Inecuatii irationale.

Inecuatia ce contine necunoscuta sub semnul radicalului se numeste inecuatie irationala. La rezolvarea inecuatiilor irationale, de regula, este necesar de a ridica la putere ambii

membri ai ecuatiei. Astfel de transformari pot aduce la inecuatii neechivalente cu cea initiala si intrucat multimea solutiilor unei inecuatii reprezinta in majoritatea cazurilor o multime infinita, verificarea ei este dificila. Unica metoda ce garanteaza justetea raspunsului consta in faptul, ca in procesul rezolvarii inecuatiilor irationale urmeaza a fi efectuate numai astfel de transformari, ce pastreaza echivalenta lor. In legatura cu aceasta vom aduce afirmatiile respective, care sunt frecvent utilizate la rezolvarea inecuatiilor irationale (in toate afirmatiile n este un numar natural).

A1. Inecuatia

2n \sqrt{f(x)} > g(x)

este echivalenta cu totalitatea sistemelor de inecuatii

[ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}g(x) < 0, \\ f(x) ≥ 0, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}g(x) ≥ 0, \\ f(x) > [g(x)]^{2n}. \end{matrix} \end{matrix}

Nota. Din afirmatia A1 rezuta ca inecuatia

2n \sqrt{f(x)} > b,

pentru b ≥ 0 este echivalenta cu inecuatia f(x) > [b]^{2n}, iar pentu b < 0, este echivalenta cu inecuatia f(x) ≥ 0.

A2. Inecuatia

2n \sqrt{f(x)} < g(x)

este echivalenta cu sistemul de inecuatii

\{ \begin{matrix}g(x) > 0, \\ f(x) ≥ 0, \\ f(x) < [g(x)]^{2n}. \end{matrix}

Nota. In particular, daca membrul din dreapta inecuatiei reprezinta un numar b (g(x) = b), din afirmatia A2 rezulta:

- daca b > 0, ^{2n} \sqrt{f(x)} < b ⇔ 0 ≤ f(x) < [b]^{2n}

- daca b ≤ 0, inecuatia ^{2n} \sqrt{f(x)} < b nu are solutii.

A3. Inecuatia

2n \sqrt{f(x)} > ^{2n} \sqrt{g(x)}

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

este echivalenta cu sistemul de inecuatii

\{ \begin{matrix}f(x) > g(x), \\ g(x) ≥ 0. \end{matrix}

A4. Inecuatia

\frac{\sqrt[2n]{f(x)}}{g(x)} > 1

este echivalenta cu sistemul

\{ \begin{matrix}f(x) > [g(x)]^{2n}, \\ g(x) > 0. \end{matrix}

A5. Inecuatia

\frac{\sqrt[2n]{f(x)}}{g(x)} < 1

este echivalenta cu totalitatea de sisteme de inecuatii

[ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}g(x) < 0, \\ f(x) ≥ 0, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}g(x) > 0, \\ f(x) ≥ 0, \\ f(x) < [g(x)]^{2n}. \end{matrix} \end{matrix}

A6. Inecuatia

2n \sqrt{f(x)} · g(x) ≥ 0

este echivalenta cu totalitatea

[ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}f(x) = 0, \\ x ∈ D(g), \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}f(x) > 0, \\ g(x) ≥ 0, \end{matrix} \end{matrix}

unde D(g) desemneaza domeniul de definitie a functiei g.

A7. Inecuatia

2n \sqrt{f(x)} · g(x) ≤ 0

este echivalenta cu totalitatea

[ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}f(x) = 0, \\ x ∈ D(g), \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}f(x) > 0, \\ g(x) ≤ 0. \end{matrix} \end{matrix}

A8. Inecuatiile

2n+1 \sqrt{f(x)} < g(x) si f(x) < [g(x)]^{2n+1}

sunt echivalente.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

A9. Inecuatiile

2n+1 \sqrt{f(x)} > g(x) si f(x) > [g(x)]^{2n+1}

sunt echivalente.

Nota. Daca m este impar, atunci

\begin{matrix}f(x) < g(x) ⇔ [f(x)]^{m} < [g(x)]^{m}, \\ f(x) > g(x) ⇔ [f(x)]^{m} > [g(x)]^{m}, \end{matrix}

adica la ridicare la putere impara semnul inecuatiei se pastreaza.

Sa analizam cateva exemple.

Exemplul 1. Sa se rezolve inecuatiile:

\begin{matrix}a) \sqrt{x^{2} + 3x − 18} > 2x + 3, & g) \sqrt{x^{2} − x − 2} > \sqrt{6 + 5x − x^{2}}, \\ b) \sqrt{x^{2} − x − 90} ≥ −1, & h) \frac{\sqrt{2 − x}}{1 + x} > 1, \\ c) ^{4} \sqrt{x^{2} − 9x + 16} > 2, & i) \frac{\sqrt{x − 3}}{3 − |x − 6|} < 1, \\ d) \sqrt{x^{2} + 4x − 5} < 2x + 1, & j) (x − 1)\sqrt{6 + x − x^{2}} ≤ 0, \\ e) \sqrt{x^{2} − 5x + 4} < 2, & k) \frac{9 − x}{1 − x}\sqrt{x^{2} − 8x + 7} ≥ 0, \\ f) \sqrt{x^{2} − x − 2} ≤ −2, & l) ^{3} \sqrt{x^{3} + x^{2} + x + 1} < x + 1. \end{matrix}

Rezolvare. a) Se aplica afirmatia A1 (in cazul dat f(x) = x^{2} + 3x − 18, iar g(x) = 2x + 3) si se obtine:

\sqrt{x^{2} + 3x − 18} > 2x + 3 ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}x^{2} + 3x − 18 ≥ 0, \\ 2x + 3 < 0, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}x^{2} + 3x − 18 > (2x + 3)^{2}, \\ 2x + 3 ≥ 0, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x ∈ (−∞, −6], \\ x ∈ ∅, \end{matrix} ⇔

⇔ x ∈ (−∞, −6].

In adevar, cum

x^{2} + 3x − 18 ≥ 0 ⇔ (x + 6)(x − 3) ≥ 0,

solutiile primei inecuatii formeaza multimea x ∈ (−∞; −6] ∪ [3; +∞), si cum x ∈ (∞, −\frac{3}{2}) sunt solutiile celei de a doua inecuatie a sistemului, se obtine ca solutia primului sistem de inecuatii este multimea x ∈ (−∞, −6].

Prima inecuatie a sistemului al doilea din totalitate nu are solutii:

x^{2} + 3x − 18 > (2x + 3)^{2} ⇔ x^{2} + 3x − 18 > 4x^{2} + 12x + 9 ⇔
⇔ 3x^{2} + 9x + 27 < 0 ⇔ x^{2} + 3x + 9 < 0 ⇔ x ∈ ∅

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

si, prin urmare, al doilea sistem este incompatibil.

Asadar, multimea solutiilor inecuatiei initiale este (−∞, −6].

b) Se observa ca membrul din dreapta inecuatiei este un numar negativ, iar membrul din stanga de indata ce exista (conditia x^{2} − x − 90 ≥ 0) ia valori nenegative. Se tine seama de nota la afirmatia A1 si solutiile inecuatiei initiale se obtin rezolvand inecuatia

x^{2} − x − 90 ≥ 0,

sau

(x + 9)(x − 10) ≥ 0,

de unde x ∈ (−∞, −9] ∪ [10, +∞).

c) Se tine seama de nota la afirmatia A1, se ridica ambii membri ai inecuatiei (nenegativi pe DVA) la puterea a patra si se obtine inecuatia echivalenta:

x^{2} − 9x + 16 > 16,

sau

x^{2} − 9x > 0,

cu solutiile x ∈ (−∞, 0) ∪ (9, +∞).

d) Se utilizeaza afirmatia A2 (aici f(x) = x^{2} + 4x − 5 si g(x) = 2x − 3) si se obtine:

\sqrt{x^{2} + 4x − 5} < 2x + 1 ⇔ \{ \begin{matrix}2x + 1 ≥ 0, \\ x^{2} + 4x − 5 ≥ 0, \\ x^{2} + 4x − 5 < (2x + 1)^{2}, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x ≥ −\frac{1}{2}, \\ [ & \begin{matrix}x ≤ −5, \\ x ≥ 1, \end{matrix} \\ 3x^{2} + 6 > 0, \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}x ≥ 1, \\ x ∈ R, \end{matrix} ⇔ x ≥ 1.

e) Se tine seama de nota la afirmatia A2 si se obtine

\sqrt{x^{2} − 5x + 4} < 2 ⇔ \{ \begin{matrix}x^{2} − 5x + 4 < 4, \\ x^{2} − 5x + 4 ≥ 0, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x^{2} − 5x < 0, \\ x^{2} − 5x + 4 ≥ 0 \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}0 < x < 5, \\ [ & \begin{matrix}x ≤ 1, \\ x ≥ 4, \end{matrix} \end{matrix} ⇔

⇔ x ∈ (0; 1] ∪ [4; 5).

f) Inecuatia nu are solutii, deoarece membrul din stanga inecuatiei pe DVA reprezinta o expresie valorile careia sunt numere nenegative si, prin urmare, nu poate fi mai mic sau egal cu un numar negativ

g) Se aplica afirmatia A3 (aici f(x) = x^{2} − x − 2 si g(x) = 6 + 5x − x^{2}) si se obtine:

\sqrt{x^{2} − x − 2} > \sqrt{6 + 5x − x^{2}} ⇔ \{ \begin{matrix}x^{2} − x − 2 > 6 + 5x − x^{2}, \\ 6 + 5x − x^{2} ≥ 0, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x^{2} − 3x − 4 > 0, \\ x^{2} − 5x − 6 ≤ 0, \end{matrix} ⇔

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x < −1, \\ x > 4, \end{matrix} \\ −1 ≤ x ≤ 6, \end{matrix} ⇔ x ∈ (4, 6].

h) Se utilizeaza afirmatia A4 si se obtine:

\frac{\sqrt{2 − x}}{x + 1} > 1 ⇔ \{ \begin{matrix}2 − x > (x + 1)^{2}, \\ x + 1 > 0, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x^{2} + 3x − 1 < 0, \\ x > −1, \end{matrix}

⇔ \{ \begin{matrix}\frac{−3 − \sqrt{13}}{2} < x < \frac{−3 + \sqrt{13}}{2}, \\ x > −1, \end{matrix} ⇔ −1 < x < \frac{\sqrt{13} − 3}{2}.

i) Conform afirmatiei A5 se obtine totalitatea de sisteme de inecuatii:

[ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}3 − |x − 6| < 0, \\ x − 3 ≥ 0, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}3 − |x − 6| > 0, \\ x − 3 ≥ 0, \\ x − 3 < (3 − |x − 6|)^{2}. \end{matrix} \end{matrix}

Rezolvand primul sistem, se obtine:

\{ \begin{matrix}|x − 6| > 3, \\ x ≥ 3, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x − 6 > 3, \\ x − 6 < −3, \end{matrix} \\ x ≥ 3, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x > 9, \\ x < 3, \end{matrix} \\ x ≥ 3, \end{matrix} ⇔ x > 9.

Rezolvand al doilea sistem al totalitatii, se obtine:

\{ \begin{matrix}|x − 6| < 3, \\ x ≥ 3, \\ x − 3 < 9 − 6|x − 6| + x^{2} − 12x + 36, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}−3 < x − 6 < 3, \\ x ≥ 3, \\ x^{2} − 6|x − 6| − x + 48 > 0, \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}3 < x < 9, \\ x^{2} − 6|x − 6| − x + 48 > 0, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}3 < x ≤ 6, \\ x^{2} + 6(x − 6) − x + 48 > 0, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}6 < x < 9, \\ x^{2} − 6(x − 6) − x + 48 > 0, \end{matrix} \end{matrix} ⇔

⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}3 < x ≤ 6, \\ x^{2} + 5x + 12 > 0, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}6 < x < 9, \\ x^{2} − 7x + 84 > 0, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}3 < x ≤ 6, \\ x ∈ R, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}6 < x < 9, \\ x ∈ R, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ 3 < x < 9.

asadar, solutiile inecuatiei initiale sunt:

x ∈ (3; 9) ∪ (9; +∞). j) Se tine seama de afirmatia A7 si se obtine:

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

(x − 1)\sqrt{6 + x − x^{2}} ≤ 0 ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}6 + x − x^{2} = 0, \\ x ∈ R. \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}6 + x − x^{2} > 0, \\ x − 1 ≤ 0, \end{matrix} \end{matrix} ⇔

⇔ [ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x = −2, \\ x = 3. \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}−2 < x < 3, \\ x ≤ 1, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ x ∈ [−2; 1] ∪ \{3\}.

k) Se utilizeaza afirmatia A6 si se obtine:

\frac{9 − x}{1 − x}\sqrt{x^{2} − 8x + 7} ≥ 0 ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}x^{2} − 8x + 7 = 0, \\ x ≠ 1, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}x^{2} − 8x + 7 > 0, \\ \frac{9 − x}{1 − x} ≥ 0, \end{matrix} \end{matrix} ⇔

⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x = 1, \\ x = 7, \end{matrix} \\ x ≠ 1, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x < 1, \\ x > 7, \end{matrix} \\ [ & \begin{matrix}x > 9, \\ x < 1, \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x = 7, \\ [ & \begin{matrix}x < 1, \\ x > 9, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ x ∈ (−∞, 1) ∪ \{7\} ∪ [9, +∞).

l) Se ridica ambii membri ai inecuatiei la cub (afirmatia A9) si se obtine inecuatia echivalenta:

x^{3} + x^{2} + x + 1 < x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1

sau

2x^{2} + 2x > 0,

de unde x < −1 sau x > 0.

In continuare vom ilustra metoda substitutiei. Exemplul 2. Sa se rezolve inecuatiile:

\begin{matrix}a) 3 ^{6} \sqrt{x + 2} − ^{3} \sqrt{x + 2} ≥ 2, & d) 5x − 17\sqrt{x + 5} + 31 < 0, \\ b) \frac{1}{1 − \sqrt{x + 1}} ≤ \frac{1}{2\sqrt{x + 1} + 1}, & e) 18\sqrt{2x − 1} − 9 ^{4} \sqrt{(2x − 1)(x − 1)} ≥ 2\sqrt{x − 1}, \\ c) \sqrt{\frac{x}{x − 2}} − 2\sqrt{\frac{x − 2}{x}} < 1, & f) ^{3} \sqrt{2 − x} + \sqrt{x − 1} > 1. \end{matrix}

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Rezolvare. a) Se noteaza ^{6} \sqrt{x + 2} = t (t ≥ 0), atunci ^{3} \sqrt{x + 2} = t^{2} si inecuatia devine

3t − t^{2} ≥ 2,

sau

t^{2} − 3t + 2 ≤ 0,

cu solutiile

1 ≤ t ≤ 2.

Revenind la necunoscuta initiala si utlizand notele la afirmatiile A1 si A2, se obtine

1 ≤ ^{6} \sqrt{x + 2} ≤ 2 ⇔ 1 ≤ x + 2 ≤ 64 ⇔ −1 ≤ x ≤ 62.

b) Se noteaza \sqrt{x + 1} = t, t ≥ 0 si se utilizeaza metoda intervalelor (a se vedea, de ex. [1], [2]):

\frac{1}{1 − t} ≤ \frac{1}{2t + 1} ⇔ \frac{1}{t − 1} − \frac{1}{2t + 1} ≤ 0 ⇔

⇔ \frac{2t + 1 − (1 − t)}{(1 − t)(2t + 1)} ≤ 0 ⇔ \frac{3t}{(1 − t)(2t + 1)} ≤ 0.

Cum t ≥ 0, rezulta 2t + 1 ≥ 1 si, prin urmare, ultima inecuatie este echivalenta cu sistemul

\{ \begin{matrix}t = 0, \\ 1 − t < 0, \end{matrix}

de unde rezulta t = 0 si t > 1. Se revine la necunoscuta initiala si se obtine:

[ \begin{matrix}\sqrt{x + 1} = 0, \\ \sqrt{x + 1} > 1, \end{matrix}

sau x = −1 si x > 0. Astfel x ∈ {−1} ∪ (0, +∞).

c) Se observa ca inecuatia contine expresii reciproc inverse. Se noteaza \sqrt{\frac{x}{x − 2}} = t, atunci

\sqrt{\frac{x − 2}{x}} = \frac{1}{t} si inecuatia devine

t − 2\frac{1}{t} < 1.

Cum t > 0, se multiplica ambii membri ai ecuatiei cu t si se obtine ecuatia echivalenta

t^{2} − t − 2 < 0,

cu solutiile −1 < t < 2. Deoarece t > 0, ramane 0 < t < 2, sau

0 < \sqrt{\frac{x}{x − 2}} < 2.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Ultima inecuatie este echivalenta cu sistemul

\{ \begin{matrix}\frac{x}{x − 2} < 4, \\ \frac{x}{x − 2} > 0, \end{matrix}

sau

\{ \begin{matrix}\frac{8 − 3x}{x − 2} < 0, \\ [ & \begin{matrix}x < 0, \\ x > 2. \end{matrix} \end{matrix} , \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x > \frac{8}{3}, \\ x < 2, \end{matrix} \\ [ & \begin{matrix}x < 0, \\ x > 2, \end{matrix} \end{matrix}

de unde x ∈ (−∞; 0) ∪ (\frac{8}{3}; +∞). d) Inecuatia se scrie (se aduna 25 si se scade 25)

5(x + 5) − 25 − 17\sqrt{x + 5} + 31 < 0.

Se noteaza \sqrt{x + 5} = t, atunci x + 5 = t^{2}, si se obtine inecuatia patrata

5t^{2} − 17t + 6 < 0,

de unde

\frac{2}{5} < t < 3,

sau

\frac{2}{5} < \sqrt{x + 5} < 3.

Cum toti membrii inecuatiei duble sunt pozitivi se ridica la patrat si se obtine inecuatia echivalenta

\frac{4}{25} < x + 5 < 9,

de unde x ∈ (−4\frac{21}{25}; 4).

e) DVA al inecuatiei este x ≥ 1. Pe DVA inecuatia este echivalenta cu inecuatia

18 − 9\begin{matrix}^{4} & \sqrt{(2x − 1)(x − 1)} \\ √ & \overline{2x − 1} \end{matrix} ≥ \frac{2\sqrt{x − 1}}{\sqrt{2x − 1}}

sau

18 − 9\begin{matrix}^{4} & \sqrt{x − 1} \\ ^{4} & \sqrt{2x − 1} \end{matrix} − 2 ( \begin{matrix}^{4} & \sqrt{x − 1} \\ ^{4} & \sqrt{2x − 1} \end{matrix})^{2} ≥ 0.

Se noteaza \begin{matrix}^{4} & \sqrt{x − 1} \\ ^{4} & \sqrt{2x − 1} \end{matrix} = t, si se obtine inecuatia patrata

18 − 9t − 2t^{2} ≥ 0

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

cu solutiile −6 ≤ t ≤ \frac{3}{2}. Cum t ≥ 0 ecuatia initiala este echivalenta cu urmatoarea

0 ≤ \begin{matrix}^{4} & \sqrt{x − 1} \\ ^{4} & \sqrt{2x − 1} \end{matrix} ≤ \frac{3}{2}.

Se utilizeaza notele la afirmatia A1 si A2 si se obtine:

\{ \begin{matrix}\frac{x − 1}{2x − 1} ≤ \frac{81}{16}, \\ x − 1 ≥ 0, \\ 2x − 1 > 0, \end{matrix}

de unde x ≥ 1.

f) Se noteaza \sqrt{x − 1} = t, atunci x − 1 = t^{2} si ^{3} \sqrt{2 − x} = ^{3} \sqrt{1 + (1 − x)} = ^{3} \sqrt{1 − (x − 1)} = 3 \sqrt{1 − t^{2}}, si inecuatia devine

3 \sqrt{1 − t^{2}} + t > 1,

sau

3 \sqrt{1 − t^{2}} > 1 − t.

Se ridica la cub si se obtine (afirmatia A9) ecuatia echivalenta

1 − t^{2} > (1 − t)^{3},

sau

(1 − t)(1 + t) − (1 − t)^{3} > 0,
(1 − t)(1 + t − (1 − t)^{2}) > 0,
(1 − t)(1 + t − 1 + 2t − t^{2}) > 0,
(1 − t)t(3 − t) > 0.

Cum t ≥ 0 ramane

\{ \begin{matrix}(1 − t)(3 − t) > 0, \\ t ≠ 0, \end{matrix}

de unde rezulta totalitatea

[ \begin{matrix}t > 3, \\ \{ & \begin{matrix}t < 1, \\ t ≠ 0, \end{matrix} \end{matrix}

sau

[ \begin{matrix}\sqrt{x − 1} > 3, \\ \{ & \begin{matrix}\sqrt{x − 1} < 1, \\ \sqrt{x − 1} ≠ 0, \end{matrix} \end{matrix}

de unde

[ \begin{matrix}x − 1 > 9, \\ 0 < x − 1 < 1, \end{matrix}

sau

[ \begin{matrix}x > 10, \\ 1 < x < 2. \end{matrix}

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

adica x ∈ (1; 2) ∪ (10; +∞).

O metoda frecventa de rezolvare a inecuatiilor irationale consta in reducerea lor (cu ajutorul unor transformari ce pastreaza echivalenta inecuatiilor) la inecuatii de tipul celor ce figureaza in afirmatiile A1-A9, se aplica afirmatia respectiva si tinand seama de DVA al inecuatiei se obtine multimea solutiilor.

Exemplul 3. Sa se rezolve inecuatiile

a) \sqrt{x + 4} − \sqrt{2x + 1} < \sqrt{2 − x},  d) \sqrt{x − 1} + \sqrt{x + 6} + 2\sqrt{(x − 1)(x + 6)} < 51 − 2x,
b) \frac{\sqrt{1 + x^{3}} + x − 2}{x − 1} ≥ x + 1,  e) \sqrt{x + 4\sqrt{x − 4}} + \sqrt{x − 4\sqrt{x − 4}} ≥ 4.

c) \sqrt{x − \frac{1}{x}} − \sqrt{1 − \frac{1}{x}} > \frac{x − 1}{x},

Rezolvare. a) DVA al inecuatiei x ∈ [−\frac{1}{2}; 2] se determina rezolvand sistemul de inecuatii (conditiile de existenta a radicalilor de ordinul doi)

\{ \begin{matrix}x + 4 ≥ 0, \\ 2x + 1 ≥ 0, \\ 2 − x ≥ 0. \end{matrix}

Inecuatia se scrie astfel

\sqrt{x + 4} < \sqrt{2 − x} + \sqrt{2x + 1}.

Acum ambii membri ai inecuatiei sunt pozitivi pe DVA si ridicand la patrat se obtine inecuatia echivalenta:

x + 4 < 2 − x + 2\sqrt{2 − x}\sqrt{2x + 1} + 2x + 1,

sau

1 < 2\sqrt{2 − x}\sqrt{2x + 1}.

Iar ridicand la patrat si tinand seama de DVA obtinem

\{ \begin{matrix}1 < 4(2 − x)(2x + 1), \\ −\frac{1}{2} ≤ x ≤ 2, \end{matrix}

sau

\{ \begin{matrix}8x^{2} − 12x − 7 < 0, \\ −\frac{1}{2} ≤ x ≤ 2, \end{matrix}

de unde

\frac{3 − \sqrt{23}}{4} < x < \frac{3 + \sqrt{23}}{4}.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

b) Inecuatia se scrie astfel:

\frac{\sqrt{1 + x^{3}} + (x − 2)}{x − 1} − (x + 1) ≥ 0,

sau

\begin{matrix}\frac{\sqrt{1 + x^{3}} + (x − 2) − (x^{2} − 1)}{x − 1} ≥ 0, \\ \frac{\sqrt{1 + x^{3}} − (1 − x + x^{2})}{x − 1} ≥ 0. \end{matrix}

Cum 1 + x^{3} = (1 + x)(1 − x + x^{2}) si cum 1 − x + x^{2} > 0 pentu orice x ∈ R inecuatia

\frac{\sqrt{(1 + x)(1 − x + x^{2})} − (1 − x + x^{2})}{x − 1} ≥ 0

este echivalenta cu urmatoarea

\frac{\sqrt{1 − x + x^{2}}(\sqrt{1 + x} − \sqrt{1 − x + x^{2}})}{x − 1} ≥ 0.

Se divide cu \sqrt{1 − x + x^{2}} (aceasta expresie ia numai valori mai mari ca zero, oricare n-ar fi x, deoarece discriminantul trinomului 1 − x + x^{2} este negativ (Δ = 1 − 4 = −3 < 0) iar coeficientul de pe langa x^{2} este pozitiv (a = 1)) si se obtine inecuatia

\frac{\sqrt{1 + x} − \sqrt{1 − x + x^{2}}}{x − 1} ≥ 0,

echivalenta cu totalitatea sistemelor de inecuatii

[ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}\sqrt{1 + x} − \sqrt{1 − x + x^{2}} ≥ 0, \\ x − 1 > 0, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}\sqrt{1 + x} − \sqrt{1 − x + x^{2}} ≤ 0, \\ x − 1 < 0, \end{matrix} \end{matrix}

sau, tinand seama de afirmatia A3,

[ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}1 + x ≥ 1 − x + x^{2}, \\ 1 − x + x^{2} ≥ 0, \\ x > 1, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}1 + x < 1 − x + x^{2}, \\ 1 + x ≥ 0, \\ x < 1, \end{matrix} \end{matrix}

de unde rezulta

[ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}x^{2} − 2x ≤ 0, \\ x ∈ R, \\ x > 1, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}x^{2} − 2x ≥ 0, \\ x > −1, \\ x < 1, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}1 < x ≤ 2, \\ −1 < x ≤ 0. \end{matrix}

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Asadar, multimea solutiilor inecuatiei initiale este x ∈ (−1; 0] ∪ (1; 2].

c) DVA al inecuatiei x ∈ [−1; 0) ∪ [1; +∞) se determina din sistemul de inecuatii:

\{ \begin{matrix}x − \frac{1}{x} ≥ 0, \\ 1 − \frac{1}{x} ≥ 0. \end{matrix}

Inecuatia se scrie astfel

\sqrt{\frac{(x − 1)}{x}(x + 1)} − \sqrt{\frac{x − 1}{x}} − \sqrt{(\frac{x − 1}{x})^{2}} > 0

sau, utilizand urmatoarea proprietate a radicalilor de ordin par: ^{2n} \sqrt{AB} = ^{2n} \sqrt{|A|} · ^{2n} \sqrt{|B|}, (AB ≥ 0) se obtine

\sqrt{|\frac{x − 1}{x}|} (\sqrt{|x + 1|} − 1 − \sqrt{|\frac{x − 1}{x}|}) > 0.

Ultima inecuatie, tinand seama ca in DVA x + 1 ≥ 0 si \frac{x − 1}{x} ≥ 0 si deci |x + 1| = x + 1,

|\frac{x − 1}{x}| = \frac{x − 1}{x} este echivalenta cu sistemul

\{ \begin{matrix}\sqrt{x + 1} > 1 + \sqrt{\frac{x − 1}{x}}, \\ \sqrt{\frac{x − 1}{x}} ≠ 0, \end{matrix}

care se rezolva astfel:

\{ \begin{matrix}\sqrt{x + 1} > 1 + \sqrt{\frac{x − 1}{x}}, \\ x ≠ 1, \\ x ∈ [−1; 0) ∪ [1; +∞), \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x + 1 > 1 + 2\sqrt{\frac{x − 1}{x}} + \frac{x − 1}{x}, \\ x ∈ [−1; 0) ∪ (1; +∞), \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}\frac{x^{2} − x + 1}{x} > 2\sqrt{\frac{x − 1}{x}}, \\ x ∈ [−1; 0) ∪ (1; +∞), \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}\frac{x^{2} − x + 1}{x} − \frac{2\sqrt{(x − 1)x}}{|x|} > 0 \\ x ∈ [−1; 0) ∪ (1; +∞), \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}\frac{x(x − 1) ± 2\sqrt{x(x − 1)} + 1}{x} > 0, \\ x ∈ [−1; 0) ∪ (1; +∞), \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}\frac{(\sqrt{x(x − 1)} ± 1)^{2}}{x} > 0, \\ x ∈ [−1; 0) ∪ (1; +∞), \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}\sqrt{x(x − 1)} − 1 ≠ 0, \\ x > 0, \\ x ∈ [−1; 0) ∪ (1; +∞), \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x^{2} − x ≠ 1, \\ x ∈ (1; +∞), \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x ≠ \frac{1 ± \sqrt{5}}{2}, \\ x ∈ (1; +∞), \end{matrix} ⇔

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

⇔ x ∈ (1; \frac{1 + \sqrt{5}}{2}) ⋃ (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}; +∞) .

d) Se noteaza \sqrt{x − 1} + \sqrt{x + 6} = t, atunci x − 1 + 2\sqrt{(x − 1)(x + 6)} + x + 6 = t^{2}, de unde

2\sqrt{(x + 1)(x + 6)} = t^{2} − 2x − 5 si inecuatia devine

t + t^{2} − 5 < 51

sau

t^{2} + t − 56 < 0,

cu solutiile −8 < t < 7. Cum t > 0 (ca suma a doi radicali de ordin par) ramane t < 7, sau \sqrt{x − 1} + \sqrt{x + 6} < 7.

Ultima inecuatie se poate rezolva similar exemplului 3a):

\sqrt{x − 1} + \sqrt{x + 6} < 7 ⇔ \{ \begin{matrix}x − 1 + 2\sqrt{x − 1}\sqrt{x + 6} + x + 6 < 49, \\ x − 1 ≥ 0, \\ x + 6 ≥ 0, \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}\sqrt{x − 1}\sqrt{x + 6} < 22 − x, \\ x ≥ 1, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}(x − 1)(x + 6) < (22 − x)^{2}, \\ 22 − x > 0, \\ x ≥ 1, \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}x < 10, \\ 1 ≤ x < 22, \end{matrix} ⇔ 1 ≤ x < 10,

sau, astfel se observa ca pentru x = 10,

\sqrt{x − 1} + \sqrt{x + 6} = 7,

prin urmare cum functia f(x) = \sqrt{x − 1} + \sqrt{x + 6} este o functie crescatoare pentru x ≥ 10 inecuatia nu are solutii. Ramane sa tinem seama de DVA: x ≥ 1 si sa scriem multimea solutiilor: x ∈ [1; 10).

e) Cum

x ± 4\sqrt{x − 4} = x − 4 ± 4\sqrt{x − 4} + 4 = (\sqrt{x − 4} ± 2)^{2}

inecuatia se scrie astfel:

\sqrt{(\sqrt{x − 4} + 2)^{2}} + \sqrt{(\sqrt{x − 4} − 2)^{2}} ≥ 4,

sau, tinand seama ca \sqrt{A^{2}} = |A|,

|\sqrt{x − 4} + 2| + |\sqrt{x − 4} − 2| ≥ 4.

Cum \sqrt{x − 4} ≥ 0, rezulta \sqrt{x − 4} + 2 ≥ 2 si prin urmare |\sqrt{x − 4} + 2| = \sqrt{x − 4} − 2. Asadar

\sqrt{x − 4} + 2 + |\sqrt{x − 4} − 2| ≥ 4

sau

|\sqrt{x − 4} − 2| ≥ 2 − \sqrt{x − 4}.

Cum |a| ≥ −a, oricare n-ar fi a, rezulta ca multimea solutiilor inecuatiei date coincide cu DVA, adica x ≥ 4.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Exercitii recapitulative Sa se rezolve inecuatiile

1. \sqrt{2x + 1} + \sqrt{x + 1} < 1.

2. \sqrt{x + 6} − \sqrt{x + 1} > \sqrt{2x − 5}.

3. (x^{2} − 1)\sqrt{x^{2} − x − 2} ≥ 0.

4. \sqrt{\frac{1 − 2x}{x − 2}} > −1.

5. \sqrt{3x − 9} > \sqrt{6 − x}.

6. \frac{x^{2} − 13x + 40}{\sqrt{19x − x^{2} − 78}} ≤ 0.

7. \sqrt{3x − x^{2}} < 4 − x.

8. \sqrt{2x − x^{2}} < 5 − x.

9. \sqrt{11 − 5x} > x − 1.

10. \sqrt{x^{2} + 7x + 12} > 6 − x.

11. \sqrt{x + 2} + \sqrt{x + 1} − \sqrt{2x + 2} ≥ 0.

12. \sqrt{x − 6} − \sqrt{10 − x} ≥ 1.

13. \frac{\sqrt{24 − 2x − x^{2}}}{x} < 1.

14. \frac{1}{\sqrt{1 + x}} > \frac{1}{2 − x}.

15. \frac{\sqrt{17 − 15x − 2x^{2}}}{x + 3} > 0.

16. \frac{6x}{x − 2} − \sqrt{\frac{12x}{x − 2}} − 2 ^{4} \sqrt{\frac{12x}{x − 2}} > 0.

17. ^{3} \sqrt{x^{2}} − ^{3} \sqrt{x} − 6 < 0.

18. \sqrt{x^{2} + 3x + 2} − \sqrt{x^{2} − x + 1} < 1.

19. \frac{2}{2+\sqrt{4−x^{2}}} + \frac{1}{2−\sqrt{4−x^{2}}} > \frac{1}{x}.

20. \begin{matrix}√ & \overline{x^{2} − 16} \\ √ & \overline{x − 3} \end{matrix} + \sqrt{x − 3} > \frac{5}{\sqrt{x − 3}}.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Bibliografie

1. P. Cojuhari. Ecuatii si inecuatii. Teorie si practica. Chisinau, Universitas, 1993.

2. P. Cojuhari, A. Corlat. Ecuatii si inecuatii algebrice. Mica biblioteca a elevului. Seria matematica si informatica. Editura ASRM. Chisinau, 1995.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md