Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Линейные уравнения и неравенства с параметром

Уравнение вида

ax + b = 0,  (1)

где a, b ∈ R, x - переменная, называется уравнением первой степени (линейным уравнением).

Ниже приведены примеры линейных уравнений:

a) 2x + 6 = 0,  где a = 2, b = 6;
b) x − 2 = 0  где a = 1, b = −2;
c) 0 · x + 0 = 0, где a = b = 0;
d) 0 · x + \frac{1}{3} = 0, где a = 0, b = \frac{1}{3};
e) − \frac{1}{2}x = 0,  где a = −\frac{1}{2}; b = 0.

Уравнение (1) равносильно уравнению

ax = −b,

откуда следует следующее утверждение.

Утверждение 1.

1. Если a ≠ 0, то уравнение (1) имеет единственное решение x = −\frac{b}{a};

2. Если a = 0, b ≠ 0, то множество решений уравнения (1) пусто;

3. Если a = 0, b = 0, то любое действительное число является решением уравнения (1).

Таким образом, приведенные выше линейные уравнения решаются следующим образом:

a) x = −\frac{6}{2}, то есть x = −3; b) x = 2; c) любое действительное число является решением данного уравнения; d) уравнение не имеет решений; e) x = 0.

Замечание 1. Уравнение

ax + b = cx + d,

где a, b, c, d ∈ R, сводится к линейному уравнению (1):

ax + b = cx + d ⇔ (a − c)x + (b − d) = 0,

или

ax + b = cx + d ⇔ (a − c)x = d − b.

Замечание 2. Уравнение

(ax + b)(cx + d) = 0

где a, b, c, d ∈ R, сводится к совокупности линейных уравнений

[ \begin{matrix}ax + b = 0, \\ cx + d = 0. \end{matrix}

Пример 1. Решить уравнения

\begin{matrix}a) \frac{3x}{2} − 3 = \frac{x}{3} + 4, & c) − x + 2 = 2 − x, \\ b) 2x + 1 = 2x + 3, & d) (2x + 4)(3x − 1) = 0. \end{matrix}

Решение. a) \frac{3x}{2} − 3 = \frac{x}{3} + 4 ⇔ \frac{3x}{2} − 3 − \frac{x}{3} = 4 ⇔ \frac{3x}{2} − \frac{x}{3} = 4 + 3 ⇔ \frac{7}{6}x = 7 ⇔

⇔ x = 7 : \frac{7}{6} ⇔ x = 6.

b) 2x + 1 = 2x + 3 ⇔ 2x − 2x = 3 − 1 ⇔ 0 · x = 2, откуда следует, что уравнение не имеет решений.

c) −x + 2 = 2 − x ⇔ −x + x = 2 − 2 ⇔ 0 · x = 0, следовательно, любое действительное число является решением уравнения.

d) (2x + 4)(3x − 1) = 0 ⇔ [ \begin{matrix}2x + 4 = 0, \\ 3x − 1 = 0, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x_{1} = −2, \\ x_{2} = \frac{1}{3}. \end{matrix}

В дальнейшем будут рассматриваться линейные уравнения с параметрами. Под параметром понимается (смотрите тему Уравнения с параметром) фиксированное (но неизвестное) число. Как правило, параметр обозначается первыми буквами латинского алфавита.

Пример 2. Решить уравнения

a) ax = 1;  e) \frac{(x − a)(2x + a)}{(x + 1)(x − 2)} = 0;
b) a^{2}x − 1 = x + a;  f) \frac{x}{a} + \frac{x}{b} = c;
c) ax + b = cx + d;  g) \frac{2}{5x − a} = \frac{3}{ax − 1}.

d) \frac{x − 2x}{x − 4} = 0;

Решение. a) Применяя утверждение 1, получим:

при a ≠ 0 уравнение имеет единственное решение, x = \frac{1}{a};

при a = 0 уравнение примет вид 0 · x = 1 и, следовательно, оно не имеет решений.

Ответ: если a ∈ R \ \{0\}, то x = \frac{1}{a}; если a = 0, то уравнение не имеет решений.

b) После элементарных преобразований получим:

a^{2}x − 1 = x + a ⇔ a^{2}x − x = a + 1 ⇔ x(a^{2} − 1) = a + 1

откуда, применяя утверждение 1, получим:

1. если a^{2} − 1 ≠ 0, то есть a ≠ ±1, то x = \frac{a + 1}{a^{2} − 1}, или x = \frac{1}{a − 1};

2. если a = 1, то уравнение примет вид 0 · x = 2 и, следовательно, не имеет решений;

3. если a = −1, то уравнение примет вид 0 · x = 0, и, следовательно, любое действительное число является решением этого уравнения.

c) Перепишем уравнение следующим образом

(a − c)x = d − b,

откуда следует:

1. если a − c ≠ 0, то есть a ≠ c, то уравнение имеет единственное решение

x = \frac{d − b}{a − c};

2. если a = c и d − b ≠ 0, то уравнение примет вид 0 · x = d − b(≠ 0) и, следовательно, оно не имеет решений;

3. если a = c и d = b, то уравнение примет вид 0 · x = 0, и, следовательно, множество его решений есть R.

d) Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения есть x ≠ 4. В ОДЗ уравнение решается следующим образом:

\frac{x − 2a}{x − 4} = 0 ⇔ \{ \begin{matrix}x − 2a = 0, \\ x ≠ 4 \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x = 2a, \\ x ≠ 4. \end{matrix}

Таким образом, если 2a ≠ 4, то есть a ≠ 2, то уравнение имеет единственное решение x = 2a, а если a = 2, то уравнение не имеет решений.

e) ОДЗ уравнения есть множество R \ {−1; 2}. Поскольку (x − a)(2x + a) = 0 влечет x_{1} = a и x_{2} = −\frac{a}{2}, так как x ≠ −1 и x ≠ 2, получим:

1. если a ≠ −1, a ≠ 2, −\frac{a}{2} ≠ −1, −\frac{a}{2} ≠ 2, то есть a ∈ R \ \{−1; 2; −4\}, то уравнение

имеет два решения x_{1} = a и x_{2} = −\frac{a}{2} (если a = 0, решения совпадают);

2. если a = −1, то уравнение имеет единственное решение x = \frac{1}{2};

3. если a = 2, то уравнение не имеет решений;

4. если a = −4, то уравнение имеет единственное решение x = −4.

f) Если a = 0 или b = 0, то уравнение не имеет смысла. Пусть a · b ≠ 0. Тогда уравнение равносильно следующему

x(b + a) = abc,

откуда следует:

Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 4

1. если b + a ≠ 0, то есть a ≠ −b, то уравнение имеет единственное решение x = \frac{abc}{a + b};

2. если a = −b и c ≠ 0, то уравнение не имеет решений.

3. если a = −b и c = 0, то любое действительное число есть решение данного уравнения.

g) ОДЗ уравнения определяется из системы \{ \begin{matrix}5x − a ≠ 0, \\ ax − 1 ≠ 0, \end{matrix} , откуда x ≠ \frac{a}{5} и, если a ≠ 0, x ≠ \frac{1}{a}. Если a = 0, то уравнение примет вид

\frac{2}{5x} = \frac{3}{−1}, или −2 = 15x,

откуда x = −\frac{2}{15}, и, поскольку −\frac{2}{15} ≠ \frac{0}{5}, следует, что если a = 0, то уравнение имеет

решение x = −\frac{2}{15}.

Пусть a ≠ 0. Тогда в ОДЗ уравнение примет вид

2(ax − 1) = 3(5x − a),

откуда

(2a − 15)x = 2 − 3a

и, следовательно, 1. если 2a − 15 ≠ 0, то есть a ≠ \frac{15}{2}, то получим x = \frac{2 − 3a}{2a − 15};

2. если 2a − 15 = 0, то есть a = \frac{15}{2}, то уравнение не имеет решений.

Таким образом для a ∈ R \ \{0; \frac{15}{2}\} нужно проверить условие x ≠ \frac{a}{5} и x ≠ \frac{1}{a}:

x ≠ \frac{a}{5} ⇒ \frac{2 − 3a}{2a − 15} ≠ \frac{a}{5} или (2a − 15)a ≠ 5(2 − 3a)

откуда 2a^{2} ≠ 10, или a ≠ ±\sqrt{5}. Таким образом, для a = ±\sqrt{5} уравнение не имеет решений.

В случае второго ограничения получим

x ≠ \frac{1}{a} ⇒ \frac{2 − 3a}{2a − 15} ≠ \frac{1}{a}, или a(2 − 3a) ≠ (2a − 15),

откуда 3a^{2} = 15, то есть a^{2} ≠ 5 (уже исследованный случай).

Таким образом, если a ∈ \{\frac{15}{2}; ±\sqrt{5}\} уравнение не имеет решений, а если a ∈ R \ \{\frac{15}{2}; ±\sqrt{5}\}, то уравнение имеет единственное решение

x = \frac{2 − 3a}{2a − 15}

(заметим, что решение полученное в случае a = 0 содержится в приведенном выше результате).

Пример 3. Решить уравнения

\begin{matrix}a) |x − a| = 2; & c) |x − a| + |x − 2a| = a; \\ b) |x| + |x − a| = 0; & d) |x − 1| + |x − 2| = a. \end{matrix}

Решение. a) Используя свойство модуля, получим:

|x − a| = 2 ⇔ [ \begin{matrix}x − a = 2, \\ x − a = −2, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x = a + 2, \\ x = a − 2. \end{matrix}

Таким образом, для любого действительного a уравнение имеет два различных решения, x_{1} = a + 2 и x_{2} = a − 2.

b) Левая часть уравнения принимает неотрицательные значения (как сумма двух неотрицательных слагаемых), а правая часть равна нулю. Следовательно,

\{ \begin{matrix}x = 0, \\ x − a = 0, \end{matrix} или \{ \begin{matrix}x = 0, \\ x = a. \end{matrix}

Таким образом, если a = 0, то система (а, следовательно, и уравнение) имеет единственное решение x = 0, а если a ≠ 0, то система (и исходное уравнение) решений не имеет.

c) Так как |f(x)| = | − f(x)| уравнение можно переписать следующим образом

|x − a| + |2a − x| = a.

Очевидно, что если a < 0, то уравнение не имеет решений, а если a=0, то получим |x| = 0, откуда x = 0.

Пусть a > 0. Тогда a = |a| = |(2a − x) + (x − a)|, и уравнение примет вид

|x − a| + |2a − x| = |(2a − x) + (x − a)|.

Это уравнение равносильно (см. свойства модуля) неравенству

(2a − x)(x − a) ≥ 0

откуда, учитывая, что 0 < a < 2a, получим решение x ∈ [a; 2a].

Таким образом:

если a < 0, то уравнение не имеет решений;

если a = 0, то уравнение имеет единственное решение x = 0;

если a > 0, то уравнение имеет бесконечное число решений - любое число x ∈ [a; 2a].

d) Очевидно, что уравнение имеет решения только при a > 0. Рассмотрим три случая:

1. Пусть x < 1. Тогда |x − 1| = −(x − 1), |x − 2| = −(x − 2) и уравнение примет вид

−x + 1 − x + 2 = a, или − 2x = a − 3,

откуда x = \frac{3 − a}{2}. Поскольку x < 1, то должно выполняться

\frac{3 − a}{2} < 1,

откуда a > 1. Таким образом, если a > 1, то x = \frac{3 − a}{2}.

2. Пусть x ∈ [1; 2]. Тогда |x − 1| = x − 1, |x − 2| = −(x − 2) и уравнение примет вид

x − 1 − x + 2 = a, 0 · x = a − 1.

Используя утверждение 1, получим: если a = 1, то любое действительное число из отрезка [1;2] есть решение исходного уравнения; если a ≠ 1, то решений нет.

3. Пусть x > 2. Тогда |x − 1| = x − 1, |x − 2| = x − 2 и уравнение примет вид

x − 1 + x − 2 = a,

откуда x = \frac{a + 3}{2}. Поскольку x > 2, то \frac{a + 3}{2} > 2, то есть a > 1. Таким образом: если a > 1, то уравнение имеет два различных решения

x_{1} = \frac{3 − a}{2} и x_{2} = \frac{a + 3}{2};

если a = 1, то любое число отрезка [1;2] есть решение уравнения; если a < 1, то уравнение не имеет решений.

Линейные неравенства

Неравенства вида

ax + b > 0, ax + b ≥ 0, ax + b < 0, ax + b ≤ 0,  (2)

где a, b ∈ R, x - переменная, называются неравенствами первой степени (линейными неравенствами).

Поскольку все неравенства (2) решаются аналогично, приведем решение лишь первого из них: ax + b > 0. Рассмотрим следующие случаи:

1. a > 0, тогда

ax + b > 0 ⇔ ax > −b ⇔ x > −\frac{b}{a}

и, следовательно, множество решений неравенства ax + b > 0 (a > 0) есть (−\frac{b}{a}; +∞);

2. a < 0, тогда

ax + b > 0 ⇔ ax > −b ⇔ x < −\frac{b}{a}

и, следовательно, множество решений неравенства ax + b > 0 (a < 0) есть (−∞; −\frac{b}{a});

3. a = 0, тогда неравенство примет вид 0 · x + b > 0 и для b > 0 любое действительное число есть решение неравенства, а при b ≤ 0 неравенство не имеет решений.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Решить неравенства

\begin{matrix}a) 3x + 6 > 0; & c) 2(x + 1) + x < 3x + 1; \\ b) − 2x + 3 ≥ 0; & d) 3x + 2 ≥ 3(x − 1) + 1. \end{matrix}

Решение. a) 3x+6 > 0 ⇔ 3x > −6 ⇔ x > −2, и, следовательно, множество решений исходного неравенства есть (−2; +∞).

b) −2x + 3 ≥ 0 ⇔ −2x ≥ −3 ⇔ x ≤ \frac{3}{2}, то есть множеством решений исходного

неравенства является (−∞; \frac{3}{2}].

c) После элементарных преобразований получим линейное неравенство

2(x + 1) + x < 3x + 1 ⇔ 2x + 2 + x < 3x + 1 ⇔ 0 · x + 1 < 0.

Так как 1 < 0 - ложное числовое неравенство, то исходное неравенство не имеет решений. d) Решая аналогично примеру c), получим

3x + 2 ≥ 3(x − 1) + 1 ⇔ 3x + 2 ≥ 3x − 3 + 1 ⇔ 0 · x + 4 ≥ 0,

откуда следует, что любое действительное число является решением исходного неравенства.

Пример 2. Решить неравенства

a) ax ≤ 1;

b) |x − 2| > −(a − 1)^{2};

c) 3(4a − x) < 2ax + 3;

d) abx + b > ax + 3;

e) \frac{3x + 4}{a^{2} − 1} − \frac{2x + 1}{a − 1} ≤ \frac{x}{a + 1};

f) ax + b > cx + d;

g) x + \frac{b(2 − x)}{2a} > \frac{a(x + 2)}{2b}.

Решение. a) В зависимости от знака a рассмотрим три случая:

1. если a > 0, то x ≤ \frac{1}{a};

2. если a < 0, то x ≥ \frac{1}{a};

3. если a = 0, то неравенство примет вид 0 · x ≤ 1 и, следовательно, любое действительное число является решением исходного неравенства.

Таким образом, если a > 0, то x ∈ (−∞; \frac{1}{a}], если a < 0, то x ∈ [\frac{1}{a}; +∞), и если a = 0, то x ∈ R.

b) Заметим, что |x − 2| ≥ 0 для любого действительного x и −(a − 1)^{2} ≤ 0 для любого значения параметра a. Следовательно, если a = 1, то любое действительное число, отличное от 2, является решением неравенства, а если a ≠ 1, то любое действительное число является решением неравенства.

Ответ: если a = 1, то x ∈ R \ {2}, а если a ∈ R \ {1}, то x ∈ R.

c) После элементарных преобразований получим

3(4a − x) < 2ax + 3 ⇔ 12a − 3x < 2ax + 3 ⇔ 12a − 3 < 2ax + 3x ⇔ x(2a + 3) > 3(4a − 1).

Далее рассмотрим три случая:

1. если 2a + 3 > 0, то есть a > −\frac{3}{2}, то

x(2a + 3) > 3(4a − 1) ⇔ x > \frac{3(4a − 1)}{2a + 3};

2. если 2a + 3 < 0, то есть a < −\frac{3}{2}, то

x(2a + 3) > 3(4a − 1) ⇔ x < \frac{3(4a − 1)}{2a + 3};

3. если 2a + 3 = 0, то есть a = −\frac{3}{2}, то неравенство примет вид

0 · x > −21

и, так как 0 > −21 - истинное числовое неравенство, следует, что любое действительное число является решением исходного неравенства.

Следовательно,

если a ∈ (−\frac{3}{2}; +∞), то x ∈ (\frac{3(4a−1)}{2a+3}; +∞);

если a ∈ (−∞; −\frac{3}{2}), то x ∈ (−∞; \frac{3(4a−1)}{2a+3});

если a = −\frac{3}{2}, то x ∈ R.

d) abx + b > ax + 3 ⇔ abx − ax > 3 − b ⇔ a(b − 1) · x > 3 − b. Далее рассмотрим следующие случаи:

1. если a(b − 1) > 0, то есть a > 0 и b > 1, или a < 0 и b < 1, то

x > \frac{3 − b}{a(b − 1)}

2. если a(b − 1) < 0, то есть a > 0 и b < 1, или a < 0 и b > 1, то

x < \frac{3 − b}{a(b − 1)}

3. если a = 0, b ≠ 1, то неравенство примет вид

0 · x > 3 − b,

и для b > 3 любое число является решением, а если b ∈ (−∞; 1)∪(1; 3], то множество решений неравенства пусто.

4. если a ≠ 0, b = 1, то неравенство примет вид

0 · x > 2,

и, очевидно, что оно решений не имеет.

Следовательно,

если a > 0 и b > 1, или a < 0 и b < 1, то x ∈ (\frac{3−b}{a(b−1)}; +∞); если a > 0 и b < 1, или a < 0 и b > 1, то x ∈ (−∞; \frac{3−b}{a(b−1)}); если a = 0 и b ∈ (3; +∞), то x ∈ R; если a = 0 и b ∈ (−∞; 1) ∪ (1; 3) или a ≠ 0 и b = 1, то неравенство не имеет решений.

e) Заметим, что a ≠ ±1 (в противном случае неравенство не имеет смысла). Неравенство переписывается следующим образом

\frac{3x + 4}{a^{2} − 1} − \frac{2x + 1}{a − 1} ≤ \frac{x}{a + 1} ⇔

⇔ \frac{3x + 4 − (2x + 1)(a + 1) − x(a − 1)}{(a − 1)(a + 1)} ≤ 0 ⇔ \frac{x(2 − 3a) + 3 − a}{(a − 1)(a + 1)} ≤ 0.

Далее рассмотрим следующие случаи:

1. пусть a ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞), тогда (a − 1)(a + 1) > 0 и, следовательно, исходное неравенство равносильно следующему

x(2 − 3a) + 3 − a ≤ 0, или x(2 − 3a) ≤ a − 3,

откуда

\begin{matrix}для a > 1 x ≥ \frac{a − 3}{2 − 3a}, \\ для a < −1 x ≤ \frac{a − 3}{2 − 3a} \end{matrix}

2. пусть a ∈ (−1; 1), тогда (a − 1)(a + 1) < 0 и, следовательно, исходное неравенство равносильно следующему

x(2 − 3a) + 3 − a ≥ 0, или x(2 − 3a) ≥ a − 3.

Последнее неравенство решается следующим образом:

если a = \frac{2}{3}, то x ∈ R;

если a ∈ (\frac{2}{3}, 1), то x ≤ \frac{a−3}{2−3a}; если a ∈ (−1; \frac{2}{3}), то x ≥ \frac{a−3}{2−3a}.

Таким образом, исходное неравенство при a ∈ (−∞; −1) ∪ (\frac{2}{3}; 1) имеет решения x ∈ (−∞; \frac{a−3}{2−3a}]; при a ∈ (−1; \frac{2}{3}) ∪ (1; +∞) имеет решения x ∈ [\frac{a−3}{2−3a}; +∞); при a = \frac{2}{3} любое действительное число является решением исходного неравенства.

f) Исходное неравенство равносильно следующему

(a − c)x > d − b,

откуда следует, что 1. если a > c, то a − c > 0 и, следовательно, x > \frac{d − b}{a − c};

2. если a < c, то x < \frac{d − b}{a − c};

3. если a = c и d ≥ b, то множество решений неравенства пусто;

4. если a = c и d < b, то x ∈ R. g) Заметим, что a ≠ 0 и b ≠ 0. Приведя к общему знаменателю, получим

x + \frac{b(2 − x)}{2a} > \frac{a(x + 2)}{2b} ⇔ \frac{2abx + b^{2}(2 − x) − a^{2}(x + 2)}{2ab} > 0 ⇔

⇔ \frac{2(b^{2} − a^{2}) − x(b − a)^{2}}{2ab} > 0 ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}2(b^{2} − a^{2}) − x(b − a)^{2} > 0, \\ ab > 0, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}2(b^{2} − a^{2}) − x(b − a)^{2} < 0, \\ ab < 0, \end{matrix} \end{matrix} ⇔

⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}x(b − a)^{2} < 2(b^{2} − a^{2}), \\ ab > 0, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}x(b − a)^{2} > 2(b^{2} − a^{2}), \\ ab < 0, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}x < \frac{2(b + a)}{b − a}, \\ ab > 0, \\ a ≠ b, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}x ∈ ∅, \\ a = b, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}x > \frac{2(b + a)}{b − a} \\ ab < 0. \end{matrix} \end{matrix}

Таким образом, если a и b одиннакогого знака (ab > 0) и a ≠ b, то множество решений неравенства есть (−∞; \frac{2(b+a)}{b−a}); если a и b - противоположных знаков (ab < 0), то множество решений есть (\frac{2(b+a)}{b−a}; +∞), а если a = b, то неравенство не имеет решений.

Пример 3. Решить неравенства

\begin{matrix}a) |x + a| + |x − 2a| < 4a; & c) |x + a| > 2; \\ b) |x + a| < |a|x; & d) |x − a| ≤ a. \end{matrix}

Решение. a) Заметим, что при a ≤ 0 неравенство решений не имеет. Пусть a > 0. Рассмотрим три случая:

1. пусть x ∈ (−∞; −a], тогда |x + a| = −x − a и |x − 2a| = 2a − x, и неравенство примет

вид

−x − a + 2a − x < 4a, или x > −\frac{3}{2}a,

поскольку a > 0, пересечением множеств (−∞; −a] и (−\frac{3a}{2}; +∞) (а, следовательно, и множеством решений неравенства) явяется множество (−\frac{3a}{2}; −a];

2. пусть x ∈ (−a; 2a], тогда |x + a| = x + a, и |x − 2a| = 2a − x, и неравенство примет

вид

x + a + 2a − x < 4a, или 3a < 4a,

и, поскольку a > 0, любое число из интервала (−a; 2a] есть решение неравенства;

3. пусть x ∈ (2a; +∞), тогда |x + a| = x + a и |x − 2a| = x − 2a, и неравенство примет

вид

x + a + x − 2a < 4a, или x < \frac{5}{2}a.

Учитывая условие x ≥ 2a, получим x ∈ (2a; \frac{5}{2}a).

Таким образом, если a ≤ 0, то неравенство не имеет решений, а если a > 0, то множество решений неравенства есть (−\frac{3}{2}a; −a] ∪ (−a; 2a] ∪ (2a; \frac{5}{2}a) или (−\frac{3}{2}a; \frac{5}{2}a).

b) Заметим, что неравенство может иметь лишь положительные решения. Для x > 0 неравенство переписывается |x + a| < |a| · |x| и решается, используя свойства модуля:

\begin{matrix}|x + a| < |a| · |x| ⇔ |x + a| < |ax| ⇔ (x + a + ax)(x + a − ax) < 0 ⇔ \\ ⇔ [(a + 1)x + a][(1 − a)x + a] < 0 ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}(a + 1)x + a > 0, \\ (1 − a)x + a < 0, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}(a + 1)x + a < 0, \\ (1 − a)x + a > 0, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}(a + 1)x > −a, \\ (1 − a)x < −a, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}(a + 1)x < −a, \\ (1 − a)x > −a. \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix}

Если a > 1, тогда a − 1 > 0 и a + 1 > 0, и первая система совокупности примет вид

\{ \begin{matrix}−\frac{a}{a + 1} < x, \\ −\frac{a}{1 − a} < x, \end{matrix}

откуда (учитывая, что x > 0) получим

x > \frac{a}{a − 1},

а вторая система совокупности примет вид

\{ \begin{matrix}x < −\frac{a}{a + 1}, \\ x < −\frac{a}{1 − a}, \end{matrix}

и, так как a > 1 влечет −\frac{a}{a + 1} < 0, а x > 0, система не имеет решений.

Если a = 1, то первая система совокупности не имеет решений, а из второй получим

x < −\frac{1}{2}, и, так как x > 0, то и в этом случае исходное неравенство не имеет решений. Если −1 < a < 1, то a + 1 > 0 и 1 − a > 0, и первая система совокупности примет вид

\{ \begin{matrix}x > −\frac{a}{a + 1}, \\ x < −\frac{a}{1 − a}, \end{matrix} или − \frac{a}{a + 1} < x < \frac{a}{a − 1}

откуда, заметив, что

−\frac{a}{a + 1} < \frac{a}{a − 1} ⇒ −a^{2} > a^{2}

получим, что первая система совокупности несовместна. Из второй системы получим

\frac{a}{a − 1} < x < \frac{−a}{a + 1}

и, учитывая, что x > 0, получим

\{ \begin{matrix}\frac{a}{a + 1} ≥ 0, \\ \frac{a}{a − 1} < \frac{−a}{a + 1}, \end{matrix}

откуда a < 0. Таким образом, если a ∈ [0; 1), то неравенство не имеет решений, а если a ∈ (−1; 0), то множество решений неравенства есть (\frac{a}{a−1}; −\frac{a}{a+1}).

Если a = −1, то первая система совокупности несовместна, а из второй получим x > \frac{1}{2}. Если a < −1, то a + 1 < 0 и 1 − a > 0, и из первой системы следует

\{ \begin{matrix}x < −\frac{a}{a + 1}, \\ x < −\frac{a}{1 − a}. \end{matrix}

Так как a < −1 влечет −\frac{a}{a + 1} < 0, а x > 0, то в этом случае исходное неравенство не имеет решений. Вторая система совокупности примет вид

\{ \begin{matrix}x > −\frac{a}{a + 1}, \\ x > −\frac{a}{1 − a}, \end{matrix}

и, поскольку x > 0, получим x > \frac{a}{a − 1}.

Таким образом,

если a ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞), то x ∈ (\frac{a}{a−1}; +∞); если a ∈ [0; 1], то неравенство не имеет решений; если a = −1, то x ∈ (\frac{1}{2}; +∞).

c) Используя свойство модуля, получим

|x + a| > 2 ⇔ [ \begin{matrix}x + a > 2, \\ x + a < −2, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x > 2 − a, \\ x < −a − 2. \end{matrix}

d) Если a < 0, то неравенство не имеет решений (левая часть неравенства неотрицательна). Если a = 0, то неравенство имеет единственное решение: x = 0. Если a > 0, то

|x − a| ≤ a ⇔ −a ≤ x − a ≤ a ⇔ 0 ≤ x ≤ 2a.