Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 1

I. Иррациональные уравнения

Уравнения, содержащие неизвестную под знаком радикала называются иррациональными уравнениями. Например

\begin{matrix}\sqrt{x − 2} − \sqrt{3x − 17} = 1, & \sqrt{x} − ^{4} \sqrt{x} − 2 = 0, \\ ^{3} \sqrt{x^{2} − 1} + ^{3} \sqrt{x^{2} + 2} = \sqrt{3 − 2x}, & \sqrt{x^{2} − 3x + 4} = 2. \end{matrix}

Подчеркнем, что радикалы четной степени, входящие в уравнение, понимаются в арифметическом смысле и они существуют если и только если подкоренное выражение неотрицательно.

Пример 1. Решить уравнения

\begin{matrix}a) \sqrt{x^{2} − 6x + 7} = −1, & d) \sqrt{\frac{4 − x}{x}} + \sqrt{\frac{x − 4}{x + 1}} = 2 − \sqrt{x^{2} − 12}, \\ b) \sqrt{x − 2} + \sqrt{x + 2} = 0, & e) \sqrt{x − 2} + \sqrt{x + 7} = 1 + \sqrt{4 − x}, \\ c) \sqrt{3 − x} + \sqrt{x − 5} = 3, & f) (4x^{2} − 9)\sqrt{x − 1} = 0. \end{matrix}

Решение. a) Заметим, что при любом допустимом значении x левая часть уравнения неотрицательна, а его правая часть отрицательна, следовательно уравнение не имеет решений.

b) Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, если они одновременно равны нулю, следовательно уравнение равносильно системе

\{ \begin{matrix}x − 2 = 0, \\ x + 2 = 0, \end{matrix}

которая противоречива. Следовательно и исходное уравнение не имеет решений. c) Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется из системы

\{ \begin{matrix}3 − x ≥ 0, \\ x − 5 ≥ 0. \end{matrix}

Поскольку система противоречива, ОДЗ данного уравнения является пустым множеством и, следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

d) ОДЗ данного уравнения x = 4, определяется из системы

\{ \begin{matrix}\frac{4 − x}{x} ≥ 0, \\ \frac{x − 4}{x + 1} ≥ 0, \\ x^{2} − 12 ≥ 0. \end{matrix}

Поскольку x = 4 есть единственное допустимое значение, достаточно проверить, является ли оно решением уравнения. Подставив x = 4 в уравнение получим верное числовое равенство 0 = 0 и, следовательно, x = 4 есть единственное решение данного уравнения.

e) Множество допустимых значений этого уравнения имеет вид x ∈ [2; 4]. Это множество определяется из системы неравенств

\{ \begin{matrix}x − 2 ≥ 0, \\ x + 7 ≥ 0, \\ 4 − x ≥ 0. \end{matrix}

Заметим, что на ОДЗ имеет место неравенство \sqrt{x − 2} + \sqrt{x + 7} ≥ 3, и поскольку 1 + \sqrt{4 − x} ≤ 1 + \sqrt{2} < 3, следовательно данное уравнение не имеет решений.

f)

(4x^{2} − 9)\sqrt{x − 1} = 0 ⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}4x^{2} − 9 = 0, \\ \sqrt{x − 1} = 0, \end{matrix} \\ x ≥ 1, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x = −\frac{3}{2}, \\ x = \frac{3}{2}, \\ x = 1, \end{matrix} \\ x ≥ 1, \end{matrix} ⇔ [ \begin{matrix}x = \frac{3}{2}, \\ x = 1. \end{matrix}

Одним из стандартных приемов решения иррациональных неравенств является освобождение от радикалов путем возведения обеих частей в соответствующую степень. Подчеркнем (см. например [1]), что если n нечетное натуральное число, то уравнения f(x) = g(x) и (f(x))^{n} = (g(x))^{n} равносильны, а если n четное натуральное число, то

уравнение (f(x))^{n} = (g(x))^{n} есть следствие уравнения f(x) = g(x) и, следовательно, необходимо провести проверку полученных решений.

Пример 2. Решить уравнения

\begin{matrix}a) ^{3} \sqrt{5x + 27} = x + 3, & c) \sqrt{x^{2} − 9x + 25} = 2x − 13, \\ b) ^{3} \sqrt{x} = \sqrt{x − 4}, & d) \sqrt{3 − x} + \sqrt{6 + x} = 3. \end{matrix}

Решение. a) Возводя обе части уравнения в куб, получим равносильное уравнение

5x + 27 = x^{3} + 9x^{2} + 27x + 27,

или

x^{3} + 9x^{2} + 22x = 0,

откуда следует совокупность

[ \begin{matrix}x = 0, \\ x^{2} + 9x + 22 = 0. \end{matrix}

Поскольку последнее уравнение не имеет решений (Δ = 9^{2} − 4 · 22 < 0), то x = 0 - единственное решение исходного уравнения.

b) Возводя обе части уравнения в шестую степень получим

x^{2} = (x − 4)^{3}

или

x^{3} − 13x^{2} + 48x − 64 = 0,

откуда, удобно группируя,

(x^{3} − 8x^{2}) − (5x^{2} − 40x) + (8x − 64) = 0,

получим

x^{2}(x − 8) − 5x(x − 8) + 8(x − 8) = 0,

или

(x − 8)(x^{2} − 5x + 8) = 0.

Последнее уравнение равносильно совокупности

[ \begin{matrix}x − 8 = 0, \\ x^{2} − 5x + 8 = 0, \end{matrix}

откуда x = 8. Проверкой убеждаемся, что x = 8 удовлетворяет исходному уравнению. c) Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем квадратное уравнение

x^{2} − 9x + 25 = 4x^{2} − 52x + 169,

или

3x^{2} − 43x + 144 = 0,

решения которого x_{1} = 9 и x_{2} = \frac{16}{3}. После проверки остается лишь x = 9.

d) Перепишем уравнение в виде

\sqrt{6 + x} = 3 − \sqrt{3 − x},

и возводя обе части уравнения в квадрат, получим

6 + x = 9 − 6\sqrt{3 − x} + 3 − x.

Опять отделим один корень

6\sqrt{3 − x} = 6 − 2x,

или

3\sqrt{3 − x} = 3 − x,

и возводя в квадрат, получим уравнение

9(3 − x) = (3 − x)^{2},

корни которого x = 3 и x = −6. Проверкой убеждаемся, что оба значения удовлетворяют исходному уравнению.

При решении иррациональнных уравнений удобно и полезно следующее утверждение (см., например, [2]).

A1. Уравнение ^{2n} \sqrt{f(x)} = g(x) равносильно системе

\{ \begin{matrix}f(x) = [g(x)]^{2n}, \\ g(x) ≥ 0. \end{matrix}

Замечание. Из утверждения A1 следует, что уравнения ^{2n} \sqrt{f(x)} = b (b ≥ 0) и f(x) = [b]^{2n} равносильны.

Пример 3. Решить уравнения

a) \sqrt{x^{2} − 9x + 25} = 2x − 13, b) \sqrt{10 − x} = x + 2.

Решение. a) (Сравните решение с приведенным в примере 2d)) используя утверждение A1, получим систему

\{ \begin{matrix}x^{2} − 9x + 25 = (2x − 13)^{2}, \\ 2x − 13 ≥ 0, \end{matrix}

или

\{ \begin{matrix}3x^{2} − 43x + 144 = 0, \\ x ≥ \frac{13}{2}, \end{matrix}

откуда

\{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x_{1} = \frac{16}{3}, \\ x_{2} = 9, \end{matrix} \\ x ≥ \frac{13}{2}, \end{matrix}

и значит x = 9.

b) Используя утверждение A1, получим

\sqrt{10 − x} = x + 2 ⇔ \{ \begin{matrix}10 − x = (x + 2)^{2}, \\ x + 2 ≥ 0, \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}x^{2} + 5x − 6 = 0, \\ x ≥ −2, \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x_{1} = −6, \\ x_{2} = 1, \end{matrix} \\ x ≥ −2, \end{matrix} ⇔ x = 1.

Подчеркнем, что при решении уравнений, содержащих радикалы четной степени полезно работать с множеством допустимых значений на всем протяжении решения уравнения.

Пример 4. Решить уравнения

\begin{matrix}a) \sqrt{3x − 5} − \sqrt{4 − x} = 1, & c) \sqrt{x^{2} − x − 2} + \sqrt{x^{2} + 2x − 8} = \sqrt{x^{2} − 5x + 6}, \\ b) \sqrt{\frac{20 + x}{x}} + \sqrt{\frac{20 − x}{x}} = \sqrt{6}, & d) \sqrt{x − 1} + \sqrt{x + 2} = \sqrt{11 − x}. \end{matrix}

Решение. a) ОДЗ данного уравнения x ∈ [\frac{5}{3}; 4]. Исходное уравнение равносильно следующему уравнению

\sqrt{3x − 5} = 1 + \sqrt{4 − x}.

Поскольку обе части уравнения на ОДЗ принимают неотрицательные значения, возводя в квадрат получим равносильное уравнение

3x − 5 = 1 + 2\sqrt{4 − x} + 4 − x,

которое, после очевидных преобразований принимает вид

2x − 5 = \sqrt{4 − x}.

Используя утверждение A1 и учитывая ОДЗ, получим

2x − 5 = \sqrt{4 − x} ⇔ \{ \begin{matrix}(2x − 5)^{2} = 4 − x, \\ x ≥ \frac{5}{2}, \\ x ∈ [\frac{5}{3}; 4], \end{matrix} ⇔ \{ \begin{matrix}4x^{2} − 19x + 21 = 0, \\ x ∈ [\frac{5}{2}; 4], \end{matrix} ⇔

⇔ \{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x_{1} = \frac{7}{4}, \\ x_{2} = 3, \end{matrix} \\ x ∈ [\frac{5}{2}; 4], \end{matrix} ⇔ x = 3.

b) ОДЗ данного уравнения x ∈ (0; 20]. Так как на ОДЗ обе части уравнения неотрицательны, то возводя в квадрат получим равносильное уравнение

\frac{20 + x}{x} + 2\sqrt{\frac{20 + x}{x}}\sqrt{\frac{20 − x}{x}} + \frac{20 − x}{x} = 6

или, учитывая, что условие x ∈ (0; 20] влечет 2\sqrt{\frac{20 + x}{x}}\sqrt{\frac{20 − x}{x}} = 2\frac{\sqrt{20 + x}\sqrt{20 − x}}{x}, получаем уравнение

20 + x + 2\sqrt{20 + x}\sqrt{20 − x} + 20 − x = 6x,

откуда

\sqrt{20 + x}\sqrt{20 − x} = 3x − 20.

Последнее уравнение на ОДЗ равносильно системе

\{ \begin{matrix}(20 + x)(20 − x) = (3x − 20)^{2}, \\ 3x − 20 ≥ 0, \\ x ∈ (0; 20] \end{matrix}

или

\{ \begin{matrix}10x^{2} − 120x = 0, \\ x ∈ [\frac{20}{3}; 20] \end{matrix}

откуда

\{ \begin{matrix}[ & \begin{matrix}x_{1} = 0, \\ x_{2} = 12, \end{matrix} \\ x ∈ [\frac{20}{3}; 20] \end{matrix}

и значит x = 12.

c) Область допустимых значений этого уравнения, ппредставляет множество x ∈ (−∞; −4] ∪ {2} ∪ [3, +∞), являющееся решением системы неравенств

\{ \begin{matrix}x^{2} − x − 2 ≥ 0, \\ x^{2} + 2x − 8 ≥ 0, \\ x^{2} − 5x + 6 ≥ 0. \end{matrix}

Учитывая, что если AB ≥ 0, то \sqrt{AB} = \sqrt{|A|} · \sqrt{|B|}, получим

\sqrt{|x − 2|}\sqrt{|x + 1|} + \sqrt{|x − 2|}\sqrt{|x + 4|} = \sqrt{|x − 3|}\sqrt{|x − 2|}

или

\sqrt{|x − 2|} · (\sqrt{|x + 1|} + \sqrt{|x + 4|} − \sqrt{|x − 3|}) = 0,

откуда

[ \begin{matrix}\sqrt{|x − 2|} = 0, \\ \sqrt{|x + 1|} + \sqrt{|x + 4|} = \sqrt{|x − 3|}. \end{matrix}

Из первого уравнения совокупности получим x = 2.

Для решения второго уравнения совокупности, учитывая ОДЗ, рассмотрим следующие два случая:

I. Если x ∈ (−∞; −4], уравнение примет вид

\sqrt{−1 − x} + \sqrt{−x − 4} = \sqrt{3 − x}.

Возводя в квадрат, получим равносильное уравнение

−1 − x + 2\sqrt{−1 − x}\sqrt{−x − 4} − x − 4 = 3 − x

или

2\sqrt{−1 − x}\sqrt{−x − 4} = 8 + x.

Используя утверждение A1, получим

\{ \begin{matrix}4(1 + x)(x + 4) = (8 + x)^{2}, \\ x ≥ −8 \end{matrix}

или, после очевидных преобразований

\{ \begin{matrix}3x^{2} + 4x − 48 = 0, \\ x ≥ −8. \end{matrix}

Учитывая, что x ∈ [−8; −4], получим решение

x = \frac{−2 − 2\sqrt{37}}{3}.

II. Если x ∈ [3; +∞), уравнение примет вид

\sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 4} = \sqrt{x − 3}

Поскольку x+4 > x−3, то \sqrt{x + 4} > \sqrt{x − 3}. Из последннего неравенства и неравенства \sqrt{x − 1} ≥ 2 следует что данное уравнение при x ≥ 3 не имеет решений. Таким образом,

корни исходного уравнения x = 2 и x = \frac{−2 − 2\sqrt{37}}{3}.

d) Область допустимых значений уравнения x ∈ [1; 11] является решением системы неравенств

\{ \begin{matrix}x − 1 ≥ 0, \\ x + 2 ≥ 0, \\ 11 − x ≥ 0. \end{matrix}

Поскольку обе части уравнения неотрицательны, возводя в квадрат, получим равносильное уравнение

2\sqrt{x − 1}\sqrt{x + 2} = 10 − 3x,

которое равносильно системе (см. утверждение A1)

\{ \begin{matrix}4(x − 1)(x + 2) = (10 − 3x)^{2}, \\ 10 − 3x ≥ 0, \end{matrix}

или

\{ \begin{matrix}5x^{2} − 64x + 108 = 0, \\ x ≤ \frac{10}{3}, \end{matrix}

решение которой x_{1} = 2, удовлетворяет ОДЗ исходного уравнения.

Уравнения вида

F ( ^{n} \sqrt{f(x)}) = 0

посредством подстановки ^{n} \sqrt{f(x)} = t, как правило, приводятся к алгебраическим уравнениям.

Пример 5. Решить уравнения

\begin{matrix}a) 2 ^{3} \sqrt{x} + 5 ^{6} \sqrt{x} = 18, & c) 1 + \frac{15}{\sqrt{2x + 1}} = 2\sqrt{2x + 1}, \\ b) ^{3} \sqrt{\frac{x + 4}{5x + 7}} + ^{3} \sqrt{\frac{5x + 7}{x + 4}} = \frac{13}{6}, & d) x^{2} + 5x + 4 = 5\sqrt{x^{2} + 5x + 28}. \end{matrix}

Решение. a) Положив ^{6} \sqrt{x} = t (t ≥ 0), тогда ^{3} \sqrt{x} = t^{2}. В результате получаем уравнение

2t^{2} + 5t − 18 = 0,

корни которого t_{1} = −\frac{9}{2} и t_{2} = 2. Поскольку t ≥ 0 остается t = 2 или ^{6} \sqrt{x} = 2, откуда x = 2^{6} или x = 64.

b) ОДЗ данного уравнения есть R \ \{−4; −\frac{7}{5}\}. Заметим, что уравнение содержит

взаимно обратные выражения. Сделав подстановку ^{3} \sqrt{\frac{x + 4}{5x + 7}} = t получим ^{3} \sqrt{\frac{5x + 7}{x + 4}} = \frac{1}{t} и уравнение примет вид

t + \frac{1}{t} = \frac{13}{6},

или, после очевидных преобразований

6t^{2} − 13t + 6 = 0.

Решая это квадратное уравнение, получим корни t_{1} = \frac{2}{3} и t_{2} = \frac{3}{2}. Следовательно,

[ \begin{matrix}^{3} \sqrt{\frac{x + 4}{5x + 7}} = \frac{2}{3}, \\ ^{3} \sqrt{\frac{x + 4}{5x + 7}} = \frac{3}{2}, \end{matrix}

или, возводя в куб,

[ \begin{matrix}\frac{x + 4}{5x + 7} = \frac{8}{27}, \\ \frac{x + 4}{5x + 7} = \frac{27}{8}, \end{matrix}

откуда

[ \begin{matrix}x = 4, \\ x = −\frac{157}{127}. \end{matrix}

c) Положим \sqrt{2x + 1} = t, t > 0 и получим уравнение

1 + \frac{15}{t} = 2t

или

2t^{2} − t − 15 = 0,

откуда t_{1} = −\frac{5}{2} (не удовлетворяет условию t > 0) и t = 3. Таким образом

\sqrt{2x + 1} = 3

откуда, учитывая замечание к утверждению A1, получим 2x + 1 = 9 и x = 4.

d) Сделаем подстановку \sqrt{x^{2} + 5x + 28} = t, t ≥ 0, тогда x^{2} + 5x + 28 = t^{2}, откуда x^{2} + 5x = t^{2} − 28 и уравнение примет вид

t^{2} − 28 + 4 = 5t

или

t^{2} − 5t − 24 = 0

откуда t_{1} = −3 и t_{2} = 8.

Так как t ≥ 0, получим

\sqrt{x^{2} + 5x + 28} = 8.

Возводя в квадрат, получим равносильное уравнение

x^{2} + 5x + 28 = 64,

или

x^{2} + 5x − 36 = 0,

решения которого x = −9 и x = 4.

В некоторых случаях иррациональное уравнение можно рационализировать умножив обе части уравнения на отличное от нуля выражение.

Пример 6. Решить уравнение

\sqrt{3x^{2} − x + 6} − \sqrt{3x^{2} − x − 1} = 1

Решение. Умножив обе части уравнения на выражение

\sqrt{3x^{2} − x + 6} + \sqrt{3x^{2} − x − 1} ≠ 0,

(сопряженное выражение левой части уравнения), после сокращения подобных слагаемых, получим уравнение

7 = \sqrt{3x^{2} − x + 6} + \sqrt{3x^{2} − x − 1}

равносильное исходному, так как уравнение

\sqrt{3x^{2} − x + 6} + \sqrt{3x^{2} − x − 1} = 0

не имеет действительных решений.

Сложив почленно уравнения

\sqrt{3x^{2} − x + 6} − \sqrt{3x^{2} − x − 1} = 1,
\sqrt{3x^{2} − x + 6} + \sqrt{3x^{2} − x − 1} = 7,

получим уравнение

2\sqrt{3x^{2} − x + 6} = 8,

или

\sqrt{3x^{2} − x + 6} = 4.

Возводя обе части уравнения в квадрат получим равносильное уравнение

3x^{2} − x − 10 = 0

решения которого x_{1} = −\frac{5}{3} и x_{2} = 2.

Проверкой убеждаемся, что среди найденных корней нет посторонних.

Замечание. Данное уравнение можно решить используя подстановку t = 3x^{2} − x + 6. В результате получим 3x^{2} − x − 1 = 3x^{2} − x + 6 − 7 = t − 7 и уравнение примет вид

\sqrt{t} − \sqrt{t − 7} = 1.

Последнее уравнение решается аналогично примеру 2d).

Рассмотрим уравнения, которые решаются выделением полного квадрата под знаком радикала.

Пример 7. Решить уравнения

\begin{matrix}a) \sqrt{x^{2} − 4x + 4} + \sqrt{x^{2} + 6x + 9} = 5, \\ b) \sqrt{x + 3 − 4\sqrt{x − 1}} + \sqrt{x + 8 − 6\sqrt{x − 1}} = x − 1. \end{matrix}

Решение. a) Заметив, что x^{2} − 4x + 4 = (x − 2)^{2}, x^{2} + 6x + 9 = (x + 3)^{2} и учитывая что \sqrt{A^{2}} = |A|, получим уравнение

|x − 2| + |x + 3| = 5.

Так как |x − 2| = |2 − x|, (2 − x) + (x + 3) = 5 и, следовательно

|2 − x| + |x + 3| = |(2 − x) + (x + 3)|

используя свойства модуля (см., например, [1]), получим что данное уравнение равносильно неравенству

(2 − x)(x + 3) ≥ 0,

откуда получим множество решений исходного уравнения

x ∈ [−3; 2].

b) Под знаком каждого радикала выделим полный квадрат

\sqrt{x + 3 − 4\sqrt{x − 1}} = \sqrt{x − 1 − 2 · 2\sqrt{x − 1} + 4} = \sqrt{(\sqrt{x − 1} − 2)^{2}} = |\sqrt{x − 1} − 2|,

\sqrt{x + 8 − 6\sqrt{x − 1}} = \sqrt{x − 1 − 2 · 3\sqrt{x − 1} + 9} = \sqrt{(\sqrt{x − 1} − 3)^{2}} = |\sqrt{x − 1} − 3|.

Сделаем подстановку \sqrt{x − 1} = t, t ≥ 0, после этого уравнение примет вид

|t − 2| + |t − 3| = t^{2}.

Последнее уравнение равносильно совокупности

[ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}0 ≤ t ≤ 2, \\ −t + 2 − t + 3 = t^{2}, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}2 < t ≤ 3, \\ t − 2 − t + 3 = t^{2}, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}t > 3, \\ t − 2 + t − 3 = t^{2}, \end{matrix} \end{matrix}

или

[ \begin{matrix}\{ & \begin{matrix}0 ≤ t ≤ 2, \\ t = −1 ± \sqrt{6}, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}2 < t ≤ 3, \\ t = ±1, \end{matrix} \\ \{ & \begin{matrix}t > 3, \\ t ∈ ∅, \end{matrix} \end{matrix}

откуда t = \sqrt{6} − 1. Таким образом \sqrt{x − 1} = \sqrt{6} − 1 или x = 8 − 2\sqrt{6}.

Рассмотрим несколько специальных способов решения иррациональных уравнений.

Пример 8. Решить уравнения

a) \sqrt{2x + 5} + \sqrt{3x − 5} = 4,

b) ^{3} \sqrt{x} + ^{3} \sqrt{3x − 2} = ^{3} \sqrt{x − 2},

c) \frac{(4 − x)\sqrt{4 − x} + (x − 2)\sqrt{x − 2}}{\sqrt{4 − x} + \sqrt{x − 2}} = 2,

d) \sqrt{x − 2} + \sqrt{x + 2} + 2\sqrt{(x − 2)(x + 2)} = 6 − 2x,

e) \sqrt{x − 1} + \sqrt{3 − x} = x^{2} − 4x + 6,

f) ^{4} \sqrt{x + 7} − ^{4} \sqrt{x − 9} = 2,

g) \frac{x^{2}}{\sqrt{2x + 15}} + \sqrt{2x + 15} = 2x,

h) 3\sqrt{x^{2} − 9} + 4\sqrt{x^{2} − 16} + 5\sqrt{x^{2} − 25} = \frac{120}{x},

i) \sqrt{x(x + 1)} = \sqrt{x + 3} − \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} .

Решение. a) Легко проверить, что x = 2 - корень данного уравнения. Других решений уравнение не имеет, поскольку левая часть уравнения является возрастающей функцией (как сумма двух возрастающих функций), а правая часть - постоянная функция, следовательно графики этих функций могут иметь не более одной точки пересечения. Итак, x = 2 - единственное решение уравнения.

b) Используя формулу (a + b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a + b), возводим обе части уравнения в куб

x + 3x − 2 + 3 ^{3} \sqrt{x} ^{3} \sqrt{3x − 2}( ^{3} \sqrt{x} + ^{3} \sqrt{3x − 2}) = x − 2  (1)

откуда, учитывая что ^{3} \sqrt{x} + ^{3} \sqrt{3x − 2} = ^{3} \sqrt{x − 2} (исходное уравнение), получим

3 \sqrt{x} ^{3} \sqrt{3x − 2} ^{3} \sqrt{x − 2} = x.  (2)

Возводя ещё раз в куб, получим уравнение

x(3x − 2)(x − 2) = −x^{3}

или

x [(3x − 2)(x − 2) + x^{2}] = 0,

откуда получаем совокупность уравнений

[ \begin{matrix}x = 0, \\ x^{2} − 2x + 1 = 0, \end{matrix}

решения которой

[ \begin{matrix}x = 0, \\ x = 1. \end{matrix}

Проверкой убеждаемся (проверка необходима, так как уравнения (1) и (2) в общем случае неравносильны) что x = 0 - единственное решение уравнения.

c) ОДЗ данного уравнения x ∈ [2; 4]. Обозначив \sqrt{4 − x} = u, \sqrt{x − 2} = v, получим систему

\{ \begin{matrix}4 + x = u^{2}, \\ x − 2 = v^{2}, \end{matrix}

откуда u^{2} + v^{2} = 2.

В новых обозначениях уравнение примет вид

\frac{u^{3} + v^{3}}{u + v} = 2

или

\frac{(u + v)(u^{2} − uv + v^{2})}{u + v} = 2

и, поскольку u + v ≠ 0,

u^{2} − uv + v^{2} = 2.

Решая систему

\{ \begin{matrix}u^{2} − uv + v^{2} = 2, \\ u^{2} + v^{2} = 2, \end{matrix}

получим

\{ \begin{matrix}uv = 0, \\ u^{2} + v^{2} = 2, \end{matrix}

Так как u ≥ 0, v ≥ 0, решение данной системы u_{1} = 0, v_{1} = \sqrt{2} и u_{2} = \sqrt{2}, v_{2} = 0, откуда следует x_{1} = 2 и x_{2} = 4.

d) ОДЗ уравнения x ∈ [2; 3]. Сделаем подстановку \sqrt{x − 2} + \sqrt{x + 2} = t, t > 0 тогда t^{2} = x − 2 + x + 2 + 2\sqrt{x − 2}\sqrt{x + 2} или 2\sqrt{x − 2}\sqrt{x + 2} = t^{2} − 2x и уравнение примет вид

t + t^{2} = 6

откуда t_{1} = −3 (не удовлетворяет условию t > 0) и t = 2. Таким образом

\sqrt{x − 2} + \sqrt{x + 2} = 2.

Решая последнее неравенство анологично примеру 8a), получим x = 2.

e) ОДЗ уравнения x ∈ [1; 3]. Правая часть уравнения x^{2} − 4x + 6 = x^{2} − 4x + 4 + 2 = = (x − 2)^{2} + 2 на ОДЗ принимает минимальное значение 2 при x = 2, а левая часть уравнения принимает максимальное значение 2 при x = 2 (можно показать, например используя дифференциальное исчисление). Следовательно, x = 2 - единственное решение уравнения.

f) Положив ^{4} \sqrt{x + 7} = u, ^{4} \sqrt{x − 9} = v, u ≥ 0, v ≥ 0, получим равносильную рациональную систему

\{ \begin{matrix}u^{4} − v^{4} = 16, \\ u − v = 2. \end{matrix}

Выразив из второго уравнения u (u = 2 + v) и подставив в первое, получим уравнение

(2 + v)^{4} − v^{4} = 16,

или

16 + 32v + 24v^{2} + 8v^{3} + v^{4} − v^{4} = 16,

откуда следует совокупность

[ \begin{matrix}v = 0, \\ v^{2} + 3v + 4 = 0, \end{matrix}

решение которой v = 0. Тогда u = 2. Решая систему

\{ \begin{matrix}^{4} \sqrt{x + 7} = 2, \\ ^{4} \sqrt{x − 9} = 0, \end{matrix}

получим корень x = 9.

g) Заметим, что x = 0 не является решением данного уравнения. Разделив обе части уравнения на x получим уравнение

\frac{x}{\sqrt{2x + 15}} + \frac{\sqrt{2x + 15}}{x} = 2.

Так как a + \frac{1}{a} = 2 ⇔ a = 1 (это следует, например, из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим), получим

\frac{x}{\sqrt{2x + 15}} = 1

откуда, используя утверждение A1, получим систему

\{ \begin{matrix}2x + 15 = x^{2}, \\ x > 0, \end{matrix}

решение которой x = 5. Проверкой убеждаемся, что x = 5 - корень исходного уравнения.

h) Область допустимых значений данного уравнения есть x ∈ [5; +∞). На ОДЗ левая часть уравнения есть строго возрастающая функция, а правая часть - строго убывающая функция, следовательно данное уравнение имеет самое болшее одно решение. Проверив наименьшее возможное значение (x = 5) убеждаемся, что оно является единственным решением уравнения.

i) ОДЗ уравнения x ∈ [−3; −1] ∪ (0; +∞). Перепишем уравнение

\sqrt{x(x + 1)} + \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} = \sqrt{x + 3}.

Возводя обе части уравнения в квадрат, получим равносильное уравнение

2\sqrt{x(x + 1)}\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} = 2 − (x^{2} + \frac{1}{x^{2}} ) .

Так как x^{2} + \frac{1}{x^{2}} ≥ 2, а \sqrt{x(x + 1)}\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} ≥ 0, получим систему

\{ \begin{matrix}x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 2, \\ [ & \begin{matrix}x(x + 1) = 0, \\ 1 + \frac{1}{x^{2}} = 0, \end{matrix} \end{matrix}

решение которой x = −1. Проверкой убеждаемся, что x = −1 есть решение исходного уравнения.

Упражнения

Решить уравнения 1. \sqrt{2x + 1} + \sqrt{x} = \sqrt{6x + 1},

2. \sqrt{5x + 7} − \sqrt{x + 3} = \sqrt{3x + 1},

3. \sqrt{x + 1} − \sqrt{9 − x} = \sqrt{2x − 12},

4. \sqrt{x^{3} − x^{2} + 4} + \sqrt{x^{3} − x^{2} + 1} = 3,

5. \sqrt{x^{2} − 6x + 9} + \sqrt{x^{2} − 4x + 4} + \sqrt{4x^{2} − 32x + 64} = 9,

6. x^{2} − 2x + 4 − 3\sqrt{2x^{2} − 4x + 5} = −1,

7. \sqrt{2x + \sqrt{6x^{2} + 1}} = x + 1,

8. \sqrt{x} + \sqrt{x − \sqrt{1 − x}} = 1,

9. \sqrt{3x − 2} − \frac{x^{2} − 2x + 4}{\sqrt{3x − 2}} = x − 3,

10. \sqrt{2x + 3} + \sqrt{x − 3} = 3x − 6 + 2\sqrt{2x^{2} − 3x − 9},

11. ^{3} \sqrt{8 + x} + ^{3} \sqrt{8 − x} = 1,

12. ^{3} \sqrt{x − 1} + ^{3} \sqrt{x − 2} = ^{3} \sqrt{2x − 3},

13. \sqrt{6 − 4x − x^{2}} = x + 4,

14. \sqrt{\frac{3 − x}{2 + x}} + 3\sqrt{\frac{2 + x}{3 − x}} = 4,

15. ^{3} \sqrt{x^{2}} − ^{3} \sqrt{x} − 6 = 0,

16. \sqrt{3x^{2} − 2x + 15} + \sqrt{3x^{2} − 2x + 8} = 7,

17. ^{4} \sqrt{47 − 2x} + ^{4} \sqrt{35 + 2x} = 4,

18. (4x^{2} − 9)\sqrt{x + 1} = 0,

19. (x − 3)^{2} + 3x − 22 = \sqrt{x^{2} − 3x + 7},

20. \sqrt{x − 2} + \sqrt{4 − x} = x^{2} − 6x + 11.

Copyright\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}1999 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician http://math.ournet.md 15

Библиография

1. P. Cojuhari. Ecuatii si inecuatii. Teorie si practica. Chisinau, Universitas, 1993.

2. P. Cojuhari, A. Corlat. Ecuatii si inecuatii algebrice. Mica biblioteca a elevului. Seria matematica si informatica. Editura ASRM. Chisinau, 1995.