Ecuatii exponentiale

Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala.

Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma

a^{x} = b,  (1)

unde a > 0, a ≠ 1.

Afirmatia 1. Pentru b ≤ 0 ecuatia (1) nu are solutii, iar pentru b > 0 ecuatia data are o solutie unica: x = log_{a} b.

Exemplul 1. Sa se rezolve ecuatiile

a) 2^{x} = −4,  b) 2^{x} = 4,  c) 2^{x} = 5.

Rezolvare. a) Cum membrul din stanga ecuatiei este pozitiv pentru orice x ∈ R (a se vedea proprietatile functiei exponentiale), iar membrul din dreapta este negativ, ecuatia nu are solutii.

b) Utilizand afirmatia 1 se obtine x = log_{2} 4, adica x = 2.

c) Similar exemplului precedent se obtine x = log_{2} 5. Nota. Din afirmatia 1 rezulta ca ecuatia exponentiala de tipul

a^{f(x)} = b,  (2)

unde a > 0, a ≠ 1 si b > 0, este echivalenta cu ecuatia

f(x) = log_{a} b

Exemplul 2. Sa se rezolve ecuatiile

a) 2^{sin x} = \frac{1}{\sqrt{2}},  b) 3^{|x^{2}−x|} = 9,  c) (\sqrt{5})^{2+4+6+...+2x} = 5^{45}, x ∈ N.

Rezolvare. a) Se tine seama de nota la afirmatia 1 si se obtine ecuatia trigonometrica

sin x = log_{2} \frac{1}{\sqrt{2}}.

Cum log_{2} \frac{1}{\sqrt{2}} = log_{2} \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} = log_{2} 2^{− \frac{1}{2}} = −\frac{1}{2} log_{2} 2 = −\frac{1}{2}, rezulta sin x = −\frac{1}{2}, de unde

x = (−1)^{n+1} \frac{π}{6} , n ∈ Z.

b) Cum log_{3} 9 = 2, se obtine ecuatia

|x^{2} − x| = 2.

Utilizand proprietatile modulului (a se vedea, de exemplu, [1]) se obtine

|x^{2} − x| = 2 ⇔ [ \begin{matrix}x^{2} − x = 2, \\ x^{2} − x = −2, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x^{2} − x − 2 = 0, \\ x^{2} − x + 2 = 0, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x = −1, \\ x = 2. \end{matrix}

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

c) Logaritmand in baza 5 (ambii membri sunt pozitivi) se obtine

\frac{1}{2}(2 + 4 + 6 + … + 2x) = 45 sau 1 + 2 + … + x = 45.

Utilizand formula pentru suma primilor n termeni ai progresiei aritmetice se obtine

\frac{1 + x}{2}x = 45,

de unde rezulta ecuatia patrata

x^{2} + x − 90 = 0

cu solutiile x_{1} = −10 si x = 9. Cum x ∈ N, ramane x = 9.

La rezolvarea ecuatiilor exponentiale se utilizeaza urmatoarea afirmatie de baza referitoare la echivalenta ecuatiilor (a se vedea, de exemplu, [2]).

Afirmatia 2. Daca a > 0 si a ≠ 1, atunci ecuatiile

a^{f(x)} = a^{g(x)}  (3)

si

f(x) = g(x)

sunt echivalente.

Nota. Ecuatiile de tipul

a^{f(x)} = b^{g(x)} (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

se pot scrie astfel

a^{f(x)} = a^{g(x) log_{a} b}

si se rezolva utilizand afirmatia 2.

Unele ecuatii exponentiale se reduc la ecuatiile de tipul (1)-(3) cu ajutorul egalitatilor:

E1) a^{x}·a^{y} = a^{x+y}, E2) \frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x−y}, E3) (a^{x})^{y} = a^{x·y}, E4) \frac{a^{x}}{b^{x}} = (\frac{a}{b})^{x} , E5) a^{x}·b^{x} = (ab)^{x}.

Exemplul 3. Sa se rezolve ecuatiile

a) \frac{3^{2x+1} · 9^{x+2}}{27^{x}} = 243, b) \frac{3^{x}}{2^{x}} · (\frac{4}{9})^{x^{2}−12} = (\frac{3}{2})^{9} , c) 4^{3x+1} · 625^{\frac{x}{2}} = 6400, d) 3^{2x−1} = 7^{x+1}.

Rezolvare. a) Se utilizeaza egalitatile E1-E3, afirmatia 2 si se obtine

\frac{3^{2x+1} · 9^{x+2}}{27^{x}} = 243 ⇔ \frac{3^{2x+1} · 3^{2(x+2)}}{3^{3x}} = 3^{5} ⇔ \frac{3^{2x+1+2(x+2)}}{3^{3x}} = 3^{5} ⇔

⇔ 3^{2x+1+2(x+2)−3x} = 3^{5} ⇔ 2x + 1 + 2x + 4 − 3x = 5 ⇔ x = 0.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

b) Cum \frac{a}{b} = (\frac{b}{a})^{−1} (ab ≠ 0), rezulta (\frac{4}{9})^{x^{2}−12} = (\frac{3}{2})^{−2(x^{2}−12)} si utilizand proprietatile E4, E3 si E1 se obtine

\frac{3^{x}}{2^{x}} · (\frac{4}{9})^{x^{2}−12} = (\frac{3}{2})^{9} ⇔ (\frac{3}{2})^{x} · (\frac{3}{2})^{−2(x^{2}−12)} = (\frac{3}{2})^{9} ⇔ (\frac{3}{2})^{x−2(x^{2}−12)} = (\frac{3}{2})^{9} ,

de unde, in baza afirmatiei 2, rezulta ecuatia patrata 2x^{2} − x − 15 = 0

cu solutiile x = 3 si x = −\frac{5}{2}.

c) Cum 4^{3x+1} = 4^{1} · 4^{3x} = 4 · (4^{3})^{x} = 4 · 64^{x}, 625^{\frac{x}{2}} = (625^{\frac{1}{2}} )^{x} = 25^{x} ecuatia devine

4 · 64^{x} · 25^{x} = 6400

sau

64^{x} · 25^{x} = 1600.

Utilizand proprietatea E5 si afirmatia 2 se obtine 1600^{x} = 1600, de unde x = 1.

d) Se tine seama de nota la afirmatia 2 si se obtine

3^{2x−1} = 3^{log_{3} 7^{(x+1)}}

de unde rezulta ecuatia liniara

2x − 1 = x log_{3} 7 + log_{3} 7

sau

x(2 − log_{3} 7) = log_{3} 7 + 1

cu solutia x = \frac{1 + log_{3} 7}{2 − log_{3} 7}.

Daca ecuatia exponentiala este de tipul

F (a^{f(x)}) = 0,  (4)

atunci prin intermediul substitutiei t = a^{f(x)}, se obtine ecuatia

F (t) = 0,

care de regula se rezolva mai simplu. In cele mai frecvente cazuri se intalnesc ecuatiile de tipul

\begin{matrix}A · a^{2f(x)} + B · a^{f(x)} + C = 0, \\ A · a^{f(x)} + C · a^{−f(x)} + B = 0 \end{matrix}  (5)

(A, B si C ∈ R), care cu ajutorul substitutiei t = a^{f(x)} se reduc la ecuatia patrata At^{2} + Bt + C = 0.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Exemplul 4. Sa se rezolve ecuatiile:

a) 2^{x} + 3 · 2^{x−4} = 76,  b) 3^{−x} + 9 · 3^{x} + 9^{x+1} + 9^{−x−1} = 8,  c) 4^{x^{2}} − 2^{x^{2}} − 2 = 0,
d) 2^{1+x} − 2^{3−x} = 15, e) 4^{\sqrt{x^{2}−2x}+1} + 2 = 9 · 2^{\sqrt{x^{2}−2x}}.

Rezolvare. a) 2^{x} + 3 · 2^{x−4} = 76 ⇔ 2^{x} + 3 · \frac{2^{x}}{2^{4}} = 76. Se noteaza t = 2^{x}, si se obtine ecuatia liniara

16t + 3t = 76 · 16,

de unde t = 64. Asadar 2^{x} = 64 si x = 6.

b) Ecuatia se scrie

\frac{1}{3^{x}} + 9 · 3^{x} + 9 · 9^{x} + \frac{1}{9 · 9^{x}} = 8.

Se noteaza t = 3^{x} (atunci 9^{x} = t^{2}), si se obtine ecuatia algebrica

\frac{1}{t} + 9t + 9t^{2} + \frac{1}{9t^{2}} = 8,

care se reduce (a se vedea [1]) prin substitutia

z = \frac{1}{t} + 9t

(atunci 9t^{2} + \frac{1}{9t^{2}} = \frac{1}{9} · (81t^{2} + \frac{1}{t^{2}} ) = \frac{1}{9} [(\frac{1}{t} + 9t)^{2} − 18] = \frac{1}{9}z^{2} − 2) la ecuatia patrata

z + \frac{1}{9}z^{2} − 2 = 8

sau

z^{2} + 9z − 90 = 0,

de unde z_{1} = −15, z_{2} = 6. Cum t > 0, z_{1} = −15 nu verifica ecuatia si ramane

\frac{1}{t} + 9t = 6,

de unde

9t^{2} − 6t + 1 = 0

cu solutia t = \frac{1}{3}. Asadar 3^{x} = \frac{1}{3}, de unde x = −1.

c) Se noteaza t = 2^{x^{2}}, atunci 4^{x^{2}} = (2^{2})^{x^{2}} = (2^{x^{2}})^{2} = t^{2} si se obtine ecuatia patrata

t^{2} − t − 2 = 0,

cu solutiile t_{1} = −1 si t_{2} = 2. Cum t > 0 (mai exact, deoarece x^{2} ≥ 0, t = 2^{x^{2}} ≥ 1), ramane t = 2, adica

2^{x^{2}} = 2

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

de unde x^{2} = 1 si deci x = ±1.

d) Cum 2^{1+x} = 2 · 2^{x}, 2^{3−x} = \frac{2^{3}}{2^{x}}, se noteaza t = 2^{x} si ecuatia devine

2t − \frac{8}{t} = 15.

Se multiplica ambii membri ai ecuatiei cu t (t > 0) si se obtine ecuatia patrata

2t^{2} − 15t − 8 = 0

cu solutiile t_{1} = −\frac{1}{2} si t_{2} = 8. Cum t_{1} < 0, ramane

2^{x} = 8,

de unde x = 3.

e) Se noteaza t = 2^{\sqrt{x^{2}−2x}} (cum \sqrt{x^{2} − 2x} ≥ 0 in x ∈ (−∞, 0] ∪ [2, +∞), rezulta t ≥ 1) si se obtine ecuatia

4t^{2} − 9t + 2 = 0

cu solutiile t_{1} = \frac{1}{4} si t_{2} = 2. Cum t_{1} < 1 ramane de rezolvat ecuatia

2^{\sqrt{x^{2}−2x}} = 2,

echivalenta cu

\sqrt{x^{2} − 2x} = 1.

Deoarece ambii membri ai ecuatiei sunt pozitivi, ridicand la patrat se obtine ecuatia echivalenta (a se vedea, de exemplu, [1])

x^{2} − 2x = 1

cu solutiile x = 1 ± \sqrt{2}.

Ecuatiile de tipul

A · a^{2f(x)} + B · a^{f(x)}b^{f(x)} + C · b^{2f(x)} = 0,

(A, B, C ∈ R, A · B · C ≠ 0) se numesc ecuatii exponentiale omogene. Prin multiplicare, de

exemplu, cu \frac{1}{b^{2f(x)}} ele se reduc la ecuatia patrata

At^{2} + Bt + C = 0,

unde t = (\frac{a}{b})^{f(x)}.

Exemplul 5. Sa se rezolve ecuatiile

a) 64 · 9^{x} − 84 · 12^{x} + 27 · 16^{x} = 0, b) 9 · 2^{2x+2} − 45 · 6^{x} − 3^{2x+4} = 0.

Rezolvare. a) Ecuatia se scrie

64 · 3^{2x} − 84 · 3^{x} · 4^{x} + 27 · 4^{2x} = 0

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

si impartind la 4^{2x} se obtine

64 · (\frac{9}{16})^{x} − 84 · \frac{3^{x} · 4^{x}}{(4^{x})^{2}} + 27 = 0

sau

64 · (\frac{3}{4})^{2x} − 84 · (\frac{3}{4})^{x} + 27 = 0.

Se noteaza t = (\frac{3}{4})^{x} si se obtine ecuatia patrata

64t^{2} − 84t + 27 = 0.

Discriminantul ecuatiei date este Δ = 84^{2}−4·64·27 = 4^{2}·3^{2}·7^{2}−4·4·16·9·3 = 4^{2}·3^{2}(49−48) = = 12^{2}, iar solutiile

t_{1} = \frac{9}{16} si t_{2} = \frac{3}{4}.

Asadar

[ \begin{matrix}(\frac{3}{4})^{x} = \frac{9}{16}, \\ (\frac{3}{4})^{x} = \frac{3}{4}, \end{matrix}

de unde x_{1} = 2 si x_{2} = 1.

b) Ecuatia se scrie

36 · 2^{2x} − 45 · 2^{x} · 3^{x} − 81 · 3^{2x} = 0

sau (multiplicand cu \frac{1}{9 · 3^{2x}})

4 · (\frac{2}{3})^{2x} − 5 · (\frac{2}{3})^{x} − 9 = 0.

Notand t = (\frac{2}{3})^{x} se obtine ecuatia patrata

4t^{2} − 5t − 9 = 0

cu solutiile t = −1, t = \frac{9}{4}. Cum t > 0 ramane (\frac{2}{3})^{x} = \frac{9}{4} de unde x = −2.

Uneori se intalnesc ecuatii ce se rezolva prin metoda ”scoaterii factorului comun in afara parantezei”.

Exemplul 6. Sa se rezolve ecuatiile

a) 2^{x+1} − 2^{x} + 2^{x−2} − 2^{x−3} = 9,
b) 2^{x+1} − 2^{x+2} − 2^{x+3} = 5^{x} − 5^{x+1},
c) x^{2} · 2^{x+1} + 2^{|x−3|+2} = x^{2} · 2^{|x−3|+4} + 2^{x−1}.

Rezolvare. a) Ecuatia se scrie

2^{x} · 2 − 2^{x} + \frac{2^{x}}{4} − \frac{2^{x}}{8} = 9

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

sau

2^{x} (2 − 1 + \frac{1}{4} − \frac{1}{8}) = 9.

Efectuand operatiile din paranteze se obtine

2^{x} · \frac{9}{8} = 9,

de unde 2^{x} = 8 si x = 3.

b) Similar rezolvarii ecuatiei precedente se obtine:

2^{x+1} − 2^{x+2} − 2^{x+3} = 5^{x} − 5^{x+1} ⇔ 2^{x} · 2 − 2^{x} · 4 − 2^{x} · 8 = 5^{x} − 5^{x} · 5 ⇔

2^{x}(2 − 4 − 8) = 5^{x}(1 − 5) ⇔ 2^{x}(−10) = 5^{x}(−4) ⇔ \frac{2^{x}}{5^{x}} · (−10) = −4 ⇔

(\frac{2}{5})^{x} = \frac{4}{10} ⇔ (\frac{2}{5})^{x} = (\frac{2}{5})^{1} ⇔ x = 1.

c) Se trec toti termenii in partea stanga a ecuatiei si se grupeaza convenabil

(x^{2} · 2^{x+1} − 2^{x−1}) + (2^{|x−3|+2} − x^{2} · 2^{|x−3|+4}) = 0.

In fiecare paranteza se scoate factorul comun in afara parantezei

2^{x−1}(4x^{2} − 1) + 2^{|x−3|+2}(1 − 4x^{2}) = 0,

de unde rezulta

(4x^{2} − 1) · (2^{x−1} − 2^{|x−3|+2}) = 0

si totalitatea de ecuatii

[ \begin{matrix}4x^{2} − 1 = 0, \\ 2^{x−1} = 2^{|x−3|+2}. \end{matrix}

Prima ecuatie are solutiile x_{1} = −\frac{1}{2}, x_{2} = \frac{1}{2}, iar a doua se rezolva utilizand proprietatile modulului:

2^{x−1} = 2^{|x−3|+2} ⇔ x − 1 = |x − 3| + 2 ⇔ x − 3 = |x − 3| ⇔ x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3.

Asadar, solutiile acestei ecuatii sunt

x ∈ \{±\frac{1}{2}\} ∪ [3, +∞).

Unele ecuatii exponentiale se rezolva prin metode specifice. Exemplul 7. Sa se rezolve ecuatiile

\begin{matrix}a) (4 + \sqrt{15})^{2} + (4 − \sqrt{15})^{x} = 62, & d) 4^{x} + (x − 1) · 2^{x} = 6 − 2x, & g) (2x + 1) · 3^{x^{2}+x+3} = 27, \\ b) 5^{x−2} = 8 − x, & e) x^{2} + x + 2 = 2 · 2^{x} − 4^{x}, & h) 5^{x} · ^{x} \sqrt{8^{x−1}} = 500, \\ c) 3^{x} + 4^{x} = 5^{x}, & f) \sqrt[4]{2} ^{3+2x−x^{2}} = \frac{x^{2} + 1}{x}, & i) 5^{x} · 8^{\frac{x−1}{x}} = 500. \end{matrix}

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Rezolvare. a) Se observa ca (4 + \sqrt{15})^{x} · (4 − \sqrt{15})^{x} = 1^{x} = 1 si utilizand substitutia

t = (4 + \sqrt{15})^{x} (atunci (4 − \sqrt{15})^{x} = \frac{1}{t}) se obtine ecuatia

t + \frac{1}{t} = 62

sau

t^{2} − 62t + 1 = 0

cu solutiile t_{1} = 31 − 8\sqrt{15} si t_{2} = 31 + 8\sqrt{15}. Cum 31 ± 8\sqrt{15} = (4 ± \sqrt{15})^{2}, se obtine totalitatea de ecuatii

[ \begin{matrix}(4 + \sqrt{15})^{x} = (4 + \sqrt{15})^{2}, \\ (4 + \sqrt{15})^{x} = (4 − \sqrt{15})^{2}, \end{matrix}

de unde x_{1} = 2 si x_{2} = −2 (se tine seama ca (4 − \sqrt{15})^{2} = (4 + \sqrt{15})^{−2}).

b) Se observa ca x = 3 este solutie a ecuatiei date. Alte solutii ecuatia data nu are, deoarece membrul din stanga reprezinta o functie crescatoare, iar membrul din dreapta o functie descrescatoare, si cum graficele acestor functii pot avea cel mult un punct comun, rezulta ca x = 3 este unica solutie.

c) Se observa ca x = 2 este solutie a acestei ecuatii. Alte solutii ecuatia nu are. In adevar, ecuatia se scrie

(\frac{3}{5})^{x} + (\frac{4}{5})^{x} = 1.

Se observa ca functia f(x) = (\frac{3}{5})^{x} + (\frac{4}{5})^{x} ca suma a doua functii descrescatoare este la fel descrescatoare si, prin urmare, capata fiecare valoare a sa doar o singura data.

d) Se noteaza t = 2^{x} si se rezolva ecuatia patrata in t:

t^{2} + (x − 1)t + 2x − 6 = 0.

Discriminantul acestei ecuatii este Δ = (x − 1)^{2} − 4(2x − 6) = x^{2} − 10x + 25 = (x − 5)^{2}, iar solutiile

t_{1} = \frac{1 − x − x + 5}{2} = 3 − x, t_{2} = \frac{1 − x + x − 5}{2} = −2.

Cum solutia t = −2 nu verifica conditia t > 0, ramane

2^{x} = 3 − x

Se rezolva similar exemplului b) si se obtine x = 1.

e) Ecuatia se scrie

x^{2} + x + 1 = 2 · 2^{x} − 4^{x} − 1

sau

x^{2} + x + 1 = −(2^{x} − 1)^{2},

de unde rezulta, ca ecuatia nu are solutii. In adevar, cum (x^{2} +x+1 = x^{2} +2· \frac{1}{2}x+ \frac{1}{4} − \frac{1}{4} +1 =

(x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}) membrul din stanga ecuatiei ia valori in multimea [\frac{3}{4}; +∞), iar membrul din

dreapta dreapta ecuatiei valori nepozitive. f) Se observa ca ecuatia are solutii doar pentru x > 0. Atunci membrul din dreapta

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

\frac{x^{2} + 1}{x} = x + \frac{1}{x} ≥ 2,

in plus semnul egalitatii se obtine pentru x = 1 (se tine seama de inegalitatea a + \frac{1}{a} ≥ 2 justa pentru orice a > 0), pe cand membrul din stanga ecuatiei primeste valoarea maxima 2 pentru x = 1. In adevar

( ^{4} \sqrt{2})^{3+2x−x^{2}} = ( ^{4} \sqrt{2})^{4−1+2x−x^{2}} = ( ^{4} \sqrt{2})^{4−(1−x)^{2}} ≤ \sqrt[4]{2}^{4} = 2.

Astfel unica solutie a acestei ecuatii este x = 1.

g) Se observa, ca pentru x ∈ (−∞, −\frac{1}{2}) ecuatia nu are solutii (in adevar, in asa caz membrul

din stanga ia valori nepozitive). Pentru x ∈ (−\frac{1}{2}; +∞) membrul din stanga reprezinta o functie strict crescatoare, ca produsul a doua functii strict crescatoare, si, prin urmare, primesc fiecare valoare a sa doar o singura data. Ramane de observat ca x = 0 este solutie (unica) a ecuatiei.

h) Domeniul valorilor admisibile al ecuatiei este multimea numerelor naturale, mai mari ca 1. Ecuatia se scrie

5^{x} · 8^{\frac{x−1}{x}} = 500.

Se logaritmeaza, de exemplu, in baza 5 si se obtine

x + log_{5} 2^{\frac{3(x−1)}{x}} = 3 + log_{5} 2^{2}

sau

x + \frac{3(x − 1)}{x} log_{5} 2 − 3 − 2 log_{5} 2 = 0,

de unde se obtine ecuatia patrata

x^{2} + x(log_{5} 2 − 3) − 3 log_{5} 2 = 0

cu solutiile x_{1} = 3 si x_{2} = − log_{5} 2. Cum x_{2} ∉ DV A, rezulta ca unica solutie a ecuatiei este x = 3.

i) DV A a ecuatiei este multimea x ∈ R \ {0} si astfel (a se vedea exemplul precedent) solutiile ei sunt numerele 3 si − log_{5} 2.

Uneori se intalnesc ecuatii ce contin necunoscuta atat in baza cat si in exponentul puterii:

[h(x)]^{f(x)} = b  ([h(x)]^{f(x)} = [h(x)]^{g(x)}) .  (6)

De regula, domeniul de definitie pentru functia [h(x)]^{f(x)} ([h(x)]^{g(x)}) se considera multimea tuturor valorilor x ∈ D(f) (x ∈ D(f) ∩ D(g)), unde d(f) desemneaza domeniul de definitie al functiei f (f si g), pentru care h(x) > 0. Astfel:

[h(x)]^{f(x)} = [h(x)]^{g(x)} ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}f(x) = g(x), \\ h(x) > 0, \\ h(x) ≠ 1, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}h(x) = 1, \\ x ∈ D(f) ∩ D(g). \end{matrix} \end{matrix}

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

Exemplul 8. Sa se rezolve ecuatiile:

a) |x − 2|^{x^{2}+x+1} = (x − 2)^{2}, b) (x^{2} + x)^{x^{2}+2x} = 1, c) |x − 1|^{lg^{2} x−lg x^{2}} = |x − 1|^{3}.

Rezolvare. a) Cum a^{2} = |a|^{2} ecuatia se scrie astfel

|x − 2|^{x^{2}+x+1} = |x − 2|^{2}

si este echivalenta cu totalitatea de sisteme

[ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}|x − 2| > 0, \\ |x − 2| ≠ 1, \\ x^{2} + x + 1 = 2, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}|x − 2| = 1, \\ x ∈ DV A. \end{matrix} \end{matrix}

de unde se obtin solutiile: x = −2, x = 3 si x = 1.

b) Se scrie (x^{2} + x)^{0} = 1, si se obtine

(x^{2} + x)^{x^{2}+2x} = 1 ⇔ (x^{2} + x)^{x^{2}+2x} = (x^{2} + x)^{0} ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}x^{2} + x > 0, \\ x^{2} + x ≠ 1, \\ x^{2} + 2x = 0, \end{matrix} \\ x^{2} + x = 1 \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x = −2, \\ x = \frac{1−\sqrt{5}}{2}, \\ x = \frac{1+\sqrt{5}}{2}. \end{matrix}

c) DV A al ecuatiei este multimea (0; +∞). In DV A ecuatia este echivalenta cu totalitatea

[ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}|x − 1| > 0, \\ |x − 1| ≠ 1, \\ lg^{2} x − lg x^{2} = 3. \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}|x − 1| = 1, \\ x > 0. \end{matrix} \end{matrix}

de unde rezulta solutiile x = \frac{1}{10}, x = 1000 si x = 2.

Nota. Uneori este necesar ca functiile din (6) sa fie examinate pe domenii mai largi: se tine seama ca functia h(x)^{f(x)} are sens si atunci cand h(x) = 0 si f(x) > 0 (g(x) > 0) sau h(x) < 0 si f(x) (g(x)) ia valori in multimea numerelor intregi etc. (a se vedea [2]-[4]).

Exercitii recapitulative Sa se rezolve ecuatiile

1. 8^{\frac{2(x−1)}{x}} = \sqrt{4^{x−1}}.

2. 32^{\frac{x+5}{x−7}} = 0, 25 · 128^{\frac{x+17}{x−3}} .

3. 0, 125 · 4^{2x−3} = (\frac{0, 25}{\sqrt{2}})^{−x} .

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

4. 2^{x} + 2^{x−1} + 2^{x−2} = 448.

5. 3^{2x+1} + 3^{2x} − 3^{2x−2} = 315.

6. 2^{2x+3} · 3^{x} + 2 · 4^{x} · 3^{x+2} = \frac{13}{72}.

7. 7 · 3^{x+1} − 5^{x+2} = 3^{x+4} − 5^{x+3}.

8. 5^{2x} − 7^{x} − 7 · 5^{2x+1} + 5 · 7^{x+1} = 0.

9. 4^{x} − 3^{x−0,5} = 3^{x+0,5} − 2^{2x−1}.

10. 4^{x} − 12 · 2^{x} = 64.

11. 4^{x−1} − 3 · 2^{x−2} = 1.

12. 2^{2+x} − 2^{2−x} = 15.

13. 3^{x log_{2} 7} · 7^{x^{2}+x} = 1.

14. (\sqrt{3 + \sqrt{8}})^{x} + (\sqrt{3 − \sqrt{8}})^{x} = 6.

15. (\sqrt{2 − \sqrt{3}})^{x} + (\sqrt{2 + \sqrt{3}})^{x} = 4.

16. 2^{x+3} − 3^{x^{2}+2x−6} = 3^{x^{2}+2x−5} − 2^{x}.

17. (x − 3)^{3x^{2}−10x+3} = 1.

18. |x − 2|^{10x^{2}−3x−1} = 1.

19. ^{4} \sqrt{|x − 3|^{x+1}} = ^{3} \sqrt{|x − 3|^{x−2}}.

20. 8 · 9^{x} + 6^{x+1} = 27 · 4^{x}.

21. 2 · 16^{cos x} − 20^{cos x} = 3 · 25^{cos x}.

22. x^{2} · 4^{\sqrt{2−x}} + 4^{2−x} = 4^{\sqrt{2−x}+2} + x^{2} · 2^{−2x}.

23. 2^{|3x−5|} = 4 · 8^{|x−1|}.

24. 5^{3x} + 5^{3(1−x)} + 15(5^{x} + 5^{1−x}) = 216.

25. 4^{x} + 3^{x} = 7^{x}.

26. 4^{x} + 3^{x} = 91^{\frac{x}{3}} .

27. 5^{x} · 2^{\frac{2x−1}{x+1}} = 50.

28. (x + 1) · 9^{x−3} + 4x · 3^{x−3} − 16 = 0.

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md

29. 7^{6−x} = x + 2.

30. x^{2} − x + 1 = 2 · 2^{x−1} − 4^{x−1}.

Bibliografie.

1. P. Cojuhari, A. Corlat. Ecuatii si inecuatii algebrice. Mica biblioteca a elevului. Seria matematica si informatica. Editura ASRM. Chisinau, 1995.

2. P. Cojuhari. Ecuatii si inecuatii. Teorie si practica. Chisinau, Universitas, 1993.

3. F.P. Iaremciuc, P. Rudcenco. Algebra i ălementarnîe funcţii. Kiev, Naucova Dumca, 1987. (rus.)

4. V.A. Vişeniskii i dr. Zbirnik zadaci z matematiki. Kiev, ”Libidi”, 1993. (ucr.)

0 Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md