Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Арифметические и геометрические прогрессии

Арифметическая прогрессия

Определение 1. Числовая последовательность (a_{n})_{n∈N} называется арифметической прогрессией, если существует действительное число d (называемое разностью прогрессии), такое, что

a_{n+1} − a_{n} = d (∀n ∈ N),  (1)

то есть, каждый член последовательности (начиная со второго) равен предыдущему плюс одно и то же число (разность прогрессии).

Пример 1. Проверить, являются ли данные последовательности арифметическими прогрессиями

a) a_{n} = 2n − 1;  b) 3, 6, 9, …, 3k …;  c) a_{n} = \frac{1}{n}.

Решение. a) Разность a_{n+1} − a_{n} является постоянным числом для любого n ∈ N

a_{n+1} − a_{n} = 2(n + 1) − 1 − (2n − 1) = 2,

следовательно, последовательность, заданная общим членом a_{n} = 2n − 1, является арифметической прогреcсией c разностью 2:

1, 3, 5, …, 2n − 1, …

b) Аналогично решению примера a), получим

a_{n+1} − a_{n} = 3(n + 1) − 3n = 3 (∀n ∈ N),

и, следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью 3.

c) Выпишем первые три члена последовательности a_{1} = 1, a_{2} = \frac{1}{2}, a_{3} = \frac{1}{3} и заме-

тим, что a_{2} − a_{1} = −\frac{1}{2} ≠ a_{3} − a_{2} = −\frac{1}{6}, то есть, данная последовательность не образует арифметическую прогрессию.

Иначе, рассматривая разность a_{n+1} −a_{n} = \frac{1}{n + 1} − \frac{1}{n} = −\frac{1}{(n + 1)n}, заметим, что она за-

висит от n (не является постоянным числом) и, следовательно, данная последовательность не является арифметической прогрессией.

Свойства арифметической прогрессии

Доказательства приведенных ниже свойств можно найти, например, в [1].

P1. Общий член арифметической прогрессии a_{n} определяется по формуле

a_{n} = a_{1} + (n − 1)d,  (2)

где a_{1} - первый член прогрессии, d - ее разность.

P2. (Характеристическое свойство арифметической прогрессии). n-ый член арифметической прогрессии является средним арифметическим равноудаленных от него членов прогрессии:

a_{n−k} + a_{n+k} = 2 · a_{n}, k = \overline{1, n − 1}  (3)

Замечание. Из свойства P2 следуют необходимые и достаточные условия:

a) три числа a, b, c (в указанной очередности) образуют арифметическую прогрессию, если

2b = a + b,  (4)

b) три числа a, b, c (независимо от очередности) образуют арифметическую прогрессию, если

(2b − a − c)(2c − a − b)(2a − b − c) = 0.  (5)

P3. Если a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, … - арифметическая прогрессия и k +n = m+p (k, n, m, p ∈ N), то

a_{k} + a_{n} = a_{m} + a_{p}.  (6)

P4. Сумма S_{n} первых n членов арифметической прогрессии равна

S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} · n  (7)

или, учитывая (2),

S_{n} = \frac{2a_{1} + (n − 1)d}{2} · n.  (8)

Определение 2. Арифметическая прогрессия называется возрастающей (убывающей если ее разность - положительное (отрицательное) число. Если разность прогрессии равна нулю, имеем постоянную последовательность.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 2. Определить арифметическую прогрессию, если a_{3} = 2 и a_{5} = −2.

Решение. Используя формулу общего члена арифметической прогрессии, получим систему

\{ \begin{matrix}a_{3} = a_{1} + 2d, \\ a_{5} = a_{1} + 4d, \end{matrix}

или, учитывая условия примера,

\{ \begin{matrix}a_{1} + 2d = 2, \\ a_{1} + 4d = −2, \end{matrix}

откуда находим первый член арифметической прогрессии a_{1} = 6 и ее разность d = −2.

Пример 3. Определить число x, если числа a − x, x, b (a, b даны) в указанной последовательности образуют арифметическую прогрессию.

Решение. Используя характеристическое свойство арифметической прогрессии, получим линейное уравнение

2x = a − x + b,

откуда x = \frac{a + b}{3}.

Пример 4. Определить арифметическую прогрессию, сумма первых n членов которой определяется по формуле

S_{n} = 3n^{2} + 6n (n ≥ 1).

Решение. Поскольку сумма первых (n − 1) членов прогрессии равна

S_{n−1} = 3(n − 1)^{2} + 6(n − 1) = 3n^{2} − 3, (n ≥ 2)

и S_{n} − S_{n−1} = a_{n}, следует, что

a_{n} = 3n^{2} + 6n − 3n^{2} + 3 = 6n + 3.

Последовательно подставляя в формулу n-ого члена n = 1, 2, 3, …, получим a_{1} = 9, a_{2} = 15, a_{3} = 21, …

Пример 5. Определить сумму первых девятнадцати членов арифметической прогрессии a_{1}, a_{2}, a_{3}, …, если

a_{4} + a_{8} + a_{12} + a_{16} = 224.

Решение. Заметим, что 4 + 16 = 8 + 12 и, следовательно, (см. (6)) a_{4} + a_{16} = a_{8} + a_{12}. Учитывая, что сумма этих членов равна 224, найдем, что a_{4} + a_{16} = 112.

Поскольку (см. (7)) S_{19} = \frac{a_{1} + a_{19}}{2} · 19 и a_{1} + a_{19} = a_{4} + a_{16} = 112 (1+19=4+16), то

S_{19} = \frac{112}{2} · 19 = 1054.

Пример 6. При каких значениях параметра a существуют такие значения переменной x, чтобы числа

5^{1+x} + 5^{1−x}, \frac{a}{2}, 25^{x} + 25^{−x}

являлись последовательными членами арифметической прогрессии?

Решение. Согласно характеристическому свойству арифметической прогрессии, получим уравнение

a = 5^{1+x} + 5^{1−x} + 25^{x} + 25^{−x}.

Заметим, что при a ≤ 0 уравнение не имеет решений (правая часть, как сумма положительных чисел, есть положительное число).

Поскольку a^{x+y} = a^{x} · a^{y}, a^{−x} = \frac{1}{a^{x}} (a > 0, a ≠ 1), уравнение примет вид

5^{2x} + \frac{1}{5^{2x}} + 5 (5^{x} + \frac{1}{5^{x}} ) = a.

Обозначим 5^{x} + \frac{1}{5^{x}} = t, t ≥ 2 (сумма двух взаимно обратных положительных чисел). Тогда

5^{2x} + \frac{1}{5^{2x}} = (5^{x} + \frac{1}{5^{x}} )^{2} − 2 = t^{2} − 2,

и уравнение примет вид

t^{2} + 5t − (a + 2) = 0.

Положительный корень этого уравнения должен быть больше или равен 2 (данное уравнение имеет два различных противоположных по знаку корня, поскольку при a > 0 имеем −(a + 2) < 0 и коэффициент при t^{2} положителен), для чего достаточно, чтобы

\{ \begin{matrix}−\frac{b}{2a} < 2, \\ f(2) ≤ 0, \end{matrix} или \{ \begin{matrix}−\frac{5}{2} < 2, \\ 4 + 10 − (a + 2) ≤ 0, \end{matrix} откуда a ≥ 12.

Пример 7. Определить сумму всех четных трехзначных чисел, делящияся на 3.

Решение. Первым четным трехзначным числом, делящимся на 3, является 102. Поскольку четное число, делящееся на 3, делится и на 6, получим прогрессию

102, 108, 114, …, 996,

где a_{1} = 102, d = 6 и последний ее член a_{x} = 996 (x ∈ N).

Поскольку a_{x} = a_{1} + (x − 1)d или

102 + (x − 1) · 6 = 996,

находим x = 150. Тогда, используя формулу (7), получим

S_{150} = \frac{102 + 996}{2} · 150 = 74850.

Пример 8. Пусть S_{n}, S_{m} и S_{p} - соответственно суммы первых n, m и p членов арифметической прогрессии a_{1}, a_{2}, a_{3}, … Показать, что

\frac{S_{n}}{n} (m − p) + \frac{S_{m}}{m} (p − n) + \frac{S_{p}}{p} (n − m) = 0.  (9)

Решение. Использем формулу (8), тогда равенство (9) примет вид

\frac{2a_{1} + (n − 1)d}{2}(m − p) + \frac{2a_{1} + (m − 1)d}{2}(p − n) + \frac{2a_{1} + (p − 1)d}{2}(n − m) = 0

или

2a_{1}[m − p + p − n + n − m] + [(n − 1)(m − p) + (m − 1)(p − n) + (p − 1)(n − m)]d = 0.

Поскольку

\begin{matrix}(n − 1)(m − p) + (m − 1)(p − n) + (p − 1)(n − m) = \\ = nm − np − m + p + mp − mn − p + n + pn − pm − n + m = 0, \end{matrix}

получим:

2a_{1} · 0 + 0 · d = 0, то есть, 0 = 0,

и, следовательно, равенство доказано.

Пример 9. Определить числа, являющиеся одновременно членами арифметической прогрессии, 2, 5, 8, …, 332 и 7, 12, 17, …, 157.

Решение. Пусть b - n-ый член первой прогрессии, следовательно, b = 2 + (n − 1) · 3 и, в то же время, b является m-ым членом во второй прогрессии, то есть, b = 7 + (m − 1) · 5. Таким образом, получим уравнение

2 + (n − 1) · 3 = 7 + (m − 1) · 5

или

3(n − 1) = 5m

откуда, учитывая, что m, n - натуральные числа, получим n = 5k + 1 и m = 3k, k ∈ N, то есть, члены a_{6}, a_{11}, a_{16}, …, a_{5k+1} первой прогрессии совпадают с членами c_{3}, c_{6}, c_{9}, …, c_{3k} второй прогрессии. Таким образом, числа 17, 32, 47, 62, 77, 92, 107, 122, 137 и 152 входят в обе прогрессии.

Пример 10. Сумма трех положительных чисел равна \frac{π}{2} . Найти произведение ctg α · ctg γ если известно, что ctg α, ctg β, ctg γ образуют арифметическую прогрессию.

Решение. Используя характеристическое свойство арифметической прогрессии, получим

2 ctg β = ctg α + ctg γ.

Поскольку α + β + γ = \frac{π}{2} влечет β = \frac{π}{2} − (α + γ), используя формулу приведения

ctg (\frac{π}{2} − x) = tg x, получим

2 tg(α + β) = ctg α + ctg β,

используя формулу тангенса двойного угла, имеем

2\frac{tg α + tg γ}{1 − tg α tg γ} = \frac{1}{tg α} + \frac{1}{tg γ}

откуда

2\frac{tg α + tg γ}{1 − tg α tg γ} = \frac{tg γ + tg α}{tg α tg γ}.

Учитывая, что α, β и γ - положительные числа, сумма которых равна \frac{π}{2} (tg α tg γ ≠ 1, tg α ≠ 0, tg γ ≠ 0), получим

2 tg α tg γ = 1 − tg α tg γ,

откуда следует, что tg α tg γ = \frac{1}{3} и, следовательно, ctg α ctg γ = 3.

Пример 11. Пусть x_{1} и x_{2} - корни уравнения x^{2}+px+q = 0. Определить p и q, если известно, что q, x_{1}, p, x_{2} (в данной очередности) образуют возрастающую арифметическую прогрессию.

Решение. Используя характеристическое свойство арифметической прогрессии и теорему Виета, получим систему

\{ \begin{matrix}2x_{1} = q + p, \\ 2p = x_{1} + x_{2}, \\ x_{1} + x_{2} = −p, \\ x_{1}x_{2} = q, \end{matrix}

решения которой

\{ \begin{matrix}q = −4, \\ x_{1} = −2, \\ p = 0, \\ x_{2} = 2, \end{matrix} и \{ \begin{matrix}q = 0, \\ x_{1} = 0, \\ p = 0, \\ x_{2} = 0 \end{matrix}

По условию, арифметическая прогрессия - возрастающая и, следовательно, квадратное уравнение, удовлетворяющее условиям задачи, есть x^{2} − 4 = 0 (p = 0, q = −4).

Пример 12. Определить первые три члена убывающей арифметической прогрессии, если известно, что a_{1} + a_{3} + a_{5} = −24 и a_{1}a_{3}a_{5} = 640.

Решение. Используя свойство P3, находим a_{3} = −8, затем получим систему

\{ \begin{matrix}a_{1} + a_{5} = −16, \\ a_{1}a_{5} = −80, \end{matrix}

решения которой a′_{1} = −20, a′_{5} = 4 и a′′_{1} = 4, a′′_{5} = −20. Поскольку прогрессия - убываю-

щая (d < 0), остается a_{1} = 4 и a_{5} = −20. Используя свойство P3, получим a_{2} = \frac{a_{1} + a_{3}}{2} =

= \frac{4 + (−8)}{2} = −2. Таким образом, первыми тремя членами данной прогрессии являются 4, −2 и −8.

Геометрическая прогрессия

Определение 3. Числовая последовательность (b_{n})_{n∈N} называется геометрической прогрессией, если существует действительное число q, называемое знаменателем прогрессии, такое, что

b_{n+1} = b_{n} · q (∀n ∈ N),  (10)

то есть, каждый член последовательности (начиная со второго) равен предыдущему, умноженному на одно и то же число (знаменатель прогрессии).

Следующие последовательности являются геометрическими прогрессиями:

2, 4, 8, …, 2^{n}, … здесьb_{1} = 2 и q = 2,
3; −1; \frac{1}{3}; −\frac{1}{3}, … здесьb_{1} = 3 и q = −\frac{1}{3},
a, a, a, …  здесьb_{1} = a и q = 1,
a, 0, 0, …  здесьb_{1} = a и q = 0

Заметим, что, если один из членов геометрической прогрессии равен нулю, то тогда либо b_{1} = 0, либо q = 0.

Свойства геометрической прогрессии

P5. Формула n-го члена геометрической прогрессии:

b_{n} = b_{1} · q^{n−1} (∀n ∈ N).  (11)

P6. (Характеристическое свойство геометрической прогрессии). Квадрат n-го члена геометрической прогрессии равен произведению равноудаленных от него членов:

b_{n}^{2} = b_{n−k} · b_{n+k} (n ≥ 2, k = 1, 2, …, n − 1).  (12)

В частном случае, для трех последовательных членов геометрической прогрессии

b_{n}^{2} = b_{n−1} · b_{n+1}.  (13)

Замечание. Формулы (12), (13) можно записать и следующим образом:

|b_{n}| = \sqrt{b_{n−k} · b_{n+k}},  (14)
|b_{n}| = \sqrt{b_{n−1} · b_{n+1}},  (15)

то есть, модуль n-го члена геометрической прогрессии есть среднее геометрическое равноудаленных от него членов. В случае прогрессии с положительными членами n-ый член является средним геометрическим равноудаленных от него членов

b_{n} = \sqrt{b_{n−k} · b_{n+k}} (b_{i} > 0, i = 1, 2, …).  (16)

P7. Если k + n = m + p (k, n, m, p ∈ N), тогда

b_{k} · b_{n} = b_{m} · b_{p},  (17)

где b_{k}, b_{n}, b_{m}, b_{p} - члены геометрической прогрессии b_{1}, b_{2}, …

P8. Числа a, b, c (не обязательно в указанной очередности) образуют геометрическую прогрессию, если и только если удовлетворяют равенству

(a^{2} − bc)(b^{2} − ac)(c^{2} − ab) = 0,  (18)

а числа a, b, c (в указанной очередности) образуют геометрическую прогрессию, если и только если

b^{2} = ac.

P9. Сумма S_{n} первых n членов геометрической прогрессии определяется по формуле

S_{n} = \frac{b_{1} − b_{n}q}{1 − q} (q ≠ 1),  (19)

где b_{1} - первый член прогрессии, q - её знаменатель, b_{n} - n-ый член прогрессии.

Если q = 1, то

S_{n} = b_{1} · n.  (20)

P10. Сумма S всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1) определяется по формуле

S = \frac{b_{1}}{1 − q} .  (21)

Доказательства свойств P5-P10 можно найти, например, в [1].

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 13. Произведение первых трех членов геометрической прогрессии равно 1728, а их сумма равна 63. Найти первый член и знаменатель этой прогрессии.

Решение. Пусть b_{1}, b_{2} и b_{3} - первые три члена данной прогрессии. Тогда из условия b_{1}b_{2}b_{3} = 1728 следует (см. (12)) b_{2}^{3} = 1728 и b_{2} = 12. Следовательно,

\{ \begin{matrix}b_{1}b_{3} = 144, \\ b_{1} + b_{3} = 51. \end{matrix}

Решения данной системы (см. обратную теорему Виета) является также корнями квадратного уравнения

z^{2} − 51z + 144 = 0.

Решая квадратное уравнение, получим z_{1} = 3 и z_{2} = 48, то есть, b_{1} = 3, b_{3} = 48 или

b_{1} = 48, b_{3} = 3. Поскольку b_{1} = 3, b_{2} = 12 или b_{1} = 48 и b_{2} = 12, получим q = 4 или q = \frac{1}{4}.

Таким образом, решеними задачи будут b_{1} = 3 и q = 4 или b_{1} = 48 и q = \frac{1}{4}.

Пример 14. В геометрической прогрессии с положительными членами (m + n)-ый член равен p, а (m − n)-ый член (m > n) равен s. Найти члены порядка m и n.

Решение. Поскольку (см. (11))

b_{m−n} · b_{m+n} = b_{m}^{2},

то b_{m}^{2} = ps, и, поскольку b_{m} > 0, получим b_{m} = \sqrt{ps}.

Согласно условиям и формуле (10), получим

\{ \begin{matrix}b_{1}q^{m+n−1} = p, \\ b_{1}q^{m−n−1} = s, \end{matrix}

откуда q^{2n} = \frac{p}{s} и, следовательно, q = ^{2n} \sqrt{\frac{p}{s}}. Поскольку

b_{1}q^{m+n−1} = b_{1}q^{n−1} · q^{m} = b_{n} · q^{m} = p,

следует, что

b_{n} = \frac{p}{q^{m}} = \frac{p}{\sqrt[2n]{(\frac{p}{s})m}} = p · ^{2n} \sqrt{(\frac{s}{p})^{m}}.

Пример 15. Вычислить сумму

S_{n} = 7 + 77 + 777 + … + \underbrace{777 … 77}_{n цифр}.

Решение. Имеем

S_{n} = 7(1 + 11 + 111 + … + \underbrace{111 … 11}_{n цифр}),

9S_{n} = 7(9 + 99 + 999 + … + \underbrace{999 … 99}_{n цифр})

или

\frac{9}{7}S_{n} = (10 − 1) + (100 − 1) + (10^{3} − 1) + … + (10^{n} − 1),

откуда

\frac{9}{7}S_{n} = (10 + 10^{2} + 10^{3} + … + 10^{n}) − n.

Заметим, что в скобках - сумма первых n членов геометрической прогрессии с первым членом b_{1} = 10 и знаменателем q = 10. Используя формулу (19), получим

\frac{9}{7}S_{n} = \frac{10 − 10^{n+1}}{1 − 10} − n,

откуда

S_{n} = \frac{7}{9} (\frac{10 − 10^{n+1} + 9n}{−9}) = \frac{7}{9} (\frac{10^{n+1} − 9(n + 1) − 1}{9}) = \frac{7}{9} (\frac{10^{n+1} − 1}{9} − (n + 1)) .

Пример 16. Доказать, что числа 9, 10 и 11 не могут являться членами одной геометрической прогрессии.

Решение. Пусть данные числа являются членами геометрической прогрессии с первым членом b_{1} и знаменателем q. Тогда 9 = b_{1}q^{k−1}, 10 = b_{1}q^{n−1} и 11 = b_{1}q^{m−1}, откуда следует

(\frac{9}{10}) = q^{k−n}, (\frac{11}{10}) = q^{m−k} или (\frac{9}{10})^{m−n} = q^{(k−n)(m−n)}, (\frac{11}{10})^{k−n} = q^{(m−n)(k−n)}.

Таким образом,

(\frac{9}{10})^{(m−n)} = (\frac{11}{10})^{(k−n)} ,

откуда

\frac{9^{m−n}}{11^{k−n}} = 10^{m−k}.

Поскольку m, n, k - различные натуральные числа, данное равенство ложно, и, следовательно, 9, 10 и 11 не могут быть членами одной геометрической прогрессии.

Пример 17. Числа a, b, c, d образуют геометрическую прогрессию. Показать, что (a − c)^{2} + (b − c)^{2} + (b − d)^{2} = (a − d)^{2}.

Решение. Преобразуем левую часть равенства:

A = a^{2} − 2ac + c^{2} + b^{2} − 2bc + c^{2} + b^{2} − 2bd + d^{2}.

Так как b^{2} = ac, c^{2} = bd и bc = ad (см. (12) и (17)), то

A = a^{2} − 2b^{2} + c^{2} + b^{2} − 2bc + c^{2} + b^{2} − 2c^{2} + d^{2} = a^{2} − 2bc + d^{2} = a^{2} − 2ad + d^{2} = (a − d)^{2}.

Пример 18. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4, а сумма их кубов равна 192. Найти пятый член последовательности.

Решение. Пусть b_{1} и q - соответственно первый член и знаменатель данной геометрической прогрессии. Тогла |q| < 1 и

S = \frac{b_{1}}{1 − q} = 4.

Заметим, что кубы членов исходной прогрессии образуют, в свою очередь, бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом b_{1}^{3} и знаменателем q^{3}. Действи-

тельно, поскольку \frac{b_{n+1}}{b_{n}} = q, n ∈ N, то \frac{b_{n+1}^{3}}{b_{n}^{3}} = (\frac{b_{n+1}}{b_{n}} )^{3} = q^{3}, n ∈ N. Следовательно,

\{ \begin{matrix}\frac{b_{1}}{1 − q} = 4, \\ \frac{b_{1}^{3}}{1 − q^{3}} = 192. \end{matrix}

Из первого уравнения находим b_{1} = 4(1 − q) и подставляем во второе уравнение системы:

\frac{64(1 − q)^{3}}{(1 − q)(1 + q + q^{2})} = 192,

откуда (поскольку |q| < 1) следует уравнение

(1 − q)^{2} = 3(1 + q + q^{2})

или

2q^{2} + 5q + 2 = 0,

решения которого q_{1} = −2 и q_{2} = −\frac{1}{2}. Поскольку |q| < 1, остается q = −\frac{1}{2} и, следовательно, b_{1} = 6. Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии, получим

b_{5} = b_{1}q^{4} = 6 · (−\frac{1}{2})^{4} = \frac{3}{8}.

Пример 19. Решить уравнения

\frac{1 + tg x + tg^{2} x + … + tg^{n} x + …}{1 − tg x + tg^{2} x − … + (−1)^{n} tg x + …} = 1 + sin 2x, | tg x| < 1.

Решение. Заметим, что числитель левой части уравнения представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом b_{1} = 1 и знаменателем q_{1} = tg x, а знаменатель левой части - сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем (− tg x). Поскольку | tg x| < 1, уравнение переписывается следующим образом:

\frac{\frac{1}{1 − tg x}}{\frac{1}{1 + tg x}} = 1 + sin 2x

или

\frac{tg x + 1}{1 − tg x} = 1 + sin 2x.

Поскольку \frac{tg x + 1}{1 − tg x} = \frac{tg x + tg \frac{π}{4}}{1 − tg x tg \frac{π}{4}} = tg (x + \frac{π}{4} ) = \frac{sin(x + \frac{π}{4})}{cos(x + \frac{π}{4})}, а

1 + sin 2x = (sin x + cos x)^{2} = (\sqrt{2} (sin x cos \frac{π}{4} + cos x sin \frac{π}{4} ))^{2} = 2 sin^{2} (x + \frac{π}{4} ), уравнение примет вид

\frac{sin(x + \frac{π}{4})}{cos(x + \frac{π}{4})} = 2 sin^{2}(x + \frac{π}{4} ),

откуда следует совокупность

sin (x + \frac{π}{4} ) = 0,

2 sin (x + \frac{π}{4} ) cos (x + \frac{π}{4} ) = 1,

или

[ \begin{matrix}x + \frac{π}{4} = πk, k ∈ Z, \\ sin (2x + \frac{π}{2} ) = 1, \end{matrix} или [ \begin{matrix}x = πk − \frac{π}{4} , k ∈ Z, \\ x = πn, n ∈ Z. \end{matrix}

Поскольку | tg x| < 1, остается x = πn, n ∈ Z.

Смешанные задачи

Пример 20. Определить числа a, b и c, если известно, что a, b, c - три последовательных члена геометрической прогрессии; a, b + 2, c образуют арифметическую прогрессию, а числа a, b + 2, c + 9 - геометрическую прогрессию.

Решения. Используя характеристические свойства геометрической и арифметической прогрессии, получим следующую систему:

\{ \begin{matrix}b^{2} = ac, \\ 2(b + 2) = a + c, \\ (b + c)^{2} = a(c + 9), \end{matrix}

откуда a = 4, b = 8, c = 16 или a = \frac{4}{25}, b = −\frac{16}{25} и c = \frac{64}{25}.

Пример 21. Доказать, что если положительные числа a, b и c являются соответственно членами m, n и p-го порядка арифметической прогрессии a_{1}, a_{2}, … и геометрической прогрессии b_{1}, b_{2}, …, то a^{b−c} · b^{c−a} · c^{a−b} = 1.

Решение. Согласно условиям

\begin{matrix}a = a_{1} + (m − 1)d, \\ b = a_{1} + (n − 1)d, \\ c = a_{1} + (p − 1)d, \end{matrix}  (22)

где a_{1} и d - соответственно первый член и разность арифметической прогрессии. Из равенства (22) следует

b − c = (n − p)d, c − a = (p − m)d и a − b = (m − n)d.  (23)

В то же время

a = b_{1}q^{m−1}, b = b_{1}q^{n−1}, c = b_{1}q^{p−1},  (24)

где b_{1} и q - соответственно первый член и знаменатель геометрической прогрессии. Используя (23) и (24), получим

a^{b−c}b^{c−a}c^{a−b} = a^{(n−p)d} · b^{(p−m)d} · c^{(m−n)d} =
= (b_{1}q^{m−1})^{(n−p)d} · (b_{1}q^{n−1})^{(p−m)d} · (b_{1}q^{p−1})^{(m−n)d} =
= b_{1}^{d[(n−p)+(p−m)+(m−n)]} · q^{d[(m−1)(n−p)+(n−1)(p−m)+(p−1)(m−n)]} =
= b_{1}^{0} · q^{0} = 1.

Пример 22. Определить треугольник, длины сторон которого образуют геометрическую прогрессию, а величины внутренних углов - арифметическую прогрессию.

Решение. Пусть α, β, γ - внутренние углы треугольника, противоположные сторонам a, b и c. Поскольку α+β +γ = 180^{∘} и α = β −d, γ = β +d, где d - разность арифметической прогрессии, получим

β − d + β + β + d = 180^{∘},

откуда β = 60^{∘}.

Согласно теореме косинусов,

b^{2} = a^{2} + c^{2} − 2ac cos β.

Поскольку b^{2} = ac и cos β = \frac{1}{2}, то

ac = a^{2} + c^{2} − ac,

откуда a^{2} − 2ac + c^{2} = 0 или (a − c)^{2} = 0 и a = c.

Следовательно, получим равнобедренный треугольник (a = c) с углом при вершине в 60^{∘}, то есть, равносторонний треугольник.

Пример 23. Последовательность положительных чисел a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, … образует арифметическую прогрессию, а последовательность b_{1}, b_{2}, …, b_{n}, … - геометрическую прогрессию. Доказать, что для любого натурального n, n > 2

a_{n} < b_{n},

если a_{1} ≠ a_{2}, a_{1} = b_{1} и a_{2} = b_{2}.

Решение. Пусть d - разность арифметической прогрессии, q - знаменатель геометрической прогрессии. Поскольку a_{1} = b_{1} и a_{2} = b_{2}, получим

a_{1} + d = a_{1} · q,

откуда q = \frac{a_{1} + d}{a_{1}} = 1 + \frac{d}{a_{1}} > 1 и d = a_{1}(q − 1) > 0. Следовательно,

\begin{matrix}a_{n} = a_{1} + (n − 1)d = a_{1} + (n − 1)a_{1}(q − 1) = a_{1}(1 + (n − 1)(q − 1)) \\ b_{n} = b_{1}q^{n−1} = a_{1}q^{n−1} \end{matrix}

и необходимо доказать неравенство

a_{1}(1 + (n − 1)(q − 1)) < a_{1}q^{n−1}

или, так как a_{1} > 0,

1 + (n − 1)(q − 1) < q^{n−1}.

Последнее неравенство непосредственно следует из неравенства Бернулли (см. "Принцип математической индукции" или "Неравенства").

Другой способ. Рассмотрим разность

1+(n−1)(q −1)−q^{n−1} = (1−q) [\frac{1 − q^{n−1}}{1 − q} − (n − 1)] = (1−q)(1+q +q^{2} +…+q^{n−2} −(n−1))

(было учтено, что \frac{1 − q^{n−1}}{1 − q} есть сумма первых n − 2 членов геометрической прогрессии с

b′_{1} = 1 и q′ = q).

Поскольку q > 1, q^{k} > 1, k ∈ N, получаем

1 + q + q^{2} + … + q^{n−2} − (n − 1) > 0

а произведение (1 − q)(1 + q + q^{2} + … + q^{n−2} − (n − 1)) < 0. Следовательно, и 1 + (n − 1)(q − 1) − q^{n−1} < 0, то есть, a_{n} < b_{n}, n > 2.

Пример 24. Определить те прогрессии, которые одновременно является и арифметическими и геометрическими.

Решение. Пусть a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, … - арифметическая и геометрическая прогрессия. Тогда 2a_{k+2} = a_{k+1} + a_{k+3}, или 2a_{1}q^{k+1} = a_{1}q^{k} + a_{1}q^{k+2}, или a_{1}q^{k} − 2a_{1}q^{k+1} + a_{1}q^{k+2} = 0, откуда получим:

a_{1}q^{k}(1 − 2q + q^{2}) = 0, a_{1}q^{k}(1 − q)^{2} = 0.

Следовательно, если a_{1}q ≠ 0, то q = 1, и искомая прогрессия представляет собой постоянную последовательность a_{1}, a_{1}, …, a_{1}, … (d = 0, q = 1).

Если a = 0, получим 0, 0, …, 0, … (d = 0, q ∈ R), а если q = 0, a ≠ 0 - решений нет.

Упражнения

1. Пусть a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, … - арифметическая прогрессия с положительными членами. Показать, что

\frac{1}{\sqrt{a_{1}} + \sqrt{a_{2}}} + \frac{1}{\sqrt{a_{2}} + \sqrt{a_{3}}} + … + \frac{1}{\sqrt{a_{n}} + \sqrt{a_{n+1}}} = \frac{\sqrt{a_{n+1}} − \sqrt{a_{1}}}{d} .

2. Показать, что

\frac{1}{a_{1}a_{2}} + \frac{1}{a_{2}a_{3}} + … + \frac{1}{a_{n}a_{n+1}} = \frac{n}{a_{1}a_{n+1}}

где a_{1}, a_{2}, …, a_{n+1}, … - ненулевые члены арифметической прогрессии.

3. Определить трехзначные числа, делящиеся на 45, цифры которых образуют арифметическую прогрессию.

4. Решить уравнение

2 + 5 + 8 + 11 + … + x = 155

5. Определить сумму всех двузначных четных чисел.

6. Найти a_{1} + a_{6} + a_{11} + a_{16}, если a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, … - арифметическая прогрессия и a_{1} + a_{4} + a_{7} + … + a_{16} = 1447.

7. Определить те значения x, при которых число lg 2, lg(2^{x} − 1), lg(2^{x} + 3) образуют арифметическую прогрессию.

8. Показать, что числа \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5} не могут быть членами одной арифметической прогрессии.

9. Пусть S_{n}, S_{2n}, и S_{3n} - соответственно суммы первых n, 2n и 3n членов геометрической прогрессии. Доказать равенство

S_{n}(S_{3n} − S_{2n}) = (S_{2n} − S_{n})^{2}.

10. Определить четыре числа, образующих арифметическую прогрессию, сумма которых, равна 48, а отношение произведения крайних членов к произведению остав-

шихся равно \frac{27}{35}.

11. Определить геометрическую прогрессию, состоящую из семи членов, если известно, что сумма первых трех ее членов равна 26, а сумма последних трех равна 2106.

12. Доказать, что числа α = ^{n} \sqrt{a^{x−y}}, β = ^{2n} \sqrt{a^{z−y}}, γ = ^{n} \sqrt{a^{z−x}} образуют геометрическую прогрессию.

13. Определить три числа, образующих геометрическую прогрессию, если их сумма равна 62, а сумма их квадратов равна 2604.

14. Числа a_{1}, a_{2}, a_{3} образуют арифметическую прогрессию, а их квадраты - геометрическую прогрессию. Определить эти числа, если известно, что их сумма равна 21.

15. Определить арифметическую прогрессию, если сумма ее первых десяти членов равна 300, а первый, второй и пятый члены этой прогрессии образуют геометрическую прогрессию.

Литература

1. P.Cojuhari si altii. Progresii aritmetice si geometrice. Mica biblioteca a elevului. Seria Matematica, informatica. Chisinau, Editura ASRM, 1995.