Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

Логарифмические уравнения

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

log_{a} x = b.  (1)

Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = a^{b}.

Пример 1. Решить уравнения:

a) log_{2} x = 3,  b) log_{3} x = −1,  c) log_{\frac{1}{3}} x = 0.

Решение. Используя утверждение 1, получим

a) x = 2^{3} или x = 8; b) x = 3^{−1} или x = \frac{1}{3}; c) x = (\frac{1}{3})^{0} или x = 1.

Приведем основные свойства логарифма. P1. Основное логарифмическое тождество:

a^{log_{a} b} = b,

где a > 0, a ≠ 1 и b > 0.

P2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:

log_{a} N_{1} · N_{2} = log_{a} N_{1} + log_{a} N_{2} (a > 0, a ≠ 1, N_{1} > 0, N_{2} > 0).

Замечание. Если N_{1} · N_{2} > 0, тогда свойство P_{2} примет вид

log_{a} N_{1} · N_{2} = log_{a} |N_{1}| + log_{a} |N_{2}| (a > 0, a ≠ 1, N_{1} · N_{2} > 0).

P3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя

log_{a} \frac{N_{1}}{N_{2}} = log_{a} N_{1} − log_{a} N_{2} (a > 0, a ≠ 1, N_{1} > 0, N_{2} > 0).

Замечание. Если \frac{N_{1}}{N_{2}} > 0, (что равносильно N_{1}N_{2} > 0) тогда свойство P3 примет вид

log_{a} \frac{N_{1}}{N_{2}} = log_{a} |N_{1}| − log_{a} |N_{2}| (a > 0, a ≠ 1, N_{1}N_{2} > 0).

P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:

log_{a} N^{k} = k log_{a} N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).

Замечание. Если k - четное число (k=2s), то

log_{a} N^{2s} = 2s log_{a} |N| (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Формула перехода к другому основанию:

log_{a} N = \frac{log_{b} N}{log_{b} a} (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0);

в частности, если N = b, получим

log_{a} b = \frac{1}{log_{b} a}  (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1).  (2)

Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства

log_{a^{c}} b^{d} = \frac{d}{c} log_{a} b (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0),  (3)
log_{a^{c}} b^{c} = log_{a} b  (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0),  (4)
log_{a^{c}} b = \frac{1}{c} log_{a} b  (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0)  (5)

и, если в (5) c - четное число (c = 2n), имеет место

log_{a^{2n}} b = \frac{1}{2n} log_{|a|} b (b > 0, a ≠ 0, |a| ≠ 1).  (6)

Перечислим и основные свойства логарифмической функции f(x) = log_{a} x:

1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.

2. Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел.

3. При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 < x_{1} < x_{2} ⇒ ⇒ log_{a} x_{1} < log_{a} x_{2}), а при 0 < a < 1 - строго убывает (0 < x_{1} < x_{2} ⇒ ⇒ log_{a} x_{1} > log_{a} x_{2}).

4. log_{a} 1 = 0 и log_{a} a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x ∈ (0; 1) и положительна при x ∈ (1; +∞), а если 0 < a < 1, то логарифмическая функция положительна при x ∈ (0; 1) и отрицательна при x ∈ (1; +∞).

6. Если a > 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a ∈ (0; 1) - выпукла вниз.

Следующие утверждения (см., например, [1]) используются при решении логарифмических уравнений.

Утверждение 1. Уравнение log_{a} f(x) = log_{a} g(x) (a > 0, a ≠ 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)

\{ \begin{matrix}f(x) = g(x), \\ f(x) > 0, \end{matrix}  \{ \begin{matrix}f(x) = g(x), \\ g(x) > 0. \end{matrix}

Утверждение 2. Уравнение log_{h(x)} f(x) = log_{h(x)} g(x) равносильно одной из систем

\{ \begin{matrix}f(x) = g(x), \\ h(x) > 0, \\ h(x) ≠ 1, \\ f(x) > 0, \end{matrix}  \{ \begin{matrix}f(x) = g(x), \\ h(x) > 0, \\ h(x) ≠ 1, \\ g(x) > 0. \end{matrix}

Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться "чужие" решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения

f(x) = g(x) и log_{a} f(x) = log_{a} g(x)

или

log_{a}[f(x) · g(x)] = b и log_{a} f(x) + log_{a} g(x) = b,

вообще говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже).

Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.

Приведем основные способы решения логарифмических уранений.

I. Использование определения логарифма

Пример 2. Решить уравнения

a) log_{2}(5 + 3 log_{2}(x − 3)) = 3, c) log_{(x−2)} 9 = 2,
b) log_{3} \frac{x − 3}{x + 3} = 1,  d) log_{2x+1}(2x^{2} − 8x + 15) = 2.

Решение. a) Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1) называется степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b. Таким образом, log_{a} b = c ⇔ b = a^{c} и, следовательно,

5 + 3 log_{2}(x − 3) = 2^{3}

или

3 log_{2}(x − 3) = 8 − 5, log_{2}(x − 3) = 1.

Опять используя определение, получим

x − 3 = 2^{1}, x = 5.

Проверка полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения:

log_{2}(5 + 3 log_{2}(5 − 3)) = log_{2}(5 + 3 log_{2} 2) = log_{2}(5 + 3) = log_{2} 8 = 3.

Получим истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходного уравнения.

b) Аналогично примеру a), получим уравнение

\frac{x − 3}{x + 3} = 3,

откуда следует линейное уравнение x−3 = 3(x+3) с решением x = −6. Сделаем проверку и убедимся, что x = −6 является корнем исходного уравнения.

c) Аналогично примеру a), получим уравнение

(x − 2)^{2} = 9.

Возведя в квадрат, получим квадратное уравнение x^{2} − 4x − 5 = 0 с решениями x_{1} = −1 и x_{2} = 5. После проверки остается лишь x = 5.

d) Используя определение логарифма, получим уравнение

(2x^{2} − 8x + 15) = (2x + 1)^{2}

или, после элементарных преобразований,

x^{2} + 6x − 7 = 0,

откуда x_{1} = −7 и x_{2} = 1. После проверки остается x = 1.

II. Использование свойств логарифма

Пример 3. Решить уравнения

a) log_{3} x + log_{3}(x + 3) = log_{3}(x + 24),

b) log_{4}(x^{2} − 4x + 1) − log_{4}(x^{2} − 6x + 5) = −\frac{1}{2},

c) log_{2} x + log_{3} x = 1,

d) 2 log_{3}(x − 2) + log_{3}(x − 4)^{2} = 0,

e) 16^{log_{4}(1−2x)} = 5x^{2} − 5.

Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x ∈ (0; +∞), которое определяется из системы неравенств (условия существования логарифмов уравнения)

\{ \begin{matrix}x > 0, \\ x + 3 > 0, \\ x + 24 > 0. \end{matrix}

Используя свойство P2 и утверждение 1, получим

log_{3} x + log_{3}(x + 3) = log_{3}(x + 24) ⇔ \{ \begin{matrix}log_{3} x(x + 3) = log_{3}(x + 24), \\ x > 0, \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}x(x + 3) = x + 24, \\ x > 0, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x^{2} + 2x − 24 = 0, \\ x > 0, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x_{1} = −6, \\ x_{2} = 4, \end{matrix} \\ x > 0, \end{matrix} ⇔ x = 4.

b) Используя свойство P3, получим следствие исходного уравнения

log_{4} \frac{x^{2} − 4x + 1}{x^{2} − 6x + 5} = −\frac{1}{2},

откуда, используя определение логарифма, получим

\frac{x^{2} − 4x + 1}{x^{2} − 6x + 5} = 4^{− \frac{1}{2}}

или

x^{2} − 4x + 1 = \frac{1}{2}(x^{2} − 6x + 5),

откуда получаем уравнение

x^{2} − 2x − 3 = 0

с решениями x_{1} = −1 и x = 3. После проверки остается лишь x = −1.

c) ОДЗ уравнения: x ∈ (0; +∞). Используя свойство P5, получим уравнение

log_{2} x + \frac{log_{2} x}{log_{2} 3} = 1,

log_{2} x (1 + \frac{1}{log_{2} 3}) = 1,

log_{2} x(1 + log_{3} 2) = 1,

откуда log_{2} x = \frac{1}{1 + log_{3} 2}, или log_{2} x = \frac{1}{log_{3} 6}, или log_{2} x = log_{6} 3. Следовательно,

x = 2^{log_{6} 3}.

d) ОДЗ уравнения - множество (2; 4) ∪ (4; +∞) определяется из системы неравенств

\{ \begin{matrix}x − 2 > 0, \\ (x − 4)^{2} ≠ 0. \end{matrix}

Используя свойство P4 (учитывая замечание), получим равносильное уравнение

2 log_{3}(x − 2) + 2 log_{3} |x − 4| = 0

или log_{3}(x − 2) + log_{3} |x − 4| = 0.

Используя свойство P2, получим равносильное уравнение

log_{3}(x − 2)|x − 4| = 0, (x − 2)|x − 4| = 1.

Поскольку в ОДЗ x − 2 = |x − 2| уравнение можно записать следующим образом

|x − 2||x − 4| = 1 или |x^{2} − 6x + 8| = 1,

последнее уравнение (см. свойства модуля) равносильно совокупности уравнений

[ \begin{matrix}x^{2} − 6x + 8 = 1, \\ x^{2} − 6x + 8 = −1, \end{matrix}

откуда получим: x_{1} = 3, x_{2} = 3 + \sqrt{2} и x_{3} = 3 − \sqrt{2} ∉ ОДЗ . Таким образом, корнями исходного уравнения являются x_{1} = 3 и x_{2} = 3 + \sqrt{2}.

e) Поскольку

16^{log_{4}(1−2x)} = 4^{2 log_{4}(1−2x)} = [4^{log_{4}(1−2x)}]^{2} ,

используя свойство P1, получим, что в ОДЗ (x ∈ (−∞; −1)) уравнение равносильно уравнению

(1 − 2x)^{2} = 5x^{2} − 5

или

x^{2} + 4x − 6 = 0,

откуда следует: x_{1} = −2 − \sqrt{10} и x_{2} = −2 + \sqrt{10}. Последнее значение x не входит в ОДЗ, остается единственное решение x = −2 − \sqrt{10}.

III. Метод подстановки

В некоторых случаях логарифмическое уравнение можно свести к алгебрическому уравнению относительно новой переменной. Например, уравнение F (log_{a} x) = 0, где F (x)

- алгебраическая рациональная функция, посредством подстановки log_{a} x = t сводится к алгебраическому уравнению относительно t: R(t) = 0.

Пример 4. Решить уравнения

a) lg^{2} x − 3 lg x + 2 = 0,  c) lg^{2} 100x + lg^{2} 10x + lg x = 14,
b) log_{2}^{2}(x − 1)^{2} − 3 log_{2}(x − 1) − 1 = 0, d) 5^{lg x} = 50 − x^{lg 5}.

Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x ∈ (0; +∞). Обозначив lg x = t (тогда lg^{2} x = (lg x)^{2} = t^{2}), получим квадратное уравнение

t^{2} − 3t + 2 = 0,

решения которого t_{1} = 1 и t_{2} = 2. Следовательно,

[ \begin{matrix}lg x = 1, \\ lg x = 2, \end{matrix}

откуда x_{1} = 10 и x_{2} = 100. Оба корня входят в ОДЗ.

b) ОДЗ уравнения - множество (1; +∞). Поскольку log_{2}^{2}(x − 1)^{2} = [log_{2}(x − 1)^{2}]^{2} = = (2 log_{2} |x − 1|)^{2} = (2 log_{2}(x − 1))^{2} = 4[log_{2}(x − 1)]^{2}, подстановкой t = log_{2}(x − 1) получим квадратное уравнение

4t^{2} − 3t − 1 = 0,

решениями которого являются t_{1} = −\frac{1}{4} и t_{2} = 1. Таким образом,

[ \begin{matrix}log_{2}(x − 1) = −\frac{1}{4}, \\ log_{2}(x − 1) = 1, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x − 1 = 2^{− \frac{1}{4}} , \\ x − 1 = 2^{1}, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x = 1 + \frac{1}{\sqrt[4]{2}}, \\ x = 3. \end{matrix}

c) ОДЗ уравнения - множество (0; +∞). Так как

lg^{2} 100x = (lg 100x)^{2} = (lg 100 + lg x)^{2} = (2 + lg x)^{2},
lg^{2} 10x = (lg 10x)^{2} = (lg 10 + lg x)^{2} = (1 + lg x)^{2},

подстановкой t = lg x сведем исходное уравнение к квадратному уравнению

(2 + t)^{2} + (1 + t)^{2} + t = 14

или

2t^{2} + 7t − 9 = 0,

откуда t_{1} = −\frac{9}{2} и t_{2} = 1. Возвращаясь к исходной переменной, получим x_{1} = 10^{− \frac{9}{2}} и x_{2} = 10.

d) ОДЗ уравнения - множество x ∈ (0; 1) ∪ (1; +∞). Поскольку x^{lg 5} = x^{\frac{log_{x} 5}{log_{x} 10}} =

= (x^{log_{x} 5})^{\frac{1}{log_{x} 10}} = 5^{\frac{1}{log_{x} 10}} = 5^{lg x}, уравнение примет вид 5^{lg x} = 50 − 5^{lg x} или 2 · 5^{lg x} = 50, откуда 5^{lg x} = 25 или 5^{lg x} = 5^{2} ⇔ lg x = 2 ⇔ x = 100.

IV. Уравнения, содержащие выражения вида f(x)^{log_{a} g(x)}

Пример 5. Решить уравнения

a) (x + 2)^{log_{2}(x+2)} = 4(x + 2), b) 5^{log_{2} x} + x^{log_{2} 5} = 10.

Решение. a) ОДЗ уравнения определяется из системы \{ \begin{matrix}x + 2 > 0, \\ x + 2 ≠ 1. \end{matrix} Получим мно-

жество x ∈ (−2; −1) ∪ (−1; +∞). В ОДЗ обе части уравнения положительны, поэтому, логарифмируя обе части уравнения (например, по основанию 2), получим равносильное уравнение

log_{2}(x + 2)^{log_{2}(x+2)} = log_{2}(4 · (x + 2))

или, используя свойства P4 и P2,

log_{2}(x + 2) · log_{2}(x + 2) = log_{2} 4 + log_{2}(x + 2).

Обозначив log_{2}(x + 2) = t, получим квадратное уравнение

t^{2} − t − 2 = 0,

решениями которого являются t_{1} = −1 и t_{2} = 2. Следовательно,

[ \begin{matrix}log_{2}(x + 2) = −1, \\ log_{2}(x + 2) = 2, \end{matrix}

откуда [ \begin{matrix}x + 2 = \frac{1}{2}, \\ x + 2 = 4, \end{matrix} или [ \begin{matrix}x_{1} = −\frac{3}{2}, \\ x_{2} = 2. \end{matrix} Оба корня входят в ОДЗ.

b) ОДЗ уравнения - множество x ∈ (0; 1) ∪ (1; +∞). Поскольку (см. свойство P5 и формулу (2))

5^{log_{2} x} = 5^{\frac{log_{5} x}{log_{5} 2}} = (5^{log_{5} x})^{\frac{1}{log_{5} 2}} = x^{log_{2} 5},

уравнение примет вид

x^{log_{2} 5} + x^{log_{2} 5} = 10 или x^{log_{2} 5} = 5.

Логарифмируя обе части уравнения по основанию 2, получим

log_{2} x^{log_{2} 5} = log_{2} 5

или log_{2} x = 1, откуда x = 2.

V. Некоторые специальные методы

Пример 6. Решить уравнения

a) 2^{x} = 9 − log_{3} x;
b) x log_{3}^{2}(x − 1) + 4(x − 1) log_{3}(x − 1) − 16 = 0;
c) log_{2}(x^{2} + 1) − log_{2} x = 2x − x^{2};
d) log_{5}(x + 2) = 4 − x;
e) \sqrt{log_{2}(2x^{2}) log_{4}(16x)} = log_{4} x^{3};
f) | log_{2}(3x − 1) − log_{2} 3| = | log_{2}(5 − 2x) − 1|;
g) log_{x+1}(x^{3} − 9x + 8) log_{x−1}(x + 1) = 3;
h) log_{2}(6x − x^{2} − 5) = x^{2} − 6x + 11.

Решение. a) Заметим, что x = 3 есть корень данного уравнения: 2^{3} = 9 − log_{3} 3, 8 = 9 − 1, 8 = 8. Других решений уравнение не имеет, так как левая часть уравнения представляет строго возрастающую функцию, а правая часть - строго убывающую функцию. Графики таких функций имеют не более одной точки пересечения и, следовательно, поскольку x = 3 является решением, следует, что других решений нет.

b) ОДЗ уравнения есть множество x ∈ (1; +∞). Обозначив log_{3}(x − 1) = t, получим квадратное уравнение относительно t

xt^{2} + 4(x − 1)t − 16 = 0.

Дискриминант этого уравнения Δ = [4(x − 1)]^{2} + 4x · 16 = 16x^{2} + 32x + 16 = 16(x + 1)^{2}, а корни

t_{1} = \frac{−4(x − 1) − 4(x + 1)}{2x} = −4 и t_{2} = \frac{−4(x − 1) + 4(x + 1)}{2x} = \frac{4}{x}.

Таким образом, получена совокупность уравнений

[ \begin{matrix}log_{3}(x − 1) = −4, \\ log_{3}(x − 1) = \frac{4}{x}. \end{matrix}

Из первого уравнения получим x_{1} = 1\frac{1}{81}, а второе уравнение решается аналогично предыдущему примеру: заметив, что x = 4 есть корень уравнения, доказывается, что других корней нет.

Следовательно, корнями исходного уравнения являются x_{1} = 1\frac{1}{81} и x = 4.

c) ОДЗ уравнения определяется из системы \{ \begin{matrix}x^{2} + 1 > 0, \\ x > 0, \end{matrix} откуда следует x ∈ (0; +∞).

Используя свойство P3, получим равносильное уравнение

log_{2} \frac{x^{2} + 1}{x} = 2x − x^{2}.

Поскольку \frac{x^{2} + 1}{x} = x + \frac{1}{x} ≥ 2 при x > 0, а знак равенства достигается лишь при

x = 1, то левая часть уравнения log_{2} \frac{x^{2} + 1}{x} ≥ 1. В то же время правая часть уравнения принимает максимальное значение 1 при x = 1 (вершина параболы y = 2x − x^{2} находится

в точке (1; 1)). Следовательно, уравнение имеет решения только если \{ \begin{matrix}log_{2} \frac{x^{2} + 1}{x} = 2, \\ 2x − x^{2} = 2, \end{matrix}

откуда x = 1.

d) Решая аналогично примеру a), получим x = 3.

e) Используя утверждение A1 (иррациональные уравнения), получим

\sqrt{log_{2}(2x^{2}) log_{4}(16x)} = log_{4} x^{3} ⇔ \{ \begin{matrix}log_{2}(2x^{2}) log_{4}(16x) = (log_{4} x^{3})^{2} , \\ log_{4} x^{3} ≥ 0, \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}(log_{2} 2 + log_{2} x^{2})(log_{4} 16 + log_{4} x) = (\frac{3}{2} log_{2} x)^{2} , \\ x ≥ 1, \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}(1 + 2 log_{2} x)(2 + \frac{1}{2} log_{2} x) = \frac{9}{4} log_{2}^{2} x, \\ x ≥ 1, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}\frac{5}{4} log_{2}^{2} x − \frac{9}{2} log_{2} x − 2 = 0, \\ x ≥ 1, \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}t = log_{2} x, \\ 5t^{2} − 18t − 8 = 0, \\ x ≥ 1, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}t = log_{2} x, \\ [ & \begin{matrix}t_{1} = −\frac{2}{5}, \\ t_{2} = 4, \end{matrix} \\ x ≥ 1, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}log_{2} x = −\frac{2}{5}, \\ log_{2} x = 4, \end{matrix} \\ x ≥ 1, \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x = \frac{1}{\sqrt[5]{2}}, \\ x = 16, \end{matrix} \\ x ≥ 1, \end{matrix} ⇔ x = 16.

f) Используя свойства P2, P3 и свойства модуля (см., например, [2]), получим

| log_{2}(3x − 1) − log_{2} 3| = | log_{2}(5 − 2x) − 1| ⇔ | log_{2} \frac{3x − 1}{3}| = | log_{2} \frac{5 − 2x}{2}| ⇔

⇔ (log_{2} \frac{3x − 1}{3} − log_{2} \frac{5 − 2x}{x}) · (log_{2} \frac{3x − 1}{3} + log_{2} \frac{5 − 2x}{2}) = 0 ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}log_{2} (\frac{3x − 1}{3} · \frac{2}{5 − 2x}) = 0, \\ log_{2} (\frac{3x − 1}{3} · \frac{5 − 2x}{2}) = 0, \end{matrix} \\ \frac{1}{3} < x < \frac{5}{2} \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}2(3x − 1) = 3(5 − 2x), \\ (3x − 1)(5 − 2x) = 6, \end{matrix} \\ \frac{1}{3} < x < \frac{5}{2} \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x = \frac{17}{12}, \\ x = 1, x = \frac{11}{6}, \end{matrix} \\ \frac{1}{3} < x < \frac{5}{2}, \end{matrix} ⇔ x ∈ \{1; \frac{17}{12}; \frac{11}{6}\} .

g) Находим ОДЗ уравнения

\{ \begin{matrix}x + 1 > 0, \\ x + 1 ≠ 1, \\ x^{3} − 9x + 8 > 0, \\ x − 1 > 0, \\ x − 1 ≠ 1, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x > −1, \\ x ≠ 0, \\ x^{3} − x − 8x + 8 > 0, \\ x > 1, \\ x ≠ 2, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x > 1, \\ x ≠ 2, \\ (x − 1)(x^{2} + x − 8) > 0, \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}x > 1, \\ x ≠ 2, \\ x^{2} + x − 8 > 0, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x > 1, \\ x ≠ 2, \\ [ & \begin{matrix}x < \frac{−1 − \sqrt{33}}{2}, \\ x > \frac{−1 + \sqrt{33}}{2}, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ x > \frac{\sqrt{33} − 1}{2}.

Используя свойство P5, получим (в ОДЗ)

log_{x+1}(x − 1)(x^{2} + x − 8) · \frac{1}{log_{x+1}(x − 1)} = 3

или

log_{x+1}(x − 1)(x^{2} + x − 8) = log_{x+1}(x − 1)^{3},

откуда следует уравнение

(x − 1)(x^{2} + x − 8) = (x − 1)^{3},
[ \begin{matrix}x = 1, \\ x^{2} + x − 8 = x^{2} − 2x + 1, \end{matrix}

откуда x_{1} = 1, x_{2} = 3.

Поскольку x = 1 не удовлетворяет ОДЗ, а 3 > \frac{\sqrt{33} − 1}{2}, остается лишь x = 3.

h) Поскольку функция f(x) = 6x − x^{2} − 5 достигает своего максимума 4 при x = 3, следует, что

log_{2}(6x − x^{2} − 5) ≤ 2.

Правая часть уравнения x^{2} − 6x + 11 = x^{2} − 6x + 9 + 2 = (x − 3)^{2} + 2 и, следовательно, 2 - это наименьшее ее значение (достигается при x = 3). Таким образом, уравнение имеет решение лишь в случае, если одновременно log_{2}(6x − x^{2} − 5) = 2 и x^{2} − 6x + 11 = 2, то есть, если x = 3.

Логарифмические неравенства

Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании называется логарифмическим неравенством.

В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.

Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство log_{a} f(x) > log_{a} g(x) равносильно системе

неравенств \{ \begin{matrix}f(x) > g(x), \\ g(x) > 0. \end{matrix}

Утверждение 2. Если 0 < a < 1, то неравенство log_{a} f(x) > log_{a} g(x) равносильно

системе неравенств \{ \begin{matrix}f(x) < g(x), \\ f(x) > 0. \end{matrix}

Утверждение 3. Неравенство log_{h(x)} f(x) > log_{h(x)} g(x) равносильно совокупности систем неравенств

[ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}h(x) > 1, \\ f(x) > g(x) > 0, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}0 < h(x) < 1, \\ 0 < f(x) < g(x). \end{matrix} \end{matrix}

Подчеркнем, что в неравенстве log_{a} f(x) > log_{a} g(x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ≥, <, ≤. В этом случае утверждения 1-3 соответственно преобразуются.

Пример 1. Решить неравенства

a) log_{3}(x^{2} − x) ≥ log_{3}(x + 8); d) log_{\frac{x+2}{x−3}} (5 − x) > log_{\frac{x+2}{x−3}} (4 − x);
b) log_{0,2}(5 − x) > log_{0,2} \frac{2}{x − 2}; e) log_{2x}(x^{2} − 5x + 6) < 1.
c) log_{2}(log_{\frac{1}{3}} (log_{8} x)) > 0;

Решение. a) Используя утверждение 1, получим

log_{3}(x^{2} − x) ≥ log_{3}(x + 8) ⇔ \{ \begin{matrix}x^{2} − x ≥ x + 8, \\ x + 8 > 0, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x^{2} − 2x − 8 ≥ 0, \\ x > −8 \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x ≤ −2, \\ x ≥ 4, \end{matrix} \\ x > −8, \end{matrix} ⇔ x ∈ (−8; −2] ∪ [4; +∞).

b) Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим

log_{0,2}(5 − x) > log_{0,2} \frac{2}{x − 2} ⇔ \{ \begin{matrix}5 − x < \frac{2}{x − 2}, \\ 5 − x > 0, \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}\frac{(5 − x)(x − 2) − 2}{x − 2} < 0, \\ x < 5, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}\frac{7x − x^{2} − 12}{x − 2} < 0, \\ x < 5, \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}\frac{−(x − 3)(x − 4)}{x − 2} < 0, \\ x < 5, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}2 < x < 3, \\ x > 4, \end{matrix} \\ x < 5, \end{matrix} ⇔

[ \begin{matrix}2 < x < 3, \\ 4 < x < 5, \end{matrix} ⇔ x ∈ (2; 3) ∪ (4; 5).

c) Запишем 0 = log_{2} 1 и, используя утверждение 1, получим

log_{2}(log_{\frac{1}{3}} (log_{8} x)) > log_{2} 1 ⇔ log_{\frac{1}{3}} (log_{8} x) > 1.

Запишем 1 = log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} и, используя утверждение 2, получим

log_{\frac{1}{3}} (log_{8} x) > log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} ⇔ \{ \begin{matrix}log_{8} x < \frac{1}{3}, \\ log_{8} x > 0, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}0 < x < 8^{\frac{1}{3}} , \\ x > 1, \end{matrix} ⇔ 1 < x < 2.

d) Используя утверждение 3, получим

log_{\frac{x+2}{x−3}} (5 − x) > log_{\frac{x+2}{x−3}} (4 − x) ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}\frac{x + 2}{x − 3} > 1, \\ 5 − x > 4 − x > 0, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}0 < \frac{x + 2}{x − 3} < 1, \\ 0 < 5 − x < 4 − x, \end{matrix} \end{matrix} ⇔

⇔ [ \begin{matrix}x ∈ (3; 4), \\ x ∈ ∅, \end{matrix} ⇔ x ∈ (3; 4).

Решение первой системы совокупности:

\{ \begin{matrix}\frac{x + 2}{x − 3} > 1, \\ 5 − x > 4 − x, \\ 4 − x > 0, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}\frac{x + 2}{x − 3} − 1 > 0, \\ 5 > 4, \\ x < 4, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}\frac{5}{x − 3} > 0, \\ x ∈ R, \\ x < 4, \end{matrix} ⇔ 3 < x < 4.

Решение второй системы совокупности:

\{ \begin{matrix}0 < \frac{x + 2}{x − 3}, \\ \frac{x + 2}{x − 3} < 1, \\ 0 < 5 − x, \\ 5 − x < 4 − x, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x < −2, \\ x > 3, \end{matrix} \\ \frac{5}{x − 3} < 0, \\ x < 5, \\ 5 < 4, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x < −2, \\ x > 3, \end{matrix} \\ x < 3, \\ x < 5, \\ x ∈ ∅, \end{matrix} ⇔ x ∈ ∅.

e) Запишем 1 = log_{2x} 2x и используем утверждение 3 (учитывая, что знак > заменен на знак <).

log_{2x}(x^{2} − 5x + 6) < log_{2x} 2x ⇔ [ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}2x > 1, \\ x^{2} − 5x + 6 < 2x, \\ x^{2} − 5x + 6 > 0, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}0 < 2x < 1, \\ x^{2} − 5x + 6 > 2x, \\ 2x > 0, \end{matrix} \end{matrix} ⇔

⇔ [ \begin{matrix}x ∈ (1; 2) ∪ (3; 6), \\ x ∈ (0; \frac{1}{2}), \end{matrix} ⇔ x ∈ (0; \frac{1}{2}) ∪ (1; 2) ∪ (3; 6).

Решение первой системы совокупности:

\{ \begin{matrix}x > \frac{1}{2}, \\ x^{2} − 7x + 6 < 0, \\ [ & \begin{matrix}x < 2, \\ x > 3, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x > \frac{1}{2}, \\ 1 < x < 6, \\ [ & \begin{matrix}x < 2, \\ x > 3, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ x ∈ (1; 2) ∪ (3; 6).

Решение второй системы совокупности:

\{ \begin{matrix}0 < x < \frac{1}{2}, \\ x^{2} − 7x + 6 > 0, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}0 < x < \frac{1}{2}, \\ [ & \begin{matrix}x < 1, \\ x > 6, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ x ∈ (0; \frac{1}{2}).

Неравенства вида F (log_{a} x) > 0 сводятся подстановкой t = log_{a} x к алгебраическому неравенству F (t) > 0.

Пример 2. Решить неравенства

a) log2_{\frac{1}{2}} x + log_{\frac{1}{2}} x − 2 ≥ 0;

b) \frac{1}{5 − lg x} + \frac{2}{1 + lg x} < 1.

Решение. a) Обозначив t = log_{\frac{1}{2}} x, получим квадратное неравенство t^{2} + t − 2 ≥ 0, откуда t ≤ −2 или t ≥ 1. Таким образом,

[ \begin{matrix}log_{\frac{1}{2}} x ≤ −2, \\ log_{\frac{1}{2}} x ≥ 1, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x ≥ (\frac{1}{2})^{−2} , \\ 0 < x ≤ (\frac{1}{2})^{1} , \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x ≥ 4, \\ 0 < x ≤ \frac{1}{2}, \end{matrix} ⇔ x ∈ (0; \frac{1}{2}] ∪ [4; +∞).

b) Обозначив t = lg x, получим рациональное неравенство

\frac{1}{5 − t} + \frac{2}{1 + t} < 1.

Используя метод интервалов (см., например, [1]-[2]), получим

\begin{matrix}\frac{1}{5 − t} + \frac{2}{1 + t} < 1 ⇔ \frac{1 + t + 2(5 − t) − (5 − t)(1 + t)}{(5 − t)(1 + t)} < 0 ⇔ \\ ⇔ \frac{t^{2} − 5t + 6}{(5 − t)(1 + t)} < 0 ⇔ \frac{(t − 2)(t − 3)}{(5 − t)(t + 1)} < 0 ⇔ [ \begin{matrix}t < −1, \\ 2 < t < 3, \\ t > 5. \end{matrix} \end{matrix}

Следовательно,

\{ \begin{matrix}lg x < −1, \\ 2 < lg x < 3, \\ lg x > 5, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}0 < x < \frac{1}{10}, \\ 100 < x < 1000, \\ x > 10^{5}, \end{matrix} ⇔ x ∈ (0; \frac{1}{10}) ∪ (100; 1000) ∪ (10^{5}; +∞).

В случае логарифмических неравенств, которые не имеют вид неравенств, входящих в утверждения 1-3, определяется ОДЗ и с помощью равносильных преобразований исходные неравенства сводятся к неравенствам, которые решаются с помощью утверждений 1-3.

Пример 3. Решить неравенства

a) lg(x − 2) + lg(x − 5) < lg 4; c) \frac{log_{2}(\sqrt{4x + 5} − 1)}{log_{2}(\sqrt{4x + 5} + 11)} > \frac{1}{2};
b) log_{9x} 3x + log_{3x^{2}} 9x^{2} ≤ \frac{5}{2};  d) \frac{1}{log_{2}(x − 1)} < \frac{1}{log_{2} \sqrt{x + 1}}.

Решение. a) ОДЗ неравенства - множество (5; +∞). Используя свойство P2, получим неравенство

lg(x − 2)(x − 5) < lg 4.

Используя утверждение 1, получим

\{ \begin{matrix}(x − 2)(x − 5) < 4, \\ (x − 2)(x − 5) > 0. \end{matrix}

Решаем систему

\{ \begin{matrix}x^{2} − 7x + 6 < 0, \\ [ & \begin{matrix}x < 2, \\ x > 5, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}1 < x < 6, \\ [ & \begin{matrix}x < 2, \\ x > 5, \end{matrix} \end{matrix} ⇔ x ∈ (1; 2) ∪ (5; 6)

и, учитывая ОДЗ, получим x ∈ (5; 6).

b) Определим ОДЗ неравенства

\{ \begin{matrix}3x > 0, \\ 9x > 0, \\ 9x ≠ 1, \\ 3x^{2} > 0, \\ 3x^{2} ≠ 1, \\ 9x^{2} > 0, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x > 0, \\ x ≠ \frac{1}{9}, \\ x ≠ ±\frac{1}{\sqrt{3}}, \end{matrix} ⇔ x ∈ (0; \frac{1}{9}) ∪ (\frac{1}{9}; \frac{1}{\sqrt{3}}) ∪ (\frac{1}{\sqrt{3}}; +∞).

Приведя все логарифмы к основанию 3, получим

\frac{log_{3} 3x}{log_{3} 9x} + \frac{log_{3} 9x^{2}}{log_{3} 3x^{2}} ≤ \frac{5}{2}.

Используя свойство P2, получим

\frac{1 + log_{3} x}{2 + log_{3} x} + \frac{2 + 2 log_{3} x}{1 + 2 log_{3} x} ≤ \frac{5}{2}.

Обозначив log_{3} x = t, решим полученное неравенство методом интервалов

\begin{matrix}\frac{1 + t}{2 + t} + \frac{2 + 2t}{1 + 2t} − \frac{5}{2} ≤ 0 ⇔ \frac{2(1 + t)(1 + 2t) + 2(2 + 2t)(2 + t) − 5(2 + t)(1 + 2t)}{2(2 + t)(1 + 2t)} ≤ 0 ⇔ \\ ⇔ \frac{−2t^{2} − 7t}{(2 + t)(1 + 2t)} ≤ 0 ⇔ \frac{−t(2t + 7)}{(2 + t)(1 + 2t)} ≤ 0 ⇔ t ∈ (−∞; −\frac{7}{2}] ∪ (−2; −\frac{1}{2}) ∪ [0; +∞). \end{matrix}

Следовательно,

[ \begin{matrix}log_{3} x ≤ −\frac{7}{2}, \\ −2 < log_{3} x < −\frac{1}{2}, \\ log_{3} x ≥ 0, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}0 < x ≤ \frac{1}{\sqrt{3^{7}}} , \\ \frac{1}{9} < x < \frac{1}{\sqrt{3}}, \\ x ≥ 1, \end{matrix}

откуда, учитывая ОДЗ, получим множество решений исходного неравенства:

x ∈ (0; \frac{1}{27\sqrt{3}}] ∪ (\frac{1}{9}; \frac{1}{\sqrt{3}}) ∪ [1; +∞).

c) Определим ОДЗ неравенства

\{ \begin{matrix}\sqrt{4x + 5} − 1 > 0, \\ \sqrt{4x + 5} + 11 > 0, \\ \sqrt{4x + 5} + 11 ≠ 1, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x > −1, \\ x ≥ −\frac{5}{4}, \end{matrix} ⇔ x > −1.

Поскольку log_{2}(\sqrt{4x + 5} + 11) = log_{2}(1 + (\sqrt{4x + 5} + 10)) > log_{2} 1 = 0, неравенство равносильно следующему:

2 log_{2}(\sqrt{4x + 5} − 1) > log_{2}(\sqrt{4x + 5} + 11),

откуда следует

(\sqrt{4x + 5} − 1)^{2} > \sqrt{4x + 5} + 11.

Обозначив t = \sqrt{4x + 5}, t ≥ 0, получим квадратное неравенство

(t − 1)^{2} > t + 11

или

t^{2} − 3t − 10 > 0,

откуда t < −2 или t > 5. Поскольку t ≥ 0, остается t > 5 или \sqrt{4x + 5} > 5 ⇔ x > 5. Учитывая ОДЗ, получим ответ: x ∈ (5; +∞).

d) ОДЗ неравенства есть множество (1; 2) ∪ (2; +∞)). Используя обобщенный метод интервалов, получим

\frac{1}{log_{2}(x − 1)} < \frac{1}{log_{2} \sqrt{x + 1}} ⇔ \frac{log_{2} \sqrt{x + 1} − log_{2}(x − 1)}{log_{2}(x − 1) log_{2} \sqrt{x + 1}} < 0 ⇔

⇔ \frac{log_{2} \frac{\sqrt{x+1}}{x−1}}{log_{2}(x − 1) log_{2} \sqrt{x + 1}} < 0 ⇔ log_{2} \frac{\sqrt{x + 1}}{x − 1} · log_{2}(x − 1) log_{2} \sqrt{x + 1} < 0.

Так как в ОДЗ log_{2}(x − 1) > 0 при x > 2 и log_{2}(x − 1) < 0 при 1 < x < 2, следу-

ет, что log_{2} \sqrt{x + 1} > 0 для любого x из ОДЗ, log_{2} \frac{\sqrt{x + 1}}{x − 1} > 0 при x ∈ (1; 2) ∪ (2; 3) и

log_{2} \frac{\sqrt{x + 1}}{x − 1} < 0 при x > 3, значит,

[figure: 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 3; 3; −; +; −; −; +; +; +; +; +; −; log_{2}(x − 1) log_{2} \sqrt{x + 1} log_{2} \frac{\sqrt{x + 1}}{x − 1}; ^{log^{2} \frac{x + 1}{x − 1}}; log^{2} ^{\sqrt{x + 1}}; log_{2}(x − 1)]

получим x ∈ (1; 2) ∪ (3; +∞).

Для укрепления навыков решения логарифмических уравнений и неравенств рекомендуем читателю, например, задачники [3]-[5].

Литература

1. P. Cojuhari. Ecuatii si inecuatii. Teorie si practica. Chisinau, Universitas, 1993.

2. P. Cojuhari, A. Corlat. Ecuatii si inecuatii algebrice. Mica biblioteca a elevului. Seria matematica si informatica. Editura ASRM. Chisinau, 1995.

3. C.Cosnita, F.Turtoiu. Probleme de algebra. Editura Tehnica. Bucuresti, 1989.

4. Е.Д.Куланин и др. 3000 конкурсных задач по математике. Айрис Ролиф. Москва, 1997.

5. Ф.П.Яремчук, П.Рудченко. Алгебра и элементарные функции. Киев, Наукова Думка.