Inecuatii exponentiale.

La rezolvarea inecuatiilor exponentiale se utilizeaza urmatoarele afirmatii (a se vedea, de exemplu, [2])

A.1. Daca a > 1, inecuatia

a^{f(x)} > a^{g(x)}

este echivalenta cu inecuatia

f(x) > g(x),

adica semnul inecuatiei nu se schimba.

Similar

\{ \begin{matrix}a^{f(x)} < a^{g(x)} \\ a > 1 \end{matrix} ⇔ f(x) < g(x).

A.2. Daca 0 < a < 1, inecuatia

a^{f(x)} > a^{g(x)}

este echivalenta cu inecuatia

f(x) < g(x),

adica semnul inecuatiei se schimba in opus.

Similar

\{ \begin{matrix}a^{f(x)} < a^{g(x)} \\ 0 < a < 1 \end{matrix} ⇔ f(x) > g(x).

A.3. Inecuatia

[h(x)]^{f(x)} > [h(x)]^{g(x)}  (1)

este echivalenta cu totalitatea de sisteme

[ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}h(x) > 1, \\ f(x) > g(x), \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}0 < h(x) < 1, \\ f(x) < g(x). \end{matrix} \end{matrix}

Nota. Daca semnul inecuatiei (1) nu este strict, se mai considera si cazul

\{ \begin{matrix}h(x) = 1, \\ x ∈ D(f) ∩ D(g). \end{matrix}

unde D(f) (D(g)) desemneaza domeniul de definitie al functiei f (g).

A.4. Inecuatia

a^{f(x)} < b

unde b ≤ 0, nu are solutii (rezulta din proprietatile functiei exponentiale). A.5. Inecuatia a^{f(x)} > b, unde b ≤ 0 are solutiile x ∈ D(f). A.6. Daca a > 1, inecuatia

a^{f(x)} > b

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

unde b > 0, este echivalenta cu inecuatia

f(x) > log_{a} b.

Similar

a^{f(x)} < b ⇔ f(x) < log_{a} b.

A.7. Daca 0 < a < 1, inecuatia

a^{f(x)} > b

unde b > 0, este echivalenta cu inecuatia

f(x) < log_{a} b.

Similar

a^{f(x)} < b ⇔ f(x) > log_{a} b.

Exemplul 1. Sa se rezolve inecuatiile:

\begin{matrix}a) 2^{\frac{2}{x^{2}−1}} > 2^{\frac{1}{x−2}} , & e) 2^{x} < −4, \\ b) (0.3)^{|2x−3|} < (0.3)^{|3x+4|}, & f) 2^{x} > −4, \\ c) (4x^{2} + 2x + 1)^{x^{2}−x} > 1, & g) 5^{x^{2}−2x+3} < 7, \\ d) (x^{2} − x + 1)^{x} ≤ 1, & h) 2^{\frac{\sqrt{x−3}}{x−8}} > −4. \end{matrix}

Rezolvare. a) Cum 2 > 1, se utilizeaza afirmatia A.1 si se obtine inecuatia

\frac{x}{x^{2} − 1} > \frac{1}{x − 2},

care se rezolva prin metoda intervalelor (a se vedea [1],[2]), adica

\frac{x}{x^{2} − 1} > \frac{1}{x − 2} ⇔ \frac{x}{x^{2} − 1} − \frac{1}{x − 2} > 0 ⇔ \frac{x(x − 2) − (x^{2} − 1)}{(x^{2} − 1)(x − 2)} > 0 ⇔

⇔ \frac{1 − 2x}{(x − 1)(x + 1)(x − 2)} > 0 ⇔ x ∈ (−1; \frac{1}{2}) ∪ (1; 2).

[figure: −1; \frac{1}{2}; 1; 2; −; +; −; +; −]

b) Cum 0 < 0.3 < 1 se utilizeaza afirmatia A.2 si se obtine inecuatia

|2x − 3| > |3x + 4|,

care se rezolva utilizand proprietatile modulului ([1],[2]), si anume |a| > |b| ⇔ (a−b)(a+b) > 0. Astfel |2x − 3| > |3x + 4| ⇔ ((2x − 3) − (3x + 4))((2x − 3) + (3x + 4)) > 0 ⇔ (−x − 7)(5x + 1) > 0.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Ultima inecuatie se rezolva cu ajutorul metodei intervalelor si se obtine x ∈ (−7; −\frac{1}{5}).

c) Se utilizeaza afirmatia A.3 si se obtine

(4x^{2} + 2x + 1)^{x^{2}−x} > 1 ⇔ (4x^{2} + 2x + 1)^{x^{2}−x} > (4x^{2} + 2x + 1)^{0} ⇔

⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}4x^{2} + 2x + 1 > 1, \\ x^{2} − x > 0, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}4x^{2} + 2x + 1 < 1, \\ 4x^{2} + 2x + 1 > 0, \\ x^{2} − x < 0 \end{matrix} \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x > 0, \\ x < −\frac{1}{2}, \end{matrix} \\ [ & \begin{matrix}x > 1, \\ x < 0, \end{matrix} \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}x ∈ (−\frac{1}{2}; 0), \\ x ∈ R, \\ x ∈ (0; 1). \end{matrix} \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x ∈ (−∞; −\frac{1}{2}) ∪ (1; +∞), \\ x ∈ ∅ \end{matrix} ⇔

⇔ x ∈ (−∞; −\frac{1}{2}) ∪ (1; +∞).

d) Se tine seama de nota la afirmatia A.3 si se obtine

(x^{2} − 2 + 1)^{x} ≤ 1 ⇔ (x^{2} − x + 1)^{x} ≤ (x^{2} − x + 1)^{0} ⇔

⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}x^{2} − x + 1 > 1, \\ x ≤ 0, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}x^{2} − x + 1 < 1, \\ x^{2} − x + 1 > 0, \\ x ≥ 0, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}x ∈ D(f) ∩ D(g) = R, \\ x^{2} − x + 1 = 1. \end{matrix} \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x < 0, \\ 0 < x < 1, \\ x = 0, x = 1. \end{matrix} ⇔ x ∈ (−∞; 1].

e) Conform afirmatiei A.4 avem x ∈ ∅.

f) Se utilizeaza afirmatia A.5 si se obtine x ∈ R.

g) Utilizand afirmatia A.6 se obtine

x^{2} − 2x + 3 < log_{5} 7.

Cum x^{2} − 2x + 3 = x^{2} − 2x + 1 + 2 = (x − 1)^{2} + 2 ≥ 2, iar log_{5} 7 < log_{5} 25 = 2, rezulta ca aceasta inecuatie nu are solutii.

h) Multimea solutiilor inecuatiei se determina din sistemul (ce reprezinta DV A al inecuatiei):

\{ \begin{matrix}x − 3 ≥ 0, \\ x − 8 ≠ 8. \end{matrix}

Din ultimul sistem se obtine x ∈ [3; 8) ∪ (8; +∞).

Mentionam, ca toate procedeele de rezolvare a ecuatiilor exponentiale pot fi aplicate (cu modificarile respective) si in cazul inecuatiilor exponentiale.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Exemplul 2. Sa se rezolve inecuatiile

\begin{matrix}a) 5^{2x+1} > 5^{x} + 4, & d) 4^{x^{2}−x} − 10 · 2^{x^{2}} + 2^{2x+4} ≥ 0, \\ b) 5 · 9^{x} − 18 · 15^{x} + 9 · 25^{x} > 0, & e) \frac{1}{3^{x} + 5} ≤ \frac{1}{3^{x+1} − 1}, \\ c) 2^{x+2} − 2^{x+3} − 2^{x+4} > 5^{x+1} − 5^{x+2}, & f)3x + 12 · 3^{\sqrt{x}} ≥ 4x · 3^{\sqrt{x}} + 9. \end{matrix}

Rezolvare. a) Cum 5^{2x+1} = 5 · (5^{x})^{2}, se noteaza t = 5^{x} si se obtine inecuatia patrata

5t^{2} − t − 4 > 0

cu solutiile t < −\frac{4}{5} sau t > 1. Cum t > 0 ramane t > 1, adica 5^{x} > 1, de unde x > 0. b) Se observa ca inecuatia este omogena si impartind la 25^{x} se obtine inecuatia

5 · (\frac{9}{25})^{x} − 18 · (\frac{3}{5})^{x} + 9 > 0.

Se noteaza t = (\frac{3}{5})^{x} si se obtine inecuatia patrata

5t^{2} − 18t + 9 > 0,

de unde deducem t < \frac{3}{5} sau t > 3. Asadar

[ \begin{matrix}(\frac{3}{5})^{x} < \frac{3}{5}, \\ (\frac{3}{5})^{x} > 3. \end{matrix}

Se tine seama ca 0 < \frac{3}{5} < 1 si se obtin solutiile x > 1 sau x < log_{\frac{3}{5}} 3. Asadar solutiile inecuatiei formeaza multimea x ∈ (−∞; log_{\frac{3}{5}} 3) ∪ (1; +∞).

c) Se utilizeaza metoda factorului comun si se obtine

2^{x+2} − 2^{x+3} − 2^{x+4} > 5^{x+1} − 5^{x+2} ⇔ 2^{x} · 4 − 2^{x} · 8 − 2^{x} · 16 > 5^{x} · 5 − 5^{x} · 25 ⇔

⇔ 2^{x}(4 − 8 − 16) > 5^{x}(5 − 25) ⇔ 2^{x} · (−20) > 5^{x} · (−20) ⇔ 2^{x} < 5^{x} ⇔

⇔ \frac{2^{x}}{5^{x}} < 1 ⇔ (\frac{2}{5})^{x} < (\frac{2}{5})^{0} ⇔ x > 0.

d) Se divide inecuatia cu 2^{2x} si se obtine

4^{x^{2}−2x} − 10 · 2^{x^{2}−2x} + 16 ≥ 0,

se noteaza t = 2^{x^{2}−2x} si se rezolva inecuatia patrata

t^{2} − 10t + 16 ≥ 0,

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

solutiile careia sunt t ≤ 2 sau t ≥ 8. Asadar

[ \begin{matrix}2^{x^{2}−2x} ≤ 2, \\ 2^{x^{2}−2x} ≥ 8, \end{matrix}

de unde rezulta

[ \begin{matrix}x^{2} − 2x ≤ 1, \\ x^{2} − 2x ≥ 3. \end{matrix}

Solutiile primei inecuatii a totalitatii sunt x ∈ [1 − \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2}], iar a inecuatiei secunde x ∈ (−∞; −1] ∪ [3; +∞).

Astfel x ∈ (−∞; −1] ∪ [1 − \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2}] ∪ [3; +∞).

e) Se noteaza t = 3^{x} si se utilizeaza metoda intervalelor (se tine seama ca t + 5 > 0):

\frac{1}{t + 5} ≤ \frac{1}{3t − 1} ⇔ \frac{3t − 1 − t − 5}{3t − 1} ≤ 0 ⇔ \frac{2(t − 3)}{3t − 1} ≤ 0 ⇔ t ∈ (\frac{1}{3}; 3].

Astfel \frac{1}{3} < 3^{x} ≤ 3 ⇔ 3^{−1} < 3^{x} ≤ 3^{1} ⇔ x ∈ (−1; 1].

f) Se grupeaza convenabil, si se obtine

3x + 12 · 3^{\sqrt{x}} ≥ 4x · 3^{\sqrt{x}} + 9 ⇔ (3x − 9) + (12 · 3^{\sqrt{x}} − 4x · 3^{\sqrt{x}}) ≥ 0 ⇔

⇔ 3(x − 3) − 4 · 3^{\sqrt{x}}(x − 3) ≥ 0 ⇔ (x − 3)(3 − 4 · 3^{\sqrt{x}}) ≥ 0.

Cum 3^{\sqrt{x}} ≥ 1 rezulta 3 − 4 · 3^{\sqrt{x}} ≤ −1 si astfel se obtine x − 3 ≤ 0, de unde x ≤ 3. Se tine seama de DV A al inecuatiei: x ≥ 0 si se obtine raspunsul x ∈ [0; 3].

In cele ce urmeaza se enunta cateva exemple de inecuatii exponentiale ce se rezolva prin metode speciale: tinand seama de domeniul de definitie si variatie, de monotonie, continuitate etc. (a se vedea [2]).

Exemplul 3. Sa se rezolve inecuatiile:

a) \sqrt{4 − 2^{x−2}} < log_{2}(x − 5)  d) (\sqrt{5} + 2)^{x−1} ≥ (\sqrt{5} − 2)^{\frac{x−1}{x+1}}
b) 3^{x} + 4^{x} ≥ 25  e) 3^{\sqrt[12]{x−1}} + 3^{\sqrt[4]{x−1}} ≥ 2 · 3^{\sqrt[6]{x−1}}

c) (\frac{2x^{2}}{x^{4} + 1})^{3x^{2}−x} > (\frac{x^{4} + 1}{2x^{2}})^{2x−2}

Rezolvare. a) DV A a inecuatiei se determina rezolvand sistemul

\{ \begin{matrix}x − 5 > 0, \\ 4 − 2^{x−2} ≥ 0. \end{matrix}

Se obtine

\{ \begin{matrix}x > 5, \\ x ≤ 4, \end{matrix}

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

adica DV A a inecuatiei este o multime vida si, prin urmare, inecuatia data nu are solutii.

b) Membrul din stanga inecuatiei reprezinta o functie crescatoare (ca suma a doua functii crescatoare). Cum pentru x < 2 avem f(x) < f(2) = 25, iar pentru x ≥ 2 avem f(x) ≥ f(2) = 25, rezulta ca multimea solutiilor inecuatiei este multimea [2; +∞).

c) Se observa ca expresia a^{b} − a^{c} pentru a > 1 este de acelasi semn cu expresia (b − c), si de semne contrare, daca 0 < a < 1, rezulta ca pentru a ∈ (0; 1) ∪ (1; +∞) expresia a^{b} − a^{c} si (a − 1)(b − c) sunt de acelasi semn.

Astfel inecuatia data se scrie

(\frac{x^{4} + 1}{2x^{2}})^{2x−2} − (\frac{x^{4} + 1}{2x^{2}})^{x−3x^{2}} < 0

si este echivalenta cu inecuatia

(\frac{x^{4} + 1}{2x^{2}} − 1) (2x − 2 − x + 3x^{2}) < 0,

sau

\{ \begin{matrix}(x^{4} − 2x^{2} + 1)(3x^{2} + x − 2) < 0, \\ x ≠ 0, \end{matrix}

de unde,

\{ \begin{matrix}(x^{2} − 1)^{2}(x + 1)(3x − 1) < 0, \\ x ≠ 0. \end{matrix}

Se rezolva cu ajutorul metodei intervalelor si se obtine

x ∈ (−1; 0) ∪ (0; \frac{2}{3}).

d) Se observa ca \sqrt{5} − 2 = \frac{1}{\sqrt{5} + 2} = (\sqrt{5} + 2)^{−1} si se obtine inecuatia

(x − 1)(1 + \frac{1}{x + 1}) ≥ 0

sau

\frac{(x − 1)(x + 2)}{x + 1} ≥ 0

de unde x ∈ [−2; −1) ∪ [1; +∞).

e) Se utilizeaza inegalitatea

\frac{a + b}{2} ≥ \sqrt{a · b}

justa pentru orice a ≥ 0, b ≥ 0, si se obtine

\frac{3^{\sqrt[12]{x−1}} + 3^{\sqrt[4]{x−1}}}{2} ≥ \sqrt{3^{\sqrt[12]{x−1}} · 3^{\sqrt[4]{x−1}}} = 3 ^{\frac{^{12} \sqrt{x−1}+ ^{4} \sqrt{x−1}}{2}} ≥ 3^{\sqrt{^{12} \sqrt{x−1}· ^{4} \sqrt{x−1}}} = 3^{\sqrt[6]{x−1}}.

Asadar inecuatia se verifica de orice x din DV A, adica x ∈ [1; +∞).

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Sa se rezolve inecuatiile

1. 8^{5− \frac{x}{3}} > 4.

2. \frac{(\sqrt{5})^{x−10}}{4^{x−10}} > \frac{5\sqrt{5}}{64}.

3. (\frac{1}{3})^{x^{2}+2x} > (\frac{1}{9})^{16−x} .

4. ((\frac{3}{7})^{\frac{1}{x^{2}}} )^{x^{2}−2x} ≥ 1.

5. 4 · 3^{x+2} − 2 · 5^{x+2} ≤ 5^{x+3} − 3^{x+3}.

6. 2^{x+2} − 2^{x+3} − 2^{x+4} > 5^{x+1} − 5^{x+2}.

7. 9^{x−1} − 36 · 3^{x−3} + 3 < 0.

8. 2 · 3^{2x^{2}} + 4 ≤ 3^{x^{2}+2}.

9. 4^{\sqrt{9−x^{2}}} + 2 < 9 · 2^{\sqrt{9−x^{2}}}.

10. 5 · 9^{x} − 18 · 15^{x} + 9 · 25^{x} > 0.

11. (\sqrt{5} + 2)^{x+1} ≥ (\sqrt{5} − 2)^{\frac{x+1}{x−1}} .

12. \frac{2^{x+1} − 22}{2^{x} − 2} ≥ 1.

13. \frac{5}{2^{x+2} − 1} > \frac{1}{2^{x} − 1}.

14. \sqrt{7 + 2^{1−x}} ≥ 7 − (\frac{1}{2})^{x−2} .

15. 3x + 12 · 3^{\sqrt{x}} ≥ 4x · 3^{\sqrt{x}} + 9.

16. (x^{2} − x + 1)^{x^{2}−2,5x+1} < 1.

17. \sqrt{13^{x} − 5} ≤ \sqrt{2(13^{x} + 12)} − \sqrt{13^{x} + 5}.

18. (4x^{2} + 2x + 1)^{x^{2}−x} ≥ 1.

19. 8 · 3^{\sqrt{x}+ ^{4} \sqrt{x}} + 9^{^{4} \sqrt{x}+1} ≥ 9^{\sqrt{x}}.

20. |2^{4x^{2}−1} − 5| ≤ 3.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Bibliografie.

1. P. Cojuhari, A. Corlat. Ecuatii si inecuatii algebrice. Mica biblioteca a elevului. Seria matematica si informatica. Editura ASRM. Chisinau, 1995.

2. P. Cojuhari. Ecuatii si inecuatii. Teorie si practica. Chisinau, Universitas, 1993.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md