 4| = 1 sau |x^{2} − 6x + 8| = 1

ultima ecuatie fiind echivalenta (a se vedea proprietatile modulului) cu totalitatea de ecuatii

[ \begin{matrix}x^{2} − 6x + 8 = 1, \\ x^{2} − 6x + 8 = −1, \end{matrix}

de unde, rezolvand ecuatiile patrate, se obtine x_{1} = 3, x_{2} = 3 + \sqrt{2} si x_{3} = 3 − \sqrt{2} ∉ DV A. Asadar solutiile ecuatiei initiale sunt x_{1} = 3 si x_{2} = 3 + \sqrt{2}. e) Cum

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

16^{log_{4}(1−2x)} = 4^{2 log_{4}(1−2x)} = [4^{log_{4}(1−2x)}]^{2}

se aplica proprietatea P1 si se obtine ca in DV A (x ∈ (−∞; −1)) ecuatia este echivalenta cu

(1 − 2x)^{2} = 5x^{2} − 5

sau

x^{2} + 4x − 6 = 0,

de unde rezulta x_{1} = −2 − \sqrt{10} si x_{2} = −2 + \sqrt{10}. Ultima valoare a lui x nu intra in DV A, ramane unica solutie x = −2 − \sqrt{10}.

III. Metoda substitutiei

In unele cazuri ecuatia logaritmica poate fi redusa la o ecuatie algebrica relativ la o necunoscuta noua. De exemplu, ecuatia F (log_{a} x) = 0, unde F (x) este o functie algebrica rationala, prin intermediul substitutiei log_{a} x = t se reduce la o ecuatie algebrica in raport cu t, R(t) = 0.

Exemplul 4. Sa se rezolve ecuatiile:

a) lg^{2} x − 3 lg x + 2 = 0,  c) lg^{2} 100x + lg^{2} 10x + lg x = 14,
b) log_{2}^{2}(x − 1)^{2} − 3 log_{2}(x − 1) − 1 = 0, d) 5^{lg x} = 50 − x^{lg 5}.

Rezolvare. a) DV A al ecuatiei este x ∈ (0; +∞). Se noteaza lg x = t, atunci lg^{2} x = (lg x)^{2} = t^{2} si se obtine ecuatia patrata

t^{2} − 3t + 2 = 0,

cu solutiile t_{1} = 1 si t_{2} = 2. Se revine la necunoscuta initiala si se rezolva totalitatea de ecuatii logaritmice

[ \begin{matrix}lg x = 1, \\ lg x = 2, \end{matrix}

de unde x_{1} = 10 si x_{2} = 100. Ambele solutii sunt din DV A.

b) DV A al ecuatiei este multimea (1; +∞). Cum log_{2}^{2}(x − 1)^{2} = [log_{2}(x − 1)^{2}]^{2} = = (2 log_{2} |x − 1|)^{2} = (2 log_{2}(x − 1))^{2} = 4[log_{2}(x − 1)]^{2}, prin substitutia t = log_{2}(x − 1) se obtine ecuatia patrata

4t^{2} − 3t − 1 = 0

cu solutiile t_{1} = −\frac{1}{4} si t_{2} = 1. Se revine la necunoscuta initiala si se obtine:

[ \begin{matrix}log_{2}(x − 1) = −\frac{1}{4}, \\ log_{2}(x − 1) = 1, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x − 1 = 2^{− \frac{1}{4}} , \\ x − 1 = 2^{1}, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x = 1 + \frac{1}{\sqrt[4]{2}}, \\ x = 3. \end{matrix}

c) DV A al ecuatiei este multimea (0; +∞). Cum

lg^{2} 100x = (lg 100x)^{2} = (lg 100 + lg x)^{2} = (2 + lg x)^{2},

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

lg^{2} 10x = (lg 10x)^{2} = (lg 10 + lg x)^{2} = (1 + lg x)^{2},

cu ajutorul substitutiei t = lg x ecuatia se reduce la ecuatia patrata

(2 + t)^{2} + (1 + t)^{2} + t = 14

sau

2t^{2} + 7t − 9 = 0

cu solutie t_{1} = −\frac{9}{2} si t_{2} = 1. Se revine la variabila initiala si se obtine x_{1} = 10^{− \frac{9}{2}} si x_{2} = 10.

d) DV A al ecuatiei este x ∈ (0; 1) ∪ (1; +∞). Cum x^{lg 5} = x^{\frac{log_{x} 5}{log_{x} 10}} = (x^{log_{x} 5})^{\frac{1}{log_{x} 10}} =

5^{\frac{1}{log_{x} 10}} = 5^{lg x}, ecuatia devine 5^{lg x} = 50 − 5^{lg x} sau 2 · 5^{lg x} = 50, de unde 5^{lg x} = 25 sau 5^{lg x} = 5^{2} ⇔ lg x = 2 ⇔ x = 100.

IV. Ecuatii ce contin expresii de tipul f(x)^{log_{a} g(x)}

Exemplul 5. Sa se rezolve ecuatiile:

a) (x + 2)^{log_{2}(x+2)} = 4(x + 2), b) 5^{log_{2} x} + x^{log_{2} 5} = 10.

Rezolvare. a) DV A al acuatiei se determina din sistemul \{ \begin{matrix}x + 2 > 0, \\ x + 2 ≠ 1, \end{matrix} si se obtine x ∈

(−2; −1)∪(−1; +∞). In DV A ambii membri ai ecuatiei sunt pozitivi, prin urmare, logaritmand ambii membri ai ecuatiei, de exemplu in baza 2, se obtine ecuatia echivalenta

log_{2}(x + 2)^{log_{2}(x+2)} = log_{2}(4 · (x + 2))

sau, utilizand proprietatile P4 si P2,

log_{2}(x + 2) · log_{2}(x + 2) = log_{2} 4 + log_{2}(x + 2).

Se noteaza log_{2}(x + 2) = t si se obtine ecuatia patrata

t^{2} − t − 2 = 0

cu solutiile t_{1} = −1 si t_{2} = 2. Asadar,

[ \begin{matrix}log_{2}(x + 2) = −1, \\ log_{2}(x + 2) = 2, \end{matrix}

de unde [ \begin{matrix}x + 2 = \frac{1}{2}, \\ x + 2 = 4 \end{matrix} sau [ \begin{matrix}x_{1} = −\frac{3}{2}, \\ x_{2} = 2. \end{matrix} Ambele solutii sunt din DV A.

b) DV A al ecuatiei x ∈ (0; 1) ∪ (1; +∞). Cum (a se vedea proprietatea P5 si formula (2))

5^{log_{2} x} = 5^{\frac{log_{5} x}{log_{5} 2}} = (5^{log_{5} x})^{\frac{1}{log_{5} 2}} = x^{log_{2} 5},

ecuatia devine

x^{log_{2} 5} + x^{log_{2} 5} = 10 sau x^{log_{2} 5} = 5.

Se logaritmeaza ambii membri ai ecuatiei in baza 2 si se obtine

log_{2} x^{log_{2} 5} = log_{2} 5

sau log_{2} x = 1, de unde x = 2.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

V. Unele metode speciale

Exemplul 6. Sa se rezolve ecuatiile

a) 2^{x} = 9 − log_{3} x;
b) x log_{3}^{2}(x − 1) + 4(x − 1) log_{3}(x − 1) − 16 = 0;
c) log_{2}(x^{2} + 1) − log_{2} x = 2x − x^{2};
d) log_{5}(x + 2) = 4 − x;
e) \sqrt{log_{2}(2x^{2}) log_{4}(16x)} = log_{4} x^{3};
f) | log_{2}(3x − 1) − log_{2} 3| = | log_{2}(5 − 2x) − 1|;
g) log_{x+1}(x^{3} − 9x + 8) log_{x−1}(x + 1) = 3;
h) log_{2}(6x − x^{2} − 5) = x^{2} − 6x + 11.

Rezolvare. a) Se observa ca x = 3 este solutie a acestei ecuatii: 2^{3} = 9 − log_{3} 3, 8 = 9 − 1, 8 = 8. Alte solutii ecuatia nu are. In adevar, membrul din stanga ecuatiei reprezinta o functie strict crescatoare, iar cel din dreapta - o functie strict descrescatoare si, prin urmare, graficele acestor functii pot avea cel mult un punct comun. Cum x = 3 este solutie, rezulta ca altele nu sunt.

b) DV A al ecuatiei x ∈ (1; +∞). Se noteaza log_{3}(x − 1) = t si se obtine o ecuatie patrata in t

xt^{2} + 4(x − 1)t − 16 = 0.

Discriminantul acestei ecuatii este Δ = [4(x − 1)]^{2} + 4x · 16 = 16x^{2} + 32x + 16 = 16(x + 1)^{2}, iar radacinile

t_{1} = \frac{−4(x − 1) − 4(x + 1)}{2x} = −4 si t_{2} = \frac{−4(x − 1) + 4(x + 1)}{2x} = \frac{4}{x}.

Astfel se obtine totalitatea

[ \begin{matrix}log_{3}(x − 1) = −4, \\ log_{3}(x − 1) = \frac{4}{x}. \end{matrix}

Din prima ecuatie a totalitatii rezulta x_{1} = 1\frac{1}{81}, iar a doua se rezolva similar exemplului precedent: se observa ca x = 4 este solutie a ecuatiei si se arata ca altele nu sunt. In adevar,

membrul din stanga ecuatiei log_{3}(x−1) = \frac{4}{x} reprezinta o functie strict crescatoare pe DV A, iar membrul din dreapta in DV A este o functie strict descrescatoare, si prin urmare, graficele lor pot avea cel mult un punct comun. Asadar ultima ecuatie are solutia unica x = 4, iar ecuatia initiala solutiile x_{1} = 1\frac{1}{81} si x = 4.

c) DV A al ecuatiei se determina din sistemul \{ \begin{matrix}x^{2} + 1 > 0, \\ x > 0, \end{matrix} de unde rezulta x ∈ (0; +∞).

Se aplica proprietatea P3 si se obtine ecuatia echivalenta

log_{2} \frac{x^{2} + 1}{x} = 2x − x^{2}.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Cum \frac{x^{2} + 1}{x} = x + \frac{1}{x} ≥ 2 pentru x > 0 iar semnul egalitatii se obtine doar pentru x = 1, rezulta ca membrul din stanga, log_{2} \frac{x^{2} + 1}{x} ≥ 1. In acelas timp membrul din dreapta ecuatiei are valoarea maxima 1 pentru x = 1 (varful parabolei y = 2x − x^{2} se afla in punctul (1;1)). Astfel ecuatia are solutii numai in cazul cand \{ \begin{matrix}log_{2} \frac{x^{2} + 1}{x} = 2, \\ 2x − x^{2} = 2, \end{matrix} adica x = 1.

d) Se rezolva similar exemplului a) si se obtine x = 3.

e) Se utilizeaza teorema A1 din ecuatii irationale si se obtine

\sqrt{log_{2}(2x^{2}) log_{4}(16x)} = log_{4} x^{3} ⇔ \{ \begin{matrix}log_{2}(2x^{2}) log_{4}(16x) = (log_{4} x^{3})^{2} , \\ log_{4} x^{3} ≥ 0, \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}(log_{2} 2 + log_{2} x^{2})(log_{4} 16 + log_{4} x) = (\frac{3}{2} log_{2} x)^{2} , \\ x ≥ 1, \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}(1 + 2 log_{2} x)(2 + \frac{1}{2} log_{2} x) = \frac{9}{4} log_{2}^{2} x, \\ x ≥ 1, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}\frac{5}{4} log_{2}^{2} x − \frac{9}{2} log_{2} x − 2 = 0, \\ x ≥ 1, \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}t = log_{2} x, \\ 5t^{2} − 18t − 8 = 0, \\ x ≥ 1, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}t = log_{2} x, \\ [ & \begin{matrix}t_{1} = −\frac{2}{5}, \\ t_{2} = 4, \end{matrix} \\ x ≥ 1, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}log_{2} x = −\frac{2}{5}, \\ log_{2} x = 4, \end{matrix} \\ x ≥ 1, \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x = \frac{1}{\sqrt[5]{2}}, \\ x = 16, \end{matrix} \\ x ≥ 1, \end{matrix} ⇔ x = 16.

f) Se utilizeaza proprietatea P3, P2 si proprietatile modulului (a se vedea, de exemplu [2]) si se obtine

| log_{2}(3x − 1) − log_{2} 3| = | log_{2}(5 − 2x) − 1| ⇔ | log_{2} \frac{3x − 1}{3}| = | log_{2} \frac{5 − 2x}{2}| ⇔

⇔ (log_{2} \frac{3x − 1}{3} − log_{2} \frac{5 − 2x}{x}) · (log_{2} \frac{3x − 1}{3} + log_{2} \frac{5 − 2x}{2}) = 0 ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}log_{2} (\frac{3x − 1}{3} · \frac{2}{5 − 2x}) = 0, \\ log_{2} (\frac{3x − 1}{3} · \frac{5 − 2x}{2}) = 0, \end{matrix} \\ \frac{1}{3} < x < \frac{5}{2} \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}2(3x − 1) = 3(5 − 2x), \\ (3x − 1)(5 − 2x) = 6, \end{matrix} \\ \frac{1}{3} < x < \frac{5}{2} \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x = \frac{17}{12}, \\ x = 1, x = \frac{11}{6}, \end{matrix} \\ \frac{1}{3} < x < \frac{5}{2}, \end{matrix} ⇔ x ∈ \{1; \frac{17}{12}; \frac{11}{6}\} .

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

g) Se determina DV A al ecuatiei

\{ \begin{matrix}x + 1 > 0, \\ x + 1 ≠ 1, \\ x^{3} − 9x + 8 > 0, \\ x − 1 > 0, \\ x − 1 ≠ 1, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x > −1, \\ x ≠ 0, \\ x^{3} − x − 8x + 8 > 0, \\ x > 1, \\ x ≠ 2, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x > 1, \\ x ≠ 2, \\ (x − 1)(x^{2} + x − 8) > 0, \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}x > 1, \\ x ≠ 2, \\ x^{2} + x − 8 > 0, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x > 1, \\ x ≠ 2, \\ [ & \begin{matrix}x < \frac{−1 − \sqrt{33}}{2}, \\ x > \frac{−1 + \sqrt{33}}{2}, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ x > \frac{\sqrt{33} − 1}{2}.

Se aplica proprietatea P5 si se obtine (pe DV A)

log_{x+1}(x − 1)(x^{2} + x − 8) · \frac{1}{log_{x+1}(x − 1)} = 3

sau

log_{x+1}(x − 1)(x^{2} + x − 8) = log_{x+1}(x − 1)^{3},

de unde rezulta

(x − 1)(x^{2} + x − 8) = (x − 1)^{3},

sau

[ \begin{matrix}x = 1, \\ x^{2} + x − 8 = x^{2} − 2x + 1, \end{matrix}

de unde x_{1} = 1, x_{2} = 3.

Cum x = 1 nu verifica DV A si 3 > \frac{\sqrt{33} − 1}{2} ramane numai x = 3.

h) Cum functia f(x) = 6x − x^{2} − 5 isi atinge maximul 4 pentru x = 3, rezulta

log_{2}(6x − x^{2} − 5) ≤ 2.

Membrul din dreapta ecuatiei x^{2} − 6x + 11 = x^{2} − 6x + 9 + 2 = (x − 3)^{2} + 2 si, prin urmare 2 este valoarea minima (se atinge pentru x = 3). Astfel ecuatia are solutii doar cand concomitent log_{2}(6x − x^{2} − 5) = 2 si x^{2} − 6x + 11 = 2 adica x = 3.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Inecuatii logaritmice.

Inecuatia ce contine necunoscuta sub semnul logaritmului se numeste logaritmica. In procesul rezolvarii inecuatiilor logaritmice se aplica frecvent urmatoarele afirmatii refer-

itor echivalenta ecuatiilor si se tine seama de proprietatea de monotonie a functiei logaritmice (a se vedea de exemplu [1]).

Afirmatia 1. Daca a > 1, inecuatia log_{a} f(x) > log_{a} g(x) este echivalenta cu sistemul de

inecuatii \{ \begin{matrix}f(x) > g(x), \\ g(x) > 0. \end{matrix}

Afirmatia 2. Daca 0 < a < 1, inecuatia log_{a} f(x) > log_{a} g(x) este echivalenta cu sistemul

de inecuatii \{ \begin{matrix}f(x) < g(x), \\ f(x) > 0. \end{matrix}

Afirmatia 3. Inecuatia log_{h(x)} f(x) > log_{h(x)} g(x) este echivalenta cu totalitatea sistemelor de inecuatii:

[ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}h(x) > 1, \\ f(x) > g(x) > 0, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}0 < h(x) < 1, \\ 0 < f(x) < g(x). \end{matrix} \end{matrix}

Mentionam, ca in inecuatia log_{a} f(x) > log_{a} g(x) in locul semnului > poate sa figureze unul din semnele ≥, <, ≤. In asa caz afirmatiile 1-3 se modifica respectiv.

Exemplul 1. Sa se rezolve inecuatiile

a) log_{3}(x^{2} − x) ≥ log_{3}(x + 8); d) log_{\frac{x+2}{x−3}} (5 − x) > log_{\frac{x+2}{x−3}} (4 − x);
b) log_{0,2}(5 − x) > log_{0,2} \frac{2}{x − 2}; e) log_{2x}(x^{2} − 5x + 6) < 1.
c) log_{2}(log_{\frac{1}{3}} (log_{8} x)) > 0;

Rezolvare. a) Se aplica afirmatia 1 si se obtine

log_{3}(x^{2} − x) ≥ log_{3}(x + 8) ⇔ \{ \begin{matrix}x^{2} − x ≥ x + 8, \\ x + 8 > 0, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x^{2} − 2x − 8 ≥ 0, \\ x > −8 \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x ≤ −2, \\ x ≥ 4, \end{matrix} \\ x > −8, \end{matrix} ⇔ x ∈ (−8; −2] ∪ [4; +∞).

b) Baza logaritmului din inecuatie este un numar intre zero si unu, se aplica afirmatia 2 si se obtine

log_{0,2}(5 − x) > log_{0,2} \frac{2}{x − 2} ⇔ \{ \begin{matrix}5 − x < \frac{2}{x − 2}, \\ 5 − x > 0, \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}\frac{(5 − x)(x − 2) − 2}{x − 2} < 0, \\ x < 5, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}\frac{7x − x^{2} − 12}{x − 2} < 0, \\ x < 5, \end{matrix} ⇔

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

⇔ \{ \begin{matrix}\frac{−(x − 3)(x − 4)}{x − 2} < 0, \\ x < 5, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}2 < x < 3, \\ x > 4, \end{matrix} \\ x < 5, \end{matrix} ⇔

[ \begin{matrix}2 < x < 3, \\ 4 < x < 5, \end{matrix} ⇔ x ∈ (2; 3) ∪ (4; 5).

c) Se scrie 0 = log_{2} 1 si se aplica afirmatia 1

log_{2}(log_{\frac{1}{3}} (log_{8} x)) > log_{2} 1 ⇔ log_{\frac{1}{3}} (log_{8} x) > 1.

Se scrie 1 = log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} si se aplica afirmatia 2 si se rezolva sistemul obtinut

log_{\frac{1}{3}} (log_{8} x) > log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} ⇔ \{ \begin{matrix}log_{8} x < \frac{1}{3}, \\ log_{8} x > 0, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}0 < x < 8^{\frac{1}{3}} , \\ x > 1, \end{matrix} ⇔ 1 < x < 2.

d) Se aplica afirmatia 3 si se obtine

log_{\frac{x+2}{x−3}} (5 − x) > log_{\frac{x+2}{x−3}} (4 − x) ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}\frac{x + 2}{x − 3} > 1, \\ 5 − x > 4 − x > 0, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}0 < \frac{x + 2}{x − 3} < 1, \\ 0 < 5 − x < 4 − x, \end{matrix} \end{matrix} ⇔

⇔ [ \begin{matrix}x ∈ (3; 4), \\ x ∈ ∅, \end{matrix} ⇔ x ∈ (3; 4).

Rezolvarea primului sistem al totalitatii

\{ \begin{matrix}\frac{x + 2}{x − 3} > 1, \\ 5 − x > 4 − x, \\ 4 − x > 0, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}\frac{x + 2}{x − 3} − 1 > 0, \\ 5 > 4, \\ x < 4, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}\frac{5}{x − 3} > 0, \\ x ∈ R, \\ x < 4, \end{matrix} ⇔ 3 < x < 4.

Rezolvarea ultimului sistem al totalitatii

\{ \begin{matrix}0 < \frac{x + 2}{x − 3}, \\ \frac{x + 2}{x − 3} < 1, \\ 0 < 5 − x, \\ 5 − x < 4 − x, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x < −2, \\ x > 3, \end{matrix} \\ \frac{5}{x − 3} < 0, \\ x < 5, \\ 5 < 4, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x < −2, \\ x > 3, \end{matrix} \\ x < 3, \\ x < 5, \\ x ∈ ∅, \end{matrix} ⇔ x ∈ ∅.

e) Se scrie 1 = log_{2x} 2x, se aplica afirmatia 3 si se tine seama ca semnul > este inlocuit cu <.

log_{2x}(x^{2} − 5x + 6) < log_{2x} 2x ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}2x > 1, \\ x^{2} − 5x + 6 < 2x, \\ x^{2} − 5x + 6 > 0, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}0 < 2x < 1, \\ x^{2} − 5x + 6 > 2x, \\ 2x > 0, \end{matrix} \end{matrix} ⇔

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

⇔ [ \begin{matrix}x ∈ (1; 2) ∪ (3; 6), \\ x ∈ (0; \frac{1}{2}), \end{matrix} ⇔ x ∈ (0; \frac{1}{2}) ∪ (1; 2) ∪ (3; 6).

Rezolvarea primului sistem al totalitatii

\{ \begin{matrix}x > \frac{1}{2}, \\ x^{2} − 7x + 6 < 0, \\ [ & \begin{matrix}x < 2, \\ x > 3, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x > \frac{1}{2}, \\ 1 < x < 6, \\ [ & \begin{matrix}x < 2, \\ x > 3, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ x ∈ (1; 2) ∪ (3; 6).

Rezolvarea ultimului sistem al totalitatii

\{ \begin{matrix}0 < x < \frac{1}{2}, \\ x^{2} − 7x + 6 > 0, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}0 < x < \frac{1}{2}, \\ [ & \begin{matrix}x < 1, \\ x > 6, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ x ∈ (0; \frac{1}{2}).

Inecuatia de tipul F (log_{a} x) > 0, se reduce prin intermediul substitutiei t = log_{a} x la inecuatia algebrica F (t) > 0. Se rezolva inecuatia F (t) > 0, iar apoi se rezolva ecuatiile logaritmice simple ce se obtin. Bineanteles aceeasi se refera si la inecuatiile similare ce se obtin din cea precedenta, inlocuind in locul semnului > unul din semnele <, ≤, ≥.

Exemplul 2. Sa se rezolve inecuatiile

a) log2_{\frac{1}{2}} x + log_{\frac{1}{2}} x − 2 ≥ 0;

b) \frac{1}{5 − lg x} + \frac{2}{1 + lg x} < 1.

Rezolvare. a) Se noteaza t = log_{\frac{1}{2}} x si se rezolva inecuatia patrata t^{2} + t − 2 ≥ 0, de unde rezulta t ≤ −2 sau t ≥ 1. Asadar se obtine totalitatea, ce se rezolva astfel:

[ \begin{matrix}log_{\frac{1}{2}} x ≤ −2, \\ log_{\frac{1}{2}} x ≥ 1, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x ≥ (\frac{1}{2})^{−2} , \\ 0 < x ≤ (\frac{1}{2})^{1} , \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x ≥ 4, \\ 0 < x ≤ \frac{1}{2}, \end{matrix} ⇔ x ∈ (0; \frac{1}{2}] ∪ [4; +∞).

b) Se noteaza t = lg x si se obtine inecuatia rationala

\frac{1}{5 − t} + \frac{2}{1 + t} < 1

ce se rezolva utilizand metoda intervalelor (a se vedea de exemplu [1], [2])

\begin{matrix}\frac{1}{5 − t} + \frac{2}{1 + t} < 1 ⇔ \frac{1 + t + 2(5 − t) − (5 − t)(1 + t)}{(5 − t)(1 + t)} < 0 ⇔ \\ ⇔ \frac{t^{2} − 5t + 6}{(5 − t)(1 + t)} < 0 ⇔ \frac{(t − 2)(t − 3)}{(5 − t)(t + 1)} < 0 ⇔ [ \begin{matrix}t < −1, \\ 2 < t < 3, \\ t > 5. \end{matrix} \end{matrix}

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Se revine la variabila initiala si se obtine

\{ \begin{matrix}lg x < −1, \\ 2 < lg x < 3, \\ lg x > 5, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}0 < x < \frac{1}{10}, \\ 100 < x < 1000, \\ x > 10^{5}, \end{matrix} ⇔ x ∈ (0; \frac{1}{10}) ∪ (100; 1000) ∪ (10^{5}; +∞).

In cazul inecuatiilor logaritmice ce nu au forma celor din afirmatiile 1-3, se determina DV A si prin transformari ce pastreaza echivalenta se reduc la inecuatii ce se rezolva cu ajutorul echivalentelor 1-3.

Exemplul 3. Sa se rezolve inecuatiile

a) lg(x − 2) + lg(x − 5) < lg 4; c) \frac{log_{2}(\sqrt{4x + 5} − 1)}{log_{2}(\sqrt{4x + 5} + 11)} > \frac{1}{2};
b) log_{9x} 3x + log_{3x^{2}} 9x^{2} ≤ \frac{5}{2};  d) \frac{1}{log_{2}(x − 1)} < \frac{1}{log_{2} \sqrt{x + 1}}.

Rezolvare. a) DV A al inecuatiei este multimea (5; +∞). Se aplica proprietatea P2 si se obtine inecuatia

lg(x − 2)(x − 5) < lg 4.

Se utilizeaza afirmatia 1 si se obtine sistemul

\{ \begin{matrix}(x − 2)(x − 5) < 4, \\ (x − 2)(x − 5) > 0. \end{matrix}

Se rezolva sistemul

\{ \begin{matrix}x^{2} − 7x + 6 < 0, \\ [ & \begin{matrix}x < 2, \\ x > 5, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}1 < x < 6, \\ [ & \begin{matrix}x < 2, \\ x > 5, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ x ∈ (1; 2) ∪ (5; 6).

Se tine seama de DV A si ramane x ∈ (5; 6).

b) DV A al inecuatiei se determina din sistemul

\{ \begin{matrix}3x > 0, \\ 9x > 0, \\ 9x ≠ 1, \\ 3x^{2} > 0, \\ 3x^{2} ≠ 1, \\ 9x^{2} > 0, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x > 0, \\ x ≠ \frac{1}{9}, \\ x ≠ ±\frac{1}{\sqrt{3}}, \end{matrix} ⇔ x ∈ (0; \frac{1}{9}) ∪ (\frac{1}{9}; \frac{1}{\sqrt{3}}) ∪ (\frac{1}{\sqrt{3}}; +∞).

Se trec toti logaritmii in baza 3

\frac{log_{3} 3x}{log_{3} 9x} + \frac{log_{3} 9x^{2}}{log_{3} 3x^{2}} ≤ \frac{5}{2}.

Se aplica proprietatea P2 si se obtine

\frac{1 + log_{3} x}{2 + log_{3} x} + \frac{2 + 2 log_{3} x}{1 + 2 log_{3} x} ≤ \frac{5}{2}.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Se noteaza log_{3} x = t si se rezolva ecuatia rationala obtinuta prin metoda intervalelor.

\begin{matrix}\frac{1 + t}{2 + t} + \frac{2 + 2t}{1 + 2t} − \frac{5}{2} ≤ 0 ⇔ \frac{2(1 + t)(1 + 2t) + 2(2 + 2t)(2 + t) − 5(2 + t)(1 + 2t)}{2(2 + t)(1 + 2t)} ≤ 0 ⇔ \\ ⇔ \frac{−2t^{2} − 7t}{(2 + t)(1 + 2t)} ≤ 0 ⇔ \frac{−t(2t + 7)}{(2 + t)(1 + 2t)} ≤ 0 ⇔ t ∈ (−∞; −\frac{7}{2}] ∪ (−2; −\frac{1}{2}) ∪ [0; +∞). \end{matrix}

Asadar, revenind la variabila initiala se obtine totalitatea de inecuatii logaritmice simple

[ \begin{matrix}log_{3} x ≤ −\frac{7}{2}, \\ −2 < log_{3} x < −\frac{1}{2}, \\ log_{3} x ≥ 0, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}0 < x ≤ \frac{1}{\sqrt{3^{7}}} , \\ \frac{1}{9} < x < \frac{1}{\sqrt{3}}, \\ x ≥ 1. \end{matrix}

Se tine seama de DV A si se obtine multimea solutiilor inecuatiei initiale

x ∈ (0; \frac{1}{27\sqrt{3}}] ∪ (\frac{1}{9}; \frac{1}{\sqrt{3}}) ∪ [1; +∞).

c) DV A al inecuatiei se obtine rezolvand sistemul

\{ \begin{matrix}\sqrt{4x + 5} − 1 > 0, \\ \sqrt{4x + 5} + 11 > 0, \\ \sqrt{4x + 5} + 11 ≠ 1, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x > −1, \\ x ≥ −\frac{5}{4}, \end{matrix} ⇔ x > −1.

Cum log_{2}(\sqrt{4x + 5} + 11) = log_{2}(1 + (\sqrt{4x + 5} + 10)) > log_{2} 1 = 0 inecuatia este echivalenta cu inecuatia

2 log_{2}(\sqrt{4x + 5} − 1) > log_{2}(\sqrt{4x + 5} + 11)

de unde rezulta

(\sqrt{4x + 5} − 1)^{2} > \sqrt{4x + 5} + 11.

Se efectueaza substitutia t = \sqrt{4x + 5}, t ≥ 0 si se obtine inecuatia patrata

(t − 1)^{2} > t + 11,

sau

t^{2} − 3t − 10 > 0,

de unde t < −2 sau t > 5. Cum t ≥ 0, ramane t > 5 sau \sqrt{4x + 5} > 5 ⇔ x > 5. Se tine seama de DV A si se obtine raspunsul x ∈ (5; +∞).

d) Se utilizeaza metoda intervalelor generalizata: (DV A x ∈ (1; 2) ∪ (2; +∞)).

\frac{1}{log_{2}(x − 1)} < \frac{1}{log_{2} \sqrt{x + 1}} ⇔ \frac{log_{2} \sqrt{x + 1} − log_{2}(x − 1)}{log_{2}(x − 1) log_{2} \sqrt{x + 1}} < 0 ⇔

⇔ \frac{log_{2} \frac{\sqrt{x+1}}{x−1}}{log_{2}(x − 1) log_{2} \sqrt{x + 1}} < 0 ⇔ log_{2} \frac{\sqrt{x + 1}}{x − 1} · log_{2}(x − 1) log_{2} \sqrt{x + 1} < 0.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Cum in DV A log_{2}(x − 1) > 0 pentru x > 2 si log_{2}(x − 1) < 0 pentru 1 < x < 2,

log_{2} \sqrt{x + 1} > 0 pentru orice x din DV A, log_{2} \frac{\sqrt{x + 1}}{x − 1} > 0 pentru x ∈ (1; 2) ∪ (2; 3) si

log_{2} \frac{\sqrt{x + 1}}{x − 1} < 0 pentru x > 3

[figure: 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 3; 3; −; +; −; −; +; +; +; +; +; −; log_{2}(x − 1) log_{2} \sqrt{x + 1} log_{2} \frac{\sqrt{x + 1}}{x − 1}; ^{log^{2} \frac{x + 1}{x − 1}}; log^{2} ^{\sqrt{x + 1}}; log_{2}(x − 1)]

se obtine x ∈ (1; 2) ∪ (3; +∞).

Pentru consolidarea deprinderilor de rezolvare a ecuatiilor si inecuatiilor logaritmice se recomanda a consulta de exemplu problemarele [3-5].

Bibliografie

1. P. Cojuhari. Ecuatii si inecuatii. Teorie si practica. Chisinau, Universitas, 1993.

2. P. Cojuhari, A. Corlat. Ecuatii si inecuatii algebrice. Mica biblioteca a elevului. Seria matematica si informatica. Editura ASRM. Chisinau, 1995.

3. C.Cosnita, F.Turtoiu. Probleme de algebra. Editura Tehnica. Bucuresti, 1989.

4. E.D.Kulanin i dr. 3000 concursnih zadaci po matematiche. Airis Rolif. Moscova, 1997(rus.)

5. F.P. Iaremciuc, P. Rudcenco. Algebra i ălementarnîe funcţii. Kiev, Naucova Dumca, 1987. (rus.)

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md