Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2004 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Limite de functii

1. Sa se calculeze urmatoarele limite:

1.1. lim_{x→2} \frac{x^{2} − 4}{x^{2} + x − 6}.  1.2. lim_{x→1} \frac{x^{2} + x − 2}{x^{2} + 6x − 7}.
1.3. lim_{x→3} \frac{x^{2} + 2x − 15}{x^{2} − x − 6}.  1.4. lim_{x→4} \frac{x^{2} − 7x + 12}{x^{2} − 6x + 8}.
1.5. lim_{x→0} \frac{x^{3} − 6x^{2} + 7x}{x^{2} + x}.  1.6. lim_{x→−2} \frac{x^{2} + x − 2}{x^{2} − x − 6}.
1.7. lim_{x→1} \frac{x^{3} − 1}{x^{2} − 1}.  1.8. lim_{x→1} \frac{x^{m} − 1}{x^{n} − 1}, m, n ∈ ℕ.
1.9. lim_{x→0} \frac{(x + 2)(1 − x)(2x + 1) − 2}{x^{2} + x}. 1.10. lim_{x→2} \frac{x^{4} − 5x^{2} + 4}{x^{4} − 3x^{2} − 4}.
1.11. lim_{x→−2} \frac{x^{3} + 2x^{2} − x − 2}{x^{3} − 7x − 6}.  1.12. lim_{x→−1} \frac{x^{4} + x^{2} − 2}{x^{4} − 1}.
1.13. lim_{x→−1} \frac{x^{3} + 2x + 3}{x^{3} + 1}.  1.14. lim_{x→2} \frac{x^{4} − 2x^{3} − 3x^{2} + 4x + 4}{x^{4} − 6x^{3} + 13x^{2} − 12x + 4}.
1.15. lim_{x→1} \frac{2x^{4} − x^{2} − 1}{x^{4} − 1}.  1.16. lim_{x→0} \frac{(x + 1)^{3} − (3x + 1)}{2x^{4} + x^{2}}.
1.17. lim_{x→−1} \frac{x^{3} + 3x^{2} + 7x + 5}{x^{3} − x^{2} − x + 1}.  1.18. lim_{x→2} \frac{x^{3} − 3x − 2}{x^{2} − 4}.
1.19. lim_{x→−1} \frac{(x^{3} − 2x − 1)^{2}}{x^{4} − 2x^{2} + 1} .  1.20. lim_{x→0} \frac{(x + 2)^{3} − 8}{(x + 1)^{4} − (1 + 2x)}.

2. Sa se calculeze urmatoarele limite:

2.1. lim_{x→1} \frac{\sqrt{x} − 1}{x^{2} + x − 2}.  2.2. lim_{x→2} \frac{x^{2} − 5x + 6}{\sqrt{x + 2} − 2}.
2.3. lim_{x→0} \frac{\sqrt{x^{2} + x + 4} − 2}{\sqrt{1 − x + x^{2}} − 1}.  2.4. lim_{x→4} \frac{\sqrt{x} − 2}{\sqrt{4 + 3x} − 4}.
2.5. lim_{x→0} \frac{\sqrt{4 − x + x^{2}} − (2 + x)}{x^{2} + x}. 2.6. lim_{x→0} \frac{\sqrt{1 + x} − \sqrt{1 − x}}{\sqrt{2 + x} − \sqrt{2 − x}}.
2.7. lim_{x→5} \frac{\sqrt{x + 4} − \sqrt{2x − 1}}{x^{2} − 25}.  2.8. lim_{x→0} \frac{3\sqrt{x^{2} + x + 1} − (3 + x)}{x^{2} + 3x}.
2.9. lim_{x→1} \frac{\sqrt{x} − 1}{\sqrt[3]{x} − 1}.  2.10. lim_{x→4} \frac{\sqrt[3]{16x} − 4}{\sqrt{x + 4} − \sqrt{2x}}.

Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}2004 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 2

2.11. lim_{x→2} \frac{\sqrt[3]{x − 1} − 1}{x^{3} − 8}.  2.12. lim_{x→−2} \frac{x^{3} + 8}{\sqrt[3]{x − 6} + 2}.

2.13. lim_{x→1} \frac{\sqrt{x + 2} − \sqrt{3x}}{\sqrt[3]{x} − 1}.  2.14. lim_{x→8} \frac{\sqrt[3]{x} − 2}{\sqrt{x + 1} − 3}.

2.15. lim_{x→0} \frac{\sqrt[3]{2 + x} − \sqrt[3]{2 − x}}{\sqrt{2 + x} − \sqrt{2 − x}}.  2.16. lim_{x→1} \frac{\sqrt{x} + \sqrt{x − 1} − 1}{\sqrt{x^{2} − 1}}.

2.17. lim_{x→8} \frac{\sqrt[3]{x} − 2}{x − 8}.  2.18. lim_{x→−8} \frac{\sqrt[3]{15 + 2x} + 1}{\sqrt[3]{9 + x} + x + 7}.

2.19. lim_{x→7} \frac{\sqrt{x + 2} − \sqrt[3]{x + 20}}{\sqrt[4]{x + 9} − 2}. 2.20. lim_{x→0} \frac{\sqrt[5]{2x^{2} + 10x + 1} − \sqrt[7]{x^{2} + 10x + 1}}{x}.

3. Sa se calculeze urmatoarele limite:

. 3.1. lim_{x→∞} (\sqrt{x^{2} + 1} − \sqrt{x^{2} − 1}) .  3.2. lim_{x→∞} (\sqrt{9x^{4} + 3x^{2} − 7} − 3x^{2}) . 3.3. lim_{x→∞} (\sqrt{x^{2} + 2x − 1} − \sqrt{x^{2} − 2x − 1}) . 3.4. lim_{x→∞} (\sqrt{x^{4} + x^{2}} − \sqrt{x^{4} + 8x^{2} + 3}) . 3.5. lim_{x→∞} (\sqrt{x^{2} − 3x + 2} − x) .  3.6. lim_{x→∞} (\sqrt{x^{2} + 2x} − \sqrt{x^{2} + 2x + 3}) . 3.7. lim_{x→∞} (x\sqrt[3]{8x^{3} + 5} − 2x) .  3.8. lim_{x→∞} \sqrt{x^{3} + 8} (\sqrt{x^{3} + 2} − \sqrt[3]{x^{3} − 1}) . 3.9. lim_{x→∞} x\sqrt{x} (x − \sqrt[3]{x^{3} − 5}) .  3.10. lim_{x→∞} x\sqrt{x} (\sqrt{x^{4} + 3} − \sqrt{x^{4} + 2}) . 3.11. lim_{x→∞} \sqrt{x} (\sqrt{x + 2} − \sqrt{x + 3}) .  3.12. lim_{x→∞} (x − \sqrt{x^{2} − x}) . 3.13. lim_{x→∞} (\frac{x^{3}}{2x^{2} − 1} − \frac{x^{2}}{2x + 1}) .  3.14. lim_{x→1} (\frac{1}{1 − x} − \frac{2}{1 − x^{2}} ) . 3.15. lim_{x→1} (\frac{1}{x − 1} − \frac{3}{x^{3} − 1}) .  3.16. lim_{x→2} (\frac{1}{(x − 2) (x − 1)} − \frac{2}{x^{2} − 2x}) . 3.17. lim_{x→−1} (\frac{2}{x + 1} − \frac{x − 3}{x^{2} − 1}) .  3.18. lim_{x→2} (\frac{1}{x (x − 2)^{2}} − \frac{1}{x^{2} − 3x + 2}) .

4. Sa se calculeze urmatoarele limite:

4.1. lim_{x→0} \frac{sin 5x}{x}.  4.2. lim_{x→0} \frac{sin 8x + sin 6x}{2x}.
4.3. lim_{x→0} \begin{matrix}sin & 2x \\ sin & 5x \end{matrix}.  4.4. lim_{x→0} \frac{cos 5x − cos 3x}{4x^{2}}.

4.5. lim_{x→0} \begin{matrix}sin & 2 & 2x \\ sin & 2 & 3x \end{matrix}.  4.6. lim_{x→0} \frac{1 − cos 4x}{1 − cos 8x}.
4.7. lim_{x→0} \frac{1 − cos 2x}{x^{2}}.  4.8. lim_{x→0} \frac{1 − cos 3x}{2x sin x}.

4.9. lim_{x→π} \begin{matrix}sin & 2x \\ sin & 3x \end{matrix}.  4.10. lim_{x→ \frac{π}{6}} \frac{1 − 2 sin x}{π − 6x}.

4.11. lim_{x→ \frac{π}{2}} \begin{matrix}tg & 5x \\ tg & 3x \end{matrix}.  4.12. lim_{x_{→} \frac{π}{4}} \frac{1 − tg^{2} x}{\sqrt{2} cos x − 1}.

4.13. lim_{x→π} \begin{matrix}sin & 2x \\ tg & 3x \end{matrix}.  4.14. lim_{x→− \frac{π}{4}} \frac{1 + sin 2x}{1 + cos 4x}.

4.15. lim_{x→ \frac{π}{4}} \frac{\sqrt{2} − 2 cos x}{π − 4x}.  4.16. lim_{x→0} (\frac{1}{sin x} − ctg x).

4.17. lim_{x→0} \frac{tg x − sin x}{2x^{3}}.  4.18. lim_{x→ \frac{π}{6}} \frac{6 sin^{2} x − 5 sin x + 1}{4 sin^{2} x − 1}.

4.19. lim_{x→0} \frac{\sqrt{1 + x sin x} − 1}{x^{2}}.  4.20. lim_{x→π} \frac{\sqrt{1 − tg x} − \sqrt{1 + tg x}}{sin 2x}.
4.21. lim_{x→0} \frac{tg (sin x) − sin (tg x)}{x^{3}}.  4.22. lim_{x→0} \frac{tg (tg x) − sin (sin x)}{tg x − sin x}.

5. Sa se calculeze urmatoarele limite:

5.1. lim_{x→∞} (\frac{x + 2}{x − 3})^{2x−1} .  5.2. lim_{x→∞} (\frac{x^{2} + 4}{x^{2} − 4})^{x^{2}} .

5.3. lim_{x→∞} (\frac{2x + 1}{2x + 3})^{\frac{x}{2}} .  5.4. lim_{x→∞} (\frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 2})^{\frac{1−x}{1−\sqrt{x}}} .
5.5. lim_{x→0} (1 + 5x)^{\frac{1}{x}} .  5.6. lim_{x→0} (1 + sin x)^{\frac{1}{sin 2x}} .
5.7. lim_{x→0} (1 + 2 tg^{2} x)^{ctg^{2} x} .  5.8. lim_{x→0} (cos 2x)^{\frac{1}{x^{2}}} .

5.9. lim_{x→0} (cos x + sin x)^{\frac{1}{x}} .  5.10. lim_{x→0} (\frac{sin x}{x})^{\frac{sin x}{x−sin x}} .
5.11. lim_{x→ \frac{π}{2}} (sin x)^{tg^{2} x} .  5.12. lim_{x→ \frac{π}{2}} (1 + ctg x)^{tg x} .

5.13. lim_{x→ \frac{π}{2}} (ctg \frac{x}{2})^{\frac{1}{cos x}} .  5.14. lim_{x→1} (2 − x)^{tg ^{\frac{πx}{2}}} .

5.15. lim_{x→0} (4 − \frac{3}{cos x})^{tg^{2} x} .  5.16. lim_{x→0} [tg (\frac{π}{4} − x)]^{ctg x} .

6. Sa se calculeze limitele:

6.1. lim_{x→0} \frac{ln (1 + 2x^{2})}{\sqrt{1 + x^{2}} − 1}.  6.2. lim_{x→0} \frac{ln (1 + sin 2x)}{sin 4x − sin 2x}.

6.3. lim_{x→0} \frac{3^{x} − 1}{ln (1 + 2x)}.  6.4. lim_{x→0} arcsin 2x ; arctg 4x.

6.5. lim_{x→0} \begin{matrix}ln & (1 + 2x) \\ arctg & 3x \end{matrix}.  6.6. lim_{x→0} \frac{3^{x} − 2^{x}}{2x − arctg x}.

6.7. lim_{x→0} \frac{2^{3x} − 3^{2x}}{2 arcsin x − sin x}.  6.8. lim_{x→0} \frac{e^{3x} − e^{2x}}{x + sin x^{2}} .

6.9. lim_{x→0} \frac{\sqrt{1 + x sin x} − 1}{e^{x^{2}} − 1}.  6.10. lim_{x→2} \frac{x^{2} − 4}{ln (x − 1)}.

6.11. lim_{x→1} \frac{\sqrt[3]{x} − 1}{\sqrt[4]{x} − 1}.  6.12. lim_{x→−1} \frac{3 − \sqrt{10 + x}}{sin 3πx}.

6.13. lim_{x→ \frac{π}{2}} \frac{2^{cos^{2} x} − 1}{ln sin x}.  6.14. lim_{x→ \frac{π}{6}} \begin{matrix}ln & sin 3x \\ (6x − π) & 2 \end{matrix} .

6.15. lim_{x→0} \frac{tg 2x − 3 arcsin x}{sin 6x − 6 arctg 2x}.  6.16. lim_{x→∞} x (2^{\frac{1}{x}} − 1) .

6.17. lim_{x→ \frac{π}{2}} ln sin 5x ; ln sin 3x.  6.18. lim_{x→0} \frac{\sqrt[3]{1 + x} − 1 − sin x}{ln (1 + x)}.

6.19. lim_{x→0} \frac{\sqrt[3]{cos x} − \sqrt[4]{cos 2x}}{1 − cos 12x}.  6.20. lim_{x→ \frac{1}{4}} \frac{1 − ctg πx}{ln tg πx}.

6.21. lim_{x→0} (cos 2x)^{− \frac{1}{x^{2}}} .  6.22. lim_{x→0} \frac{e^{x^{2}} − cos x}{sin^{2} x}.